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专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 文

专题篇 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 文


2017 届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 文
A 组——高考热点基础练 1.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( A. < )

c b a a
D.

B.

b-a >0 c

b2 a2 C. < c c

a-c <0 ac

解析:∵c<b<a 且 ac<0,∴c<0,a>0,∴ < , 但 b 与 a 的关系不确定,故 < 不一定成立. 答案:C
2 2

c b b-a a-c >0, <0, a a c ac

b2 a2 c c

1? ? 1 2 2 2.已知不等式 ax -bx-1≥0 的解集是?- ,- ?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是( 3? ? 2 A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)

)

?1 1? C.? , ? ?3 2?
1? ?1 ? ? D.?-∞, ?∪? ,+∞? 3 2 ? ? ? ?

b 1 1 =- - , ? ? a 2 3 1 1 解析:依题意,- 与- 是方程 ax -bx-1=0 的两根,则? 2 3 1 1 ? 1? - ?, ? ?-a=-2×? ? 3?
2



b 5 ? ?a=-6, ?1 1 ?a=-6, ?
1 2 b 1 2 5 2 又 a<0,不等式 x -bx-a<0 可化为 x - x-1>0,即- x + x-1>0,解得 2<x<3. a a 6 6 答案:A 2x-y≤0, ? ? 3.(2016·高考北京卷)若 x,y 满足?x+y≤3, ? ?x≥0, A.0 B.3
1

则 2x+y 的最大值为(

)

C.4

D.5

解析:先作出可行域,再求目标函数的最大值. 根据题意作出可行域如图阴影部分所示,平移直线 y=-2x,当直线平移到虚线处时,目标 函数取得最大值.由?
?2x-y=0, ? ? ?x+y=3,

可得 A(1,2),此时 2x+y 取最大值为 2×1+2=4.

答案:C 4. 已知函数 f(x)=ax +bx+c, 不等式 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}, 则函数 y=f(-
2

x)的图象可以为(

)

解析:由 f(x)<0 的解集为{x|x<-3 或 x>1}知 a<0,y=f(x)的图象与 x 轴交点为(-3,0), (1,0), ∴f(-x)图象开口向下,与 x 轴交点为(3,0),(-1,0). 答案:B 5.设 a,b∈R,且 a+b=3,则 2 +2 的最小值是( A.6 B.4 2 C.2 2
a a b

)

D.2 6
b a+b

解析: 2 +2 ≥2 2 选 B. 答案:B

3 3 a b =2 2 =4 2, 当且仅当 2 =2 , a+b=3, 即 a=b= 时, 等号成立. 故 2

2

y≥0 ? ? 6.(2016·广西模拟)已知实数 x,y 满足约束条件?x-y≥0 ? ?2x-y-2≥0
范围是( 1? ? A.?-1, ? 3 ? ? )

,则 z=

y-1 的取值 x+1

? 1 1? B.?- , ? ? 2 3? ? 1 ? D.?- ,1? ? 2 ?
y- 1 ? 1 ? 的取值范围为[kMA,1),即?- ,1?. x+ 1 ? 2 ?

? 1 ? C.?- ,+∞? ? 2 ?

解析:由题知可行域如图阴影部分所示,∴z=

答案:D 1 1 7.设 a,b 为实数,则“a< 或 b< ”是“0<ab<1”的(

b

a

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 解析: 充分条件可举反例, 令 a=b=-10, 此时 a< , b< , 但 ab=100>1, 所以“a< 或 b< ”

b

a

b

a

不是“0<ab<1”的充分条件.反之,a,b 为实数,当 0<ab<1 时,说明 a,b 同号.若 a>0,

b>0,则 a< 或 b< ;若 a<0,b<0,则 a> 或 b> .所以“a< 或 b< ”不是“0<ab<1”的必要 b a b a b a
1 1 条件.综上可知“a< 或 b< ”是“0<ab<1”的既不充分也不必要条件.

