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湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期第二次月考(理)数学试题

湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二上学期第二次月考(理)数学试题


2015-2016 学年度衡阳市八中月考卷 高二理科数学试卷 考试时间:120 分钟,总分 150 分 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题 1.命题“ ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1 ”的否定是( )

A. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1 B. ?x0 ? (0, ??),ln x0 ? x0 ?1 C. ?x ? (0, ??),ln x ? x ? 1
2

D. ?x ? (0, ??),ln x ? x ? 1 )

2.一物体的运动方程是 s ? 3 ? t ,则在一小段时间 ? 2, 2.1? 内的平均速度为( A.0.41 B.4.1 C.0.3 D.3 )

3.关于函数的极值,下列说法正确的是( A.导数为零的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值

C. f ( x ) 在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值 D.若 f ( x ) 在 ( a, b) 内有极值,那么 f ( x ) 在 ( a, b) 内不是单调函数 4.设 f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, f ?( x ) 的图象如图,则 f ( x ) 的图象只可能是

A.

B.

C.

D.

5.若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 是 ? a, b? 上的两条光滑曲线, 则这两条曲线及 x ? a, x ? b 所围成的 平面图形的面积为( )

A. fab ( f ( x) ? g ( x))dx B. fab ( g ( x) ? f ( x))dx
b C. fab f ( x) ? g ( x) dx D. f a ( f ( x ) ? g ( x )) dx

6.设两不同直线 a , b 的方向向量分别是 e1 , e2 ,平面 ? 的法向量是 n ,则下列推理

?? ?? ?

?

?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? e1 / / n ? e1 / / e2 ? e1 / / n ? e1 / / e2 ? ? ? ? ? ① ?? ? ? ? b / / a ;② ?? ? ? ? ? a / / b ;③ b ? a ? ? b / / a ;④ ?? ? ? ? b ? a ?? ?? ?? e1 / / n ? e2 / / n ? e1 / / n ? ? ? ? e1 ? e2 ?
其中正确的命题序号是( )

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 7.已知 A(2, ?5,1), B(2, ?4, 2), C (1, ?4,1) ,则 AB 与 AC 的夹角为( A.30° B.60°C.45°D.90° 8.椭圆 A. ? )

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 k 的值为( 2 4 2?k



10 10 10 10 B. C. 或 1 D. ? 或1 3 3 3 3

9.如图所示, 在正方体 ABCD ? A O 是底面正方形 ABCD 的中心, M 是 D1D 的中点, 1B 1C1D 1 中,

N 是 A1B1 上的动点,则直线 NO、AM 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直



10.过双曲线 x2 ? y 2 ? 8 的左焦点 F 1 有一条弦 PQ 交左支于 P、Q 点,若 PQ ? 7 , F2 是双曲 线的右焦点,则 ?PF2Q 的周长是( A.28 B. 14 ? 8 2 C. 14 ? 8 2 ) D. 8 2

11.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i ? 1, 2,3, 4) ,此四边形内任一点 P 到 第 i 条边的距离记为 hi (i ? 1, 2,3, 4) ,若

a1 a2 a3 a4 ? ? ? ? k ,则 1 2 3 4

h1 ? 2h2 ? 3h3 ? 4h4 ?

2S .类比以上性质,体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 k

Si (i ? 1, 2,3, 4) ,此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi (i ? 1, 2,3, 4) ,若
S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K ,则 H1 ? 2H2 ? 3H3 ? 4H4 等于( 1 2 3 4 2V 3V V V A. B. C. D. K K 2K 3K


12.若曲线 f ( x, y) ? 0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f ( x, y) ? 0 的“自 公切线” .下列方程:① x 2 ? y 2 ? 1;② y ? x2 ? x ;③ y ? 3sin x ? 4cos x ;④

x ? 1 ? 4 ? y 2 对应的曲线中存在“自公切线”的有(
A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题 13.函数 f ( x ) ?



1 3 1 4 x ? x 在区间 ? ?3,3? 上的极值点为________. 3 4

14.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) , 且在点 (i, f (i)) 处的切线的斜率为 ki (i ? 1, 2,3) . 则

1 1 1 ? ? ? ________. k1 k2 k3
15.在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,底面 ABC 为直角三角形,

?BAC ?

?
2

, AB ? AC ? AA1 ? 1 .已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点,D 与 F 分别为线段

AC 和 AB 上的动点(不包括端点) .若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的最小值为________.

x2 y 2 ? 1 (a ? 2) ,圆 O : x2 ? y2 ? a2 ? 4 ,椭圆 C 的左、右焦点分别为 16.如图,椭圆 C : 2 ? a 4
过椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 l 交圆 O 于 M, N 两点, 若 PF 则P F1 、 F2 , MP N ? 1 ?PF 2 ? 6, 的值为________.

