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2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09_圆锥曲线(教师版)

2013届高考数学二轮复习精品教学案专题09_圆锥曲线(教师版)

【2013 考纲解读】 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲 线的简单应用. 2.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何 性质解决一些简单的问题. 3. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何 性质解决一些简单的问题. 4.了解圆锥曲线的简单应用,理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【知识络构建】

【重点知识整合】

2.双曲线 (1)双曲线的定义; x2 y2 y2 x2 (2)两种标准方程: 2- 2=1(a>0,b>0),焦点在 x 轴上; 2- 2=1(a>0,b>0),焦点在 a b a b y 轴上; (3)双曲线方程的一般形式:mx2+ny2=1(mn<0),其焦点位置有如下规律:当 m>0,n<0 时,焦点在 x 轴上;当 m<0,n>0 时,焦点在 y 轴上; (4)双曲线的简单几何性质. 3.抛物线 (1)抛物线的定义;
1

(2)抛物线的标准方程; (3)抛物线方程的一般形式:焦点在 x 轴上的抛物线方程可以用 y2=λx(λ≠0)表示;焦点 在 y 轴上的抛物线标准方程可以用 x2=λy(λ≠0)表示; (4)抛物线的简单几何性质. 【高频考点突破】 考点一 椭圆 1.定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). x2 y2 2.标准方程:焦点在 x 轴上: 2+ 2=1(a>b>0); a b y2 x2 焦点在 y 轴上: 2+ 2=1(a>b>0); a b 焦点不确定:mx2+ny2=1(m>0,n>0). c 3.离心率:e= = a b 1- 2<1. a

2b2 4.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为 . a x2 y2 3 例 1、过点 C(0,1)的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 .椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0)、 a b 2 B(-a,0).过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交 于点 Q. (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (2)当点 P 异于点 B 时,求证:OP · OQ 为定值.

8 3 1 所以 D 点坐标为( ,- ). 7 7

2

故|CD|=

8 3 1 16 - 2+- - 2= . 7 7 7

x2 y2 1 【变式探究】若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x2+y2=1 的切线,切 a b 2 点分别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.

【方法技巧】 1.涉及椭圆基本量运算时要注意以下几个问题
3

(1)求椭圆标准方程或离心率要注意 a、b、c 三者之间关系; (2)要善于借助于图形分析问题; (3)对于焦点三角形问题要注意定义与正弦定理余弦定理的综合应用,尤其是配方法的 使用. 2.直线与椭圆的位置关系问题 (1)判断方法:利用 Δ>0,Δ=0,Δ<0 可解决; (2)弦长问题:|AB|= = 1 + 2y1-y22; k +k2x1-x22

(3)中点弦问题:用点差法较简单. 考点二 双曲线 1.定义式:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|) 2.标准方程: x2 y2 焦点在 x 轴上: 2- 2=1(a>0,b>0), a b y2 x2 焦点在 y 轴上: 2- 2=1(a>0,b>0), a b 焦点不明确:mx2+ny2=1(mn<0). 3.离心率与渐近线问题: (1)焦点到渐近线的距离为 b. c (2)e= = a b 1+ 2>1, a

注意:若 a>b>0,则 1<e< 2, 若 a=b>0,则 e= 2, 若 b>a>0,则 e> 2. b (3)焦点在 x 轴上,渐近线的斜率 k=± , a a 焦点在 y 轴上,渐近线的斜率 k=± . b x2 y2 x2 y2 (4)与 2- 2=1 共渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0). a b a b x2 y2 例 2、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点在 a b 抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 x y A. - =1 36 108
4
2 2

( x y B. - =1 9 27
2 2

)

x2 y2 C. - =1 108 36

x2 y2 D. - =1 27 9

【变式探究】设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A, B 两点,|AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 A. 2 C.2 ( ) B. 3 D.3

【方法技巧】 1.使用双曲线定义时注意点在双曲线的哪一个分支上. 2.对于双曲线的离心率与渐近线的关系.若已知渐近线而不 明确焦点位置,那么离心 率一定有两解. 3.直线与双曲线的交点比椭圆复杂,要注意结合图形分析.尤其是直线与双曲线有且 只有一个交点?Δ=0 或 l 平行于渐近线. 考点三 抛物线 1.定义式:|PF|=d. 2.根据焦点及开口确定标准方程.注意 p>0 时才有几何意义,即焦点到准线的距离. 3.直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,交抛物线于 A、B 两点,则有: (1)通径的长为 2p. 2p (2)焦点弦公式:|AB|=x1+x2+p= 2 . sin θ p2 (3)x1x2= ,y1y2=-p2. 4 (4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
5

1 1 2 (5) + = . |AF| |BF| p 例 3、如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A.