1

1

1

1

1

1

b

a

答案:D 8.已知函数 y=x-4+ A.-3 C.3 解析:y=x-4+ 9 9

x+1

(x>-1),当 x=a 时,y 取得最小值 b,则 a+b 等于( B.2 D.8

)

x+1

=x+1+ 9

9

x+1

-5,因为 x>-1,所以 x+1>0,

9

x+1

>0.所以由基本不 9 ,即(x

等式,得 y=x+1+
2

x+1

-5≥2

x+

9

x+1

-5=1,当且仅当 x+1=

x+1

+1) =9,即 x+1=3,x=2 时取等号,所以 a=2,b=1,a+b=3.
3

答案:C

x+y≥1 ? ? 9.(2016·开封模拟)若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1 ? ?2x-y≤2
点(1,0)处取得最小值,则 a 的取值范围是( A.[-4,2] C.[-4,1] )

,且目标函数 z=ax+2y 仅在

B.(-4,2) D.(-4,1)

解析:作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示,直线 z=ax+2y 的斜率为 k=- , 2 从图中可看出,当-1<- <2,即-4<a<2 时,仅在点(1,0)处取得最小值.故选 B 2

a

a

. 答案:B 10.若关于 x 的不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为(
2

)

? 23 ? A.?- ,+∞? ? 5 ?
C.(1,+∞) 解析:x +ax-2>0,即 ax>2-x . 2 ∵x∈[1,5],∴a> -x 成立.
2 2

? 23 ? B.?- ,1? ? 5 ?
D.(-∞,-1)

x

2 ?2 ? ∴a>? -x?min.又函数 f(x)= -x 在[1,5]上是减函数,

?x

?

x

2 23 23 ?2 ? ∴? -x?min= -5=- ,∴a>- .故选 A. 5 5 5 ?x ? 答案:A 11.(2016·高考北京卷)已知 A(2,5),B(4,1).若点 P(x,y)在线段 AB 上,则 2x-y 的最 大值为( A.-1 C.7 ) B.3 D.8

解析:先根据约束条件画出可行域,再利用线性规划知识求解目标函数的最大值. 作出线段 AB,如图所示.
4

作直线 2x-y=0 并将其向下平移至直线过点 B(4,1)时,2x-y 取最大值为 2×4-1=7. 答案:C 1 a 12.若正数 x,y 满足 x+y=1,且 + ≥4 对任意的 x,y∈(0,1)恒成立,则 a 的取值范围

x y

是(

) B.[4,+∞) D.[1,+∞)

A.(0,4] C.(0,1]

1 a y ax ?1 a? 解析:正数 x,y 满足 x+y=1,当 a>0 时, + =(x+y)? + ?=1+a+ + ≥1+a+

x y

?x y?

x

y

2

y ax 1 a · =1+a+2 a,当且仅当 y= ax 时取等号,因为 + ≥4 对任意的 x,y∈(0,1) x y x y

恒成立,∴1+a+2 a≥4,解得 a≥1,∴a 的取值范围是[1,+∞).当 a≤0 时显然不满 足题意,故选 D. 答案:D 13.已知 a,b∈R,若 a +b -ab=2,则 ab 的最小值是________. 解析:∵a +b -ab=2,∴2+ab=a +b ≥-2ab, ∴3ab≥-2,当且仅当 a=-b=± 2 答案:- 3
? ?x +ax,x≥0 14.(2016·扬州中学调研)已知函数 f(x)=? 2 ?bx -3x,x<0 ?
2 2 2 2 2 2 2

6 2 时,取等号,∴ab≥- . 3 3

为奇函数,则不等式 f(x)<4

的解集为________. 解析:因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),可得 a=-3,b=-1,所以 f(x)=
? ?x -3x,x≥0 ? 2 ? ?-x -3x,x<0
2

.当 x≥0 时, 由 x -3x<4 解得 0≤x<4; 当 x<0 时, 由-x -3x<4 解得 x<0,

2

2

所以不等式 f(x)<4 的解集为(-∞,4). 答案:(-∞,4)

5

x≥0 ? ? 15.(2016·广东五校联考)设不等式组?x+2y≥4 ? ?2x+y≤4
的面积为________.

所表示的平面区域为 D,则可行域 D

1 4 ?4 4? 解析:如图,画出可行域.易得 A? , ?,B(0,2),C(0,4),∴可行域 D 的面积为 ×2× = 3 3 2 3 ? ? 4 . 3

4 答案: 3

x-y+1≥0, ? ? 16.(2016·高考全国Ⅱ卷)若 x,y 满足约束条件?x+y-3≥0, ? ?x-3≤0,
为__________. 解析:作出不等式组表示的可行域,利用数形结合思想求解.

则 z=x-2y 的最小值

x-y+1≥0, ? ? 不等式组?x+y-3≥0, ? ?x-3≤0
1 1 由 z=x-2y 得 y= x- z. 2 2

表示的可行域如图阴影部分所示.