三、解答题 17.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a , (1)求 f ( x ) 的单调递减区间; (2)若 f ( x ) 在区间 ? ?2, 2? 上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值. 18.一个几何体是由圆柱 ADD1 A 1 和三棱锥 E ? ABC 组合而成,点 A、B、C 在圆柱上底面圆 O 的圆周上, EA ? 平面 ABC , AB ? AC , AB ? AC ,其正视图、侧视图如图所示. (1)求证: AC ? BD ; (2)求锐二面角 A ? BD ? C 的大小.

19.设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (1)函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 20.如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2,短半轴长为 1,计划将此钢板切割成等腰 梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD ? 2 x ,梯形面积为 S. (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值.

21.已知动圆过定点 P(2, 0) ,且在 y 轴上截得弦长为 4. (1)求动圆圆心的轨迹 Q 的方程; (2) 已知点 E (m,0) 为一个定点, 过 E 作斜率分别为 k1 、k2 的两条直线交轨迹 Q 于点 A 、B 、

C 、 D 四点,且 M 、 N 分别是线段 AB 、 CD 的中点,若 k1 ? k2 ? 1 ,求证:直线 MN 过定
点.

22.已知函数 f ( x) ? ax ? x ln x 的图象在点 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值 ;

参考答案 一、选择题

1-10:DBDDC 二、填空题 13. 1 14.

BBCCC 11-12:BC

0

15.

5 5

16.

6

三、解答题 17. 解: (I) f ’(x)=-3x +6x+9.令 f ‘(x)<0,解得 x<-1 或 x>3, 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1) , (3,+∞) . (II)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)>f(-2).因为在(-1,3)上 f ‘(x)>0,所以 f(x)在上单调递增,又由于
2

f(x)在上单调递减,因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间上的最大值和最小值,于是有 22
+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x +3x +9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间上的最小值为-7.
3 2

18. 方 法 1 : ( 1 )证明: 因为 EA ? 平面 ABC, AC ? 平面ABC ,所以 EA ? AC ,即

ED ? AC.
又因为 AC ? AB , AB ? ED ? A ,所以 AC ? 平面 EBD . 因为 BD ? 平面EBD ,所以 AC ? BD .???????????????5 分 (2)解: BC ? 4 , AB ? AC ? 2 2 . 过点 C 作 CH ? BD 于点 H ,连接 AH , 由(1)知, AC ? BD , AC ? CH ? C ,所以 BD ? 平面 ACH . 因为 AH ? 平面 ACH ,所以 BD ? AH . 所以 ?AHC 为二面角 A ? BD ? C 的平面角. 由(1)知, AC ? 平面 ABD , AH ? 平面 ABD , 所以 AC ? AH ,即△ CAH 为直角三角形. 在 Rt △ BAD 中, AB ? 2 2 , AD ? 2 ,则 BD ? 由 AB ? AD ? BD ? AH ,解得 AH ? C A1
1

E

O B

A

D1

D

AB2 ? AD2 ? 2 3 .

1

2 6 . 3

因为 tan ?AHC ?

AC ? 3. AH

所以 ?AHC ? 60? . 所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60? . 方法 2: (2)解:设 n ? ? x, y, z ? 是平面 BCD 的法向量,因为 BC ? ? 0, ?4,0 ? ,

??? ?

??? ? ? n ? BC ? 0, ??4 y ? 0, ? 所以 ? ??? 即? ? n ? DB ? 0. ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0. ? ?
取 z ? ?1 ,则 n ? ?1,0, ?1? 是平面 BCD 的一个法向量.

C ? A B 由 (1) 知,AC ? BD , 又A

,AB ? BD ? B , 所以 AC ? 平面 ABD . C A1
1

z E

所以 AC ? ? 2, ?2,0 ? 是平面 ABD 的一个法向量.

????

???? ???? n ? AC 2 1 因为 cos n, AC ? ? , ???? ? 2?2 2 2 n ? AC
所以 n, AC ? 60 .
?

O B

A

????

x D1
1

D y

???? 而 n, AC 等于二面角 A ? BD ? C 的平面角,
?

所以二面角 A ? BD ? C 的平面角大小为 60 .??????????????12 分

19.【解析】 (Ⅰ)由 f

'

? x? ? ?1? kx? ekx ? 0 ,得 x ? ? k ? k ? 0 ? ,
? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

1

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? ? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k?

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ?
1 ? ?1 ,即 k ? 1 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? k

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 内单调递增;

若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

1 ? 1 ,即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 内单调递增,综 k

上可知,函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ?1,0? ? ? 0,1? .

