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【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《导数的应用二

【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《导数的应用二


2.3 导数的应用(二) 考纲点击 1.会求闭区间上函数的最大值、 最小值(其中多项式函数一 般不超过三次) 2.会利用导数解决某些简单的实际问题.

考点梳理 一、函数的最值与导数 1.函数 f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数 y=f(x)的图象是一条 ①______不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. 2.求函数 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为: (1)求函数 y=f(x)在(a,b)内的②______. (2)将函数 y=f(x)的各极值与③______的函数值 f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

二、利用导数研究生活中的优化问题 1.生活中常遇到求利润最大,用料最省、效率最高等一 些实际问题,这些问题通常称为优化问题. 2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:

答案:①连续 ②极值 ③端点处

考点自测 1.下列命题中真命题是( ) A.函数的最大值一定是函数的极大值 B.函数的极大值可能会小于这个函数的极小值 C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数在这一区间上 的最小值 D.函数在开区间内不存在最大值和最小值

解析:极值是局部问题,而最值是整体问题. 答案:B

2. 函数 f(x)=x3-3x2+2 在区间[-1,1]上的最大值是( ) A.-2 B.0 C.2 D.4

解析: f′(x)=3x2-6x, f′(x)=0, x=0, 令 得 x=2(舍去). 比 较 f(-1),f(0),f(1)的大小知 f(x)max=f(0)=2,选 C. 答案:C

3.函数 f(x)=x+2cosx π π π A.0 B. C. D. 6 3 2

? π? 在?0,2?上的最大值点为( ? ?

)



? π? π 解析: ′(x)=1-2sinx, ′(x)=0 在?0,2?上仅有一解 , f f 6 ? ? ?π ? π ?π? π ?π ? f(0)=2,f?6?= + 3,f?2?= ,比较可知 f?6?为最大值. ? ? 6 ? ? 2 ? ?

答案:B

4. 已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与 最小值分别为 M,m,则 M-m=__________.

解析:f′(x)=3x2-12,令 f′(x)=0,得 x=± 2. ∴f(3)=-1,f(-3)=17,f(2)=-8,f(-2)=24, 则 M=24,m=-8,∴M-m=32. 答案:32

5.面积为 S 的一矩形中,其周长最小时的边长是 __________.

S 解析:设矩形的一边边长为 x,则另一边边长为x , 2S 2S 其周长为 l=2x+ x ,x>0,l′=2- x2 ,令 l′=0,解得 x= S,易知,当 x= S时,其周长最小. 答案: S

疑点清源 1.函数的最大值与最小值的理解 最值是一个整体性概念, 是指函数在给定区间(或定义域)内所有 函数值中最大的值与最小的值,在求函数的最值时,要注意以下几 点: (1)最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较.因此,同一函数在某一点 的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);而最大、最小值 是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较,因而在一般情况下,两者是 有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是 极大(小)值,但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极 大值就是最大值,极小值就是最小值.

(2)最值与极值的求法的区别 在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导的函数 f(x), 它的极值可以通过检查导数 f′(x)在每一个零点两侧的符号来 求得.而 f(x)在[a,b]上的最大(小)值,则可以通过将各极值与 端点的函数值加以比较来求得,其中最大(小)的一个即为最大 (小)值. (3)当 f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时,其最大值、最 小值在端点处取得.

2.生活中的优化问题 利用导数解决实际问题中的最值问题应注意: (1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问 题的意义,不符合实际问题的值应舍去. (2)在实际问题中, 有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最 大(小)值. (3)在解决实际优化问题时, 不仅要注意将问题中涉及的自 变量的函数关系式给予表示, 还应确定函数关系式中自变量的 定义区间.

题型探究 题型一 求已知函数的最值 1 2 例 1 求函数 f(x)=ln(1+x)-4x 在[0,2]上的最大值和最小 值.

1 1 解析:f′(x)= - x, 1+x 2 1 1 令 - x=0,化简为 x2+x-2=0. 1+x 2 解得 x1=-2(舍去),x2=1. 当 0≤x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 1<x≤2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 1 所以 f(1)=ln2-4为函数的极大值. 又因为 f(0)=0,f(2)=ln3-1>0,f(1)>f(2). 所以 f(0)=0 为函数 f(x)在[0,2]上的最小值, 1 f(1)=ln2-4为函数 f(x)在[0,2]上的最大值.

点评:①求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极 大值还是极小值,可不再作判断,只需要直接与端点的函数值 比较即可获得.②当连续的函数的极值点只有一个时,相应的 极值点必为函数的最值.

变式探究 1 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+5,若曲线 f(x) 2 在点(1,f(1))处的切线斜率为 3,且 x=3时,y=f(x)有极值. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值.

解析:f′(x)=3x2+2ax+b. ?2? 2 ? ?2? ?f′? ?=3×? ?2+2a× +b=0, 3 ?3? (1)由题意,得? ?3? ?f′?1?=3×12+2a×1+b=3. ?
?a=2, ? 解得? ?b=-4. ?

所以 f(x)=x3+2x2-4x+5.