(1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

【变式探究】已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3, 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3 A. 4 5 C. 4 ( ) B.1 7 D. 4

解析:根据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: 1 1 3 1 5 (|AF|+|BF|)- = - = . 2 4 2 4 4 答案:C 【方法技巧】 1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法.利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准 线的距离 p 的值.注意定义转化.
6

2.直线与抛物线有且只有一个交点时,不一定有 Δ=0,还有 可能直线平行于抛物线 的对称轴. 3.研究抛物线的几何性质时要注意结合图形进行分析. 【难点探究】 难点一 圆锥曲线的定义与标准方程 x2 y2 例 1、已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切, a b 且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3 )

x2 y2 【变式探究】(1)已知点 P 为双曲线 - =1 右支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦 16 9 点,I 为△PF1F2 的内心,若 S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2 成立,则 λ 的值为( 5 A. 8 4 4 3 B. C. D. 5 3 4 )

(2)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 . 过 F1 的直线 l 交 C 于 A , B 两点,且△ABF2 的周长为 16 ,那么 C 的方程为 2 ________________. 【答案】(1)B x2 y2 (2) + =1 16 8

【解析】 (1) 根据三角形面积公式把 S△IPF1 =S△IPF2 + λS△IF1F2 转化为焦点三角形边之间的关系.根据 S△IPF1 = S△IPF2+λS△IF1F2,得|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即 2a=2λc,则 λ a 4 = = .注意内心是三角形内切圆的圆心,到三角形各边的距离 c 5 相等.
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x2 y2 (2)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 因为离心率为 2 2 ,所以 = 2 2 b2 1- 2, a

b2 1 解得 2= ,即 a2=2b2. a 2 又△ABF2 的周长为 |AB| + |AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| + |BF2| + |AF2| = ( |AF1| + |AF2| ) + (|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2, x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 16 8 难点二 圆锥曲线的几何性质

2 x2 y2 2 y 例 2、已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 的一 a b 4

条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、 B 两点. 若 C1 恰好将线段 AB 三等分, 则( 13 A.a2= 2 1 C.b2= 2 B.a2=13 D.b2=2

)

x2 y2 【变式探究】已知双曲线 2- 2=1 左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线 a b 与双曲线一个交点为 P,且∠ π PF1F2= ,则双曲线的渐近线方程为________. 6 【答案】y=± 2x b2 b2 b2 b2 b2 b 【解析】 根据已知|PF1|=2· 且|PF2|= ,故 2· - =2a,所以 2=2, = 2. a a a a a a 难点三 直线与圆锥曲线的位置关系
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例 3、 设椭圆的对称中心为坐标原点, 其中一个顶点为 A(0,2), 右焦点 F 与点 B( 2, 2) 的距离为 2. (1)求椭圆的方程; → (2)是否存在经过点(0,-2)的直线 l,使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M,N 满足|AM → |=|AN|?若存在,求直线 l 的倾斜角 α;若不存在,请说明理由.

(2)由题意可设直线 l 的方程为 y=kx-2(k≠0),由|AM|=|AN|知点 A 在线段 MN 的垂直平分 y=kx-2, ? ? 2 2 线上,由? x y 消去 y 得 x2+3(kx-2)2=12,即可得方程(1+3k2)x2-12kx=0,() + = 1 ? ?12 4 由 k≠0 得方程()的 Δ=(-12k)2=144k2>0,即方程()有两个不相等的实数根. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点 P(x0,y0),则 x1,x2 是方程()的两个不等的实 12k 根,故有 x1+x2= . 1+3k2 x1+x2 6k2- +3k2 -2 6k 从而有 x0= = = . 2,y0=kx0-2= 2 1+3k 1+3k2 1+3k2

? 6k , -2 ?. 于是,可得线段 MN 的中点 P 的坐标为? ? ?1+3k2 1+3k2?
-2 -2 1+3k2 -2- +3k2 又由于 k≠0,因此直线 AP 的斜率为 k1= = . 6k 6k 2 1+3k -2- +3k2 3 3 由 AP⊥MN, 得 × k=-1, 即 2+2+6k2=6, 解得 k=± , 即 tanα=± .又 0≤α<π, 6k 3 3 π 5π π 5π 故 α= 或 α= .综上可知存在直线 l 满足题意,其倾斜角为 α= 或 α= . 6 6 6 6 【点评】 本题属于圆锥曲线与方程的经典类试题,首先求出圆锥曲线方程,然后再研 究直线与圆锥曲线的位置关系. 在直线与圆锥曲线位置关系的问题中, 等价转化和设而不求 是解决问题的一个重要指导思想, 本题解答中使用的是等价转化的方法, 实际上也可以根据
2 2 2 两点间距离公式得到点 M,N 的坐标满足的关系式,即 x2 1+(y1-2) =x2+(y2-2) ,即(x1+

x2)(x1-x2)+(y1+y2-4)(y1-y2)=0,由于点 M,N 在直线上,y1=kx1-2,y2=kx2-2,代入
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(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-4)(y1-y2)=0,得(x1+x2)(x1-x2)+(kx1+kx2-8)(kx1-kx2)=0,直 线斜率存在,则 x1≠x2,所以(x1+x2)+k[k(x1+x2)-8]=0,然后根据韦达定理整体代入即可 求出 k 值. 【变式探究】如图所示,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影, 4 M 为 PD 上一点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5