20. 解: (I)依题意,以 AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系 O ? xy (如图) ,则点 C 的横坐 标为 x .
2 点 C 的纵坐标 y 满足方程 x ?

y2 ? 1( y ≥ 0) , 4
D

y

解得 y ? 2 1 ? x 2 (0 ? x ? 1)

C

S?

1 (2 x ? 2)?2 1 ? x 2 2
A

? 2( x ? 1)? 1 ? x 2 ,
其定义域为 x 0 ? x ? 1 . (II)记 f ( x) ? 4( x ? 1)2 (1 ? x2 ), 0 ? x ? 1, 则 f ?( x) ? 8( x ? 1)2 (1 ? 2x) . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 因为当 0 ? x ?

O

B

x

?

?

1 . 2

1 1 ?1? 时, f ?( x) ? 0 ;当 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ? ? 是 f ( x ) 的最大值. 2 2 ?2?

因此,当 x ?

1 时, S 也取得最大值,最大值为 2

?1? 3 3 . f? ?? 2 ?2?

即梯形面积 S 的最大值为

3 3 . 2

21. 解:(1)设动圆圆心为 O1(x,y),动圆与 y 轴交于 R,S 两点,由题意,得|O1P|=|O1S|, 当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥RS 交 RS 于 H,则 H 是 RS 的中点, ∴|O1S|= x ? 2 ,
2 2
2 2 又|O1P|= ( x ? 2) ? y ,



x2 ? 22 = ( x ? 2) 2 ? y 2 ,

化简得 y =4x(x≠0). 又当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标为(0,0)也满足方程 y =4x, ∴动圆圆心的轨迹 Q 的方程为 y =4x. (2)由 ?
2 2

2

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y2 ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?

4 , y1 y2 ? ?4m k1

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) ??8 分 2 2 k1 k1 k2 k2
??10 分

∴ kMN ?

yM ? yN kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2
2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴MN: y ?

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .

??12 分

22. (1)解:因为 f ? x ? ? ax ? x ln x ,所以 f ? x ? a ? ln x ? 1. ? ? 因为函数 f ? x ? ? ax ? x ln x 的图像在点 x ? e 处的切线斜率为 3, 所以 f ? ? e? ? 3 ,即 所以 a ? 1 . (2)解:由(1)知, f ? x ? ? x ? x ln x , 所以 k ?

a ? ln e ? 1 ? 3



f ? x? x ? x ln x 对任意 x ? 1 恒成立,即 k ? 对任意 x ? 1 恒成立. x ?1 x ?1
x ? x ln x , x ?1

令 g ? x? ? 则 g? ? x ? ?

x ? ln x ? 2

? x ? 1?

2



令 h ? x ? ? x ? ln x ? 2 ? x ? 1? , 则 h? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ?0, x x

所以函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增. 因为 h ?3? ? 1 ? ln3 ? 0, h ? 4? ? 2 ? 2ln 2 ? 0 ,

所以函数 g ? x ? ? 所以

x ? x ln x 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. x ?1

? ? g ? x ?? ? min ? g ? x0 ? ?
所以

x0 ?1 ? ln x0 ? x0 ?1 ? x0 ? 2 ? ? ? x0 ? ? 3, 4 ? . x0 ? 1 x0 ? 1


k?? ? g ? x ?? ? min ? x0 ? ? 3, 4 ?

故整数 k 的最大值是 3. (3)证明 1:由(2)知, g ? x ? ?

x ? x ln x 是 ? 4, ??? 上的增函数, x ?1 n ? n ln n m ? m ln m ? 所以当 n ? m ? 4 时, . n ?1 m ?1
即 n m ?1 1 ? ln n ? m n ?1 1 ? ln m . ? ?? ? ? ?? ? 整理,得

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? ? n ? m? .
因为 即

n?m

, 所以

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n




ln nmn ? ln mm ? ln mmn ? ln nn

即 ln n mn m m ? ln m mn n n . 所以 mn

?

?

?

?

?

n m

? ? ? nm ? .
m n

证明 2:构造函数

f ? x ? ? mx ln x ? m ln m ? mx ln m ? x ln x ,
则 f ? x ? m ?1 ln x ? m ?1 ? m ln m . ? ? ? ? 因为 x ? m ? 4 ,所以 f ? x ? m ?1 ln m ? m ?1 ? m ln m ? m ?1? ln m ? 0 . ? ? ? ? 所以函数 f x 在 ? m, ??? 上单调递增. ? ? 因为 所以

n?m

, 所以 f n ? f m . ? ? ? ?

mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n ? m2 ln m ? m ln m ? m2 ln m ? m ln m ? 0
即 即



mn ln n ? m ln m ? mn ln m ? n ln n
ln nmn ? ln mm ? ln mmn ? ln nn




即 ln n mn m m ? ln m mn n n . 所以 mn

?

?

?

?

?

n m

? ? ? nm ? .
m n


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