1 平移直线 y= x,易知经过点 A(3,4)时,z 有最小值,最小值为 z=3-2×4=-5. 2

答案:-5 B 组——12+4 高考提速练 1.不等式-x +|x|+2<0 的解集是( A.{x|-2<x<2}
2

) B.{x|x<-2 或 x>2}
6

C.{x|-1<x<1}
2

D.{x|x<-1 或 x>1}

解析:原不等式化为|x| -|x|-2>0,因式分解得(|x|-2)·(|x|+1)>0,因为|x|+1>0, 所以|x|-2>0,即|x|>2,解得 x<-2 或 x>2.故选 B. 答案:B 1 1 2.已知 < <0,则下列结论错误的是(

a b

) B. + >2 D.lg a <lg ab
2 2

A.a <b

2

2

b a a b

C.ab>b

2

解析:特值法,令 a=-1,b=-2,易证 ab<b ,故选 C. 答案:C

x+y≥2, ? ? 3.(2016·贵州模拟)已知 O 是坐标原点,若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2
个动点,则目标函数 z=-x+2y 的最大值是( A.0 C.3 )

上的一

B.1 D.4

解析:作出点 M(x,y)满足的平面区域,如图所示,由图知当点 M 为点 C(0,2)时,目标函数

z=-x+2y 取得最大值,即为-1×0+2×2=4,故选 D.

答案:D 4.设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ① > ;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有正确结论的序号是( A.① C.②③ ) B.①② D.①②③

c c a b

c

c

1 1 c c 解析: 由 a>b>1 知 < , 又 c<0, 所以 > , ①正确; 由幂函数的图象与性质知②正确; 由 a>b>1,

a b

a b

c<0 知 a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质知③正确,故选 D.
答案:D 5.若 ax +bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x>4},则对于函数 f(x)=ax +bx+c 应有(
2 2

)
7

A.f(5)<f(2)<f(-1) C.f(-1)<f(2)<f(5)
2

B.f(5)<f(-1)<f(2) D.f(2)<f(-1)<f(5)
2

解析:ax +bx+c<0 的解集为(-∞,-2)∪(4,+∞),∴a<0,而且函数 f(x)=ax +bx 4-2 +c 的图象的对称轴为直线 x= =1,∴f(-1)=f(3),函数 f(x)在[1,+∞)上是减函 2 数,∴f(5)<f(3)<f(2).故选 B. 答案:B 2x-y-2≤0 ? ? 6. (2016·广州模拟)若实数 x, y 满足约束条件?2x+y-4≥0 ? ?y≤2

, 则 的取值范围是(

x y

)

?2 ? A.? ,2? ?3 ? ?3 ? C.? ,2? ?2 ?

?1 3? B.? , ? ?2 2?
D.[1,2]

解析: 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 令 =z, 则 y= , 当直线 y= 经 3 x 1 x ?1 3? 过 A 点时,zmax= ;当直线 y= 经过 B 点时,zmin= .故 的取值范围是? , ?. 2 z 2 y ?2 2?

x y

x z

x z

答案:B 2 7.“不等式 x(x-2)>0 成立”是“不等式 <1 成立”的(

x

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 解析:不等式 x(x-2)>0 等价于 x>2 或 x<0,不等式 <1 等价于 x>2 或 x<0,故选 C.

x

答案:C

x+y-3≥0, ? ? 8.(2016·高考浙江卷)若平面区域?2x-y-3≤0, ? ?x-2y+3≥0
间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )

夹在两条斜率为 1 的平行直线之

8

3 5 A. 5 3 2 C. 2

B. 2

D. 5

解析:先由约束条件作出可行域,再根据线性规划知识分析求解. 根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为 1 的直线分别过 A 点和 B 点时满足条件, 联立方程组?
? ?x+y-3=0, ?x-2y+3=0 ? ? ?2x-y-3=0, 求得 A(1,2),联立方程组? ?x+y-3=0 ?

求得 B(2,1),可

求得分别过 A,B 点且斜率为 1 的两条直线方程为 x-y+1=0 和 x-y-1=0,由两平行线 |1+1| 间的距离公式得距离为 = 2,故选 B. 2

答案:B 9.已知不等式

x+2 <0 的解集为{x|a<x<b},点 A(a,b)在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0, x+1
) B.8 D.12

2 1 则 + 的最小值为(

m n

A.4 2 C.9 解析: 易知不等式

x+2 2 1 <0 的解集为(-2, -1), 所以 a=-2,b=-1,2m+n=1, + =(2m x+1 m n

1 2m 2n 2 1 ?2 1? ? ? +n)·? + ?=5+ + ≥5+4=9?当且仅当m=n= 时取等号?,所以 + 的最小值为 9. 3 n m m n ?m n? ? ? 答案:C 10.(2016·开封模拟)已知在各项为正的等比数列{an}中,a2 与 a8 的等比中项为 8,则 4a3 +a7 取最小值时,首项 a1 等于( A.8 C.2 ) B.4 D.1