【规律技巧】 1.离心率的范围问题其关键就是确立一个关于 a,b,c 的不等式,再根据 a,b,c 的 关系消掉 b 得到关于 a,c 的不等式,由这个不等式确定 a,c 的关系. p ? p2 ,0 的弦 AB,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= , 2.抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点 F? ?2 ? 4
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y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.同样可得抛物线 y2=-2px,x2=2py,x2=-2py 类似的性 质. 3.解决直线与圆锥曲线相交时的弦长问题方法是:设而不求,根据韦达定理,进行整体代 入.即当直线与圆锥曲线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|= 1+k2|x1-x2|= 1 1+ 2|y1 k

-y2|,而|x1-x2|= x1+x22-4x1x2等,根据将直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二 次方程,利用韦达定理进行整体代入. 【历届高考真题】 【2012 年高考试题】

x y2 1.【2012 高考真题浙江理 8】如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0)的左、 a b
右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直

2

平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.

2 3 3

B。

6 2

C. 2

D.

3

【答案】B

b ? y ? x ? b, ? b ? c x ? b ,联立方程组 ? 【解析】由题意知直线 F 得点 1B 的方程为: y ? c ?x ? y ? 0 ? ?a b b ? y ? x ? b, ? ac bc ac bc ? c , ) ,联立方程组 ? , ) ,所以 PQ 的中点坐标为 Q( 得点 P (? c?a c?a c ? a c ? a x y ? ? ?0 ? ?a b
( a 2c c 2 c2 c a 2c , ) y ? ? ? ( x ? ) ,令 y ? 0 ,得 , 所 以 PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 : b2 b b b b2
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x ? c(1 ?

a2 a2 ) c ( 1 ? ) ? 3c , 所 以 a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2a 2 , 即 3a 2 ? 2c 2 , 所 以 , 所 以 2 2 b b

e?

6 。故选 B 2
2.【2012 高考真题新课标理 8】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物

线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(



( A)
( D) ?

2

(B)

2 2

(C ) ?

3.【2012 高考真题新课标理 4】设 F1F2 是椭圆 E : 为直线 x ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P a 2 b2


3a 上一点, ?F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 1 2 ( A) (B) 2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【答案】C 【 解 析 】 因 为 ?F2 PF 1 是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形 , 则 有

F2 F1 ? F2 P

,

, 因 为

?PF1 F2 ? 300 , 所 以

12

1 1 3a 1 PF2 ? F1 F2 ,即 ? c ? ? 2c ? c , 2 2 2 2 3a c 3 3 ? 2c ,即 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? ,选 C. 所以 2 a 4 4

?PF2 D ? 600 , ?DPF2 ? 300 ,所以 F2 D ?

4.【2012 高考真题四川理 8】已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且 经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5

x2 y 2 3 5.【2012 高考真题山东理 10】已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心学率为 .双曲 a b 2
线 x 2 ? y 2 ? 1的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16, 则椭圆 C 的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 8 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 6

(C)

x2 y 2 ? ?1 16 4

(D)

x2 y 2 ? ?1 20 5

【答案】D 【解析】因为椭圆的离心率为

3 2 3 c 3 2 ,所以 e? ? , c ? a , 4 2 a 2

c2 ?

3 2 1 a ? a 2 ? b 2 ,所以 b 2 ? a 2 ,即 a 2 ? 4b 2 ,双曲线的渐近线为 y ? ? x ,代入椭 4 4

x2 x2 x2 x 2 5x 2 4 2 4 ? 2 ? 2 ? 1 ,所以 x 2 ? b 2 , x ? ? b , y2 ? b2 , 圆得 2 ? 2 ? 1 ,即 2 5 5 4b b 4b a b 5 y??
2 5

2 5

b ,则第一象限的交点坐标为 (
2 5

2 5

b,

2 5

b) , 所 以 四 边 形 的 面 积 为

4?

b?

b?

x2 y2 16 2 b ? 16 ,所以 b 2 ? 5 ,所以椭圆方程为 ? ? 1 ,选 D. 5 20 5
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