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高中数学人教A版(浙江)选修2-3课件:122第1课时组合与组合数公式_图文

高中数学人教A版(浙江)选修2-3课件:122第1课时组合与组合数公式_图文

1.2.2 组 合 第1课时 组合与组合数公式 目标定位 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数 公式,并会应用公式解决简单的组合问题. 自 主 预 习 1.组合的概念 取出m(m≤n)个元素合成一组 一般地,从n个不同元素中_____________________________ ,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数的概念 所有不同组合 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的____________________ 的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号 m C n ________ 表示. 3.组合数公式 n(n-1)(n-2)…(n-m+1) m A n m Cn =Am=_______________________________________ m! m n! m!(n-m)! =_____________________ (n,m∈N*,m≤n). 即 时 自 测 1.思考题 (1)区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么? 提示 关键是看它有无顺序,有顺序的是排列问题,无顺序的是组合问 题. (2)一个组合与组合数有什么区别? 提示 组合数与组合是两个不同的概念,一个组合是具体的一件事,它 不是一个数,而组合数是所有组合的个数,它是一个数. * 0 (3)在 Cm n 中有 m,n∈N 且 m≤n,为什么要规定 Cn=1? 提示 C0 n=1 是为了运算需要而规定,没有实际意义. 2.已知 C2 n A.10 B.5 =10,则n的值等于( C.3 D.2 ) 答案 B 3.给出下列问题: ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有 多少种不同的选法? ②有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法? ③某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果 有多少种? 其中是组合问题的个数是( A.0 答案 C B.1 C.2 ) D.3 4.从10名学生中选出3名学生参加数学竞赛的不同选法种数为________. 解析 不同选法种数即为从10个不同元素中取出3个元素的组合数 =120. 答案3 120 C10 类型一 组合概念的理解(互动探究) 【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排 列数或组合数. (1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表,有多少种选法? [思路探究] 探究点一 提示 组合的特点是什么? 组合的特点:组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素自 然也是不同的,即“从n个不同的元素中取出m个元素”. 探究点二 区分某一问题是组合问题与排列问题的关键是什么? 提示 关键是交换某两个元素的位置对结果是否产生影响,即与选取的 顺序是否有关. 解 (1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了 一次电话,没有顺序的区别,组合数为 C2 10=45. (2)是组合问题, 因为每两支球队比赛一次, 并不需要考虑谁先谁后, 没有顺序的区别,组合数为 C2 10=45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为 C3 10=120. (4)是排列问题, 因为 3 个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的, 排列数为 A3 10=720. 规律方法 排列、组合问题的判断方法 (1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有 无顺序. (2)区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换 这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化, 即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题. 【训练1】 判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或排列数表示出 来. (1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有3个元素的 有多少? (2)8人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件? (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少 种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价?` 解 (1)已知集合的元素具有无序性,因此含 3 个元素的子集个 数与元素的顺序无关,是组合问题,共有 C3 7个. (2)发邮件与顺序有关,是排列问题,共写了 A2 8个电子邮件. (3)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问 题,有 A2 4种飞机票;票价只与两站的距离有关,故票价的种数 是组合问题,有 C2 4种票价. 类型二 组合数公式的应用 98 99 【例 2】 (1)计算:C97 99+C99+C100; -n 9-n (2)求值:C5 n +Cn+1; n+6 4n-2 (3)解方程:C3 = C 18 18 . 解 98 99 98 99 99 2 (1)C97 98+C99+C100=C100+C100=C101=C101=5 050. ? ?0≤5-n≤n, (2)由组合数定义知:? ? ?0≤9-n≤n+1, ∴4≤n≤5,又∵n∈N*,∴n=4 或 5. 5 n n 1 5 当 n=4 时,Cn +C9 n+1=C4+C5=5; - - -n 5-n 0 4 当 n=5 时,Cn +C9 n+1=C5+C6=16. (3)由原方程及组合数性质可知 3n+6=4n-2,或3n+6=18-(4n-2), ∴n=2,或n=8,而当n=8时, 3n+6=30>18,不符合组合数定义,故舍去. 因此n=2. 规律方法 m A n (1)公式 Cm = m n Am n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = ,一般用

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