解析:在等比数列 {an} 中, a2a8 = a3a7 ,∵ a2 与 a8 的等比中项为 8 ,∴ a2a8 = 64 ,∴ 4a3 +

a7≥2 4a3a7=2 4a2a8=32,当且仅当 4a3=a7 时等号成立,即 4a1q2=a1q6,∴4=q4.①∵a2a8
=64=a1q ,②联立①②可解得 a1=2,故选 C.
2 8

9

答案:C

x≥0 ? ? 11.(2016·宜昌模拟)设 x,y 满足约束条件?y≥x ? ?4x+3y≤12
( ) B.[2,6] D.[3,11]

,则

x+2y+3 的取值范围是 x+1

A.[1,5] C.[2,10] 解析:设 z=

x+2y+3 x+1+ y+ = x+1 x+1

=1+2·

y+1 y+1 ,设 z′= ,则 z′的几何意义 x+1 x+1

为动点 P(x,y)到定点 D(-1,-1)的斜率.画出可行域如图阴影部分所示,则易得 z′∈ [kDA,kDB],易得 z′∈[1,5],∴z=1+2·z′∈[3,11].

答案:D 4 -1 12. 已知函数 f(x)= x , 若 x1>0, x2>0, 且 f(x1)+f(x2)=1, 则 f(x1+x2)的最小值为( 4 +1 1 A. 4 C.2
x x

)

B.

4 5

D.4

4 -1 2 2 2 解析:由题意得 f(x)= x =1- x ,由 f(x1)+f(x2)=1 得 2- - =1,化 4 +1 4 +1 4x1+1 4x2+1 2 简得 4x1+x2-3=4x1+4x2≥2×2x1+x2, 解得 2x1+x2≥3, 所以 f(x1+x2)=1- ≥1 4x1+x2+1 - 2 4 = .故选 B. 2 3 +1 5

答案:B 1 2 13.已知 a,b 都是正实数,且 2a+b=1,则 + 的最小值是________.

a b

1 2 ?1 2? 4a b 解析: + =? + ?(2a+b)=4+ + ≥4+2

a b ?a b?

b

a

4a b 4a b 1 × =8,当且仅当 = ,即 a= ,b b a b a 4

1 1 2 = 时,“=”成立,故 + 的最小值是 8. 2 a b 答案:8

10

14.对于实数 x,当且仅当 n≤x<n+1,n∈N 时,[x]=n,则关于 x 的不等式 4[x] -36[x] +45<0 的解集是________. 3 15 2 * 解析:由 4[x] -36[x]+45<0 得 <[x]< ,又当且仅当 n≤x<n+1,n∈N 时,[x]=n,所 2 2 以所求解集是[2,8). 答案:[2,8) 15.(2016·高考全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生 产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件 下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元. 解析:设出产品 A,B 的产量,列出产品 A,B 的产量满足的约束条件,转化为线性规划问题 求解. 设生产产品 A x 件,产品 B y 件,则

*

2

? ?x+0.3y≤90, x+3y≤600, ?5 x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈N .
* *

1.5x+0.5y≤150,

目标函数 z=2 100x+900y. 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为 (60,100),(0,200),(0,0),(90,0).

当直线 z=2 100x+900y 经过点(60,100)时,z 取得最大值,zmax=2 100×60+900×100= 216 000(元). 答案:216 000 16.(2016·昆明模拟)已知函数 f(x)=x- 1 2 ,g(x)=x -2ax+4,若对任意 x1∈[0,1], x+1

存在 x2∈[1,3],使 f(x1)≥g(x2),则实数 a 的取值范围是________.
11

解析:依题意得,当 x∈[0,1]时,f(x)=x-

1 单调递增,f(x)的最小值是 f(0)=-1, x+1

1 ? 5? 2 则要求存在 x ∈ [1,3] ,关于 x 的不等式 x - 2ax +4≤- 1 ,即 a≥ ?x+ ? 有解,所以 2 ? x?

a≥? ?x+x??min.注意到当 x∈[1,3]时, ?x+ ?≥ x

?1? ?2?

5??

??

1? 2?

5?

?

x· = 5, 当且仅当 x= , 即 x= 5 x x

5

5

?1? 5?? ∈[1,3]时取等号, 此时? ?x+ ??min= 5, 所以 a≥ 5, 则实数 a 的取值范围是[ 5, +∞). ?2? x??
答案:[ 5,+∞)

12


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