(2)由(1)知,f′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2). 2 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2= . 3 当 x 变化时,f(x),f′(x)的变化情况如表:

∴f(x)在[-4,1]上的最大值为 13,最小值为-11.

题型二 不等式恒成立问题 1 2 x 例 2 设函数 f(x)=2x +e -xex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

解析:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), 因为 f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由 f′(x)=x(1-ex)>0 得 x<0,f′(x)<0 得 x>0, 则 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0, +∞). (2)由(1)知,f(x)在[0,2]上单调递减,在[-2,0)上单调递增, 3 3 2 又 f(-2)=2+e2,f(2)=2-e ,且 2+e2>2-e2, 所以 x∈[-2,2]时,[f(x)]min=2-e2, 故 m<2-e2 时,不等式 f(x)>m 恒成立.

点评:若 m<f(x)恒成立,则 m<[f(x)]min;若 m>f(x)恒成 立,则 m>[f(x)]max,因此不等式恒成立问题可转化为函数的最 值来解决.

变式探究 2 设函数 f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0). (1)求 f(x)的最小值 h(t); (2)若 h(t)<-2t+m 对 t∈(0,2)恒成立, 求实数 m 的取值范 围.

解析:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0), ∴当 x=-t 时,f(x)取最小值 f(-t)=-t3+t-1, 即 h(t)=-t3+t-1. (2)令 g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m, 由 g′(t)=-3t2+3=0,得 t=1,t=-1(不合题意,舍去). 当 t 变化时,g′(t)、g(t)的变化情况如下表: t (0,1) 1 (1,2) 0 g′(t) + - g(t) 递增 极大值 1-m 递减 ∴g(t)在(0,2)内有最大值 g(1)=1-m. h(t)<-2t+m 在(0,2)内恒成立等价于 g(t)<0 在(0,2)内恒成立, 即等价于 1-m<0, ∴m 的取值范围为 m>1.

题型三 生活中的优化问题 例 3 某企业拟建造如图所示的容器 (不计厚度,长度单位:米), 其中容器的中间为圆柱形, 左右两端 均为半球形, 按照设计要求容器的容积为 80π 3 立方米,且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已 知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建 造费用为 c(c>3)千元,设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

4 3 解析:(1)设容器的容积为 V,由题意知 V=πr l+3πr , 4 3 V- πr 3 80π 80 4 4?20 ? 又 V= 3 ,故 l= πr2 =3r2-3r=3? r2 -r?. ? ? 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c 4?20 ? =2πr×3? r2 -r?×3+4πr2c. ? ? 160π 2 因此 y=4π(c-2)r + ,0<r≤2. r
2

160π 8π?c-2?? 3 20 ? (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- r2 = r2 ?r -c-2?, ? ? 0<r≤2. 3 20 20 由于 c>3,所以 c-2>0,当 r - =0 时,r= . c-2 c-2
3

令 m2).

3

8π?c-2? 20 =m,则 m>0,所以 y′= (r-m)(r2+rm+ 2 r c-2

9 ①当 0<m<2,即 c> 时,当 r=m 时,y′=0; 2 当 r∈(0,m)时,y′<0;当 r∈(m,2)时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点.

9 ②当 m≥2 即 3<c≤2时,当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单 调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤2时,建造费用最小时 r=2; 3 20 9 当 c>2时,建造费用最小时 r= . c-2

点评:在求实际问题中的最值时,一般先设自变量、因变 量,建立函数关系式,并确定其定义域,然后利用导数求函数 最值的方法求解.但要注意结果应与实际情况相符.

变式探究 3 请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是 边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等 的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点 重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E、 F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端 点.设 AE=FB=x(cm).

(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大, 试问 x 应取 何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何 值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

解析:设包装盒的高为 h(cm),底面边长为 a(cm). 60-2x 由已知得 a= 2x,h= ,0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时a=2.即包装盒的高与底面边长的比值为2.

归纳总结 ?方法与技巧 1.函数的最值 函数的最大值、 最小值是比较整个定义区间的函数值得出 来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,函数 的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取 得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的 未必有极值.极值可能成为最值.最值只要不在端点取得必定 是极值.

2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系, 列出实际问题的数 学模型,写出相应的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值,确定最值; (4)回到实际问题,作出解答.

?失误与防范 1.极值是指某一点附近函数值的比较,因此,同一函数 在某一点的极大(小)值,可以比另一点的极小(大)值小(大);最 大、最小值是指闭区间[a,b]上所有函数值的比较.因而在一 般情况下,两者是有区别的,极大(小)值不一定是最大(小)值, 最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小 值. 2.利用导数求解实际问题中函数的最值时,千万不可忽 视实际意义对函数定义域的制约.

新题速递 1.(2013· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x=2 处取 得极值 c-16. (1)求 a,b 的值; (2)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值.

解析: (1)∵f(x)=ax3+bx+c, f′(x)=3ax2+b, 故 由于 f(x) ?f′?2?=0, ? 在点 x=2 处取得极值 c-16,故有? ?f?2?=c-16, ?
?12a+b=0, ? 即? ?8a+2b+c=c-16, ? ?12a+b=0, ? 化简得? ?4a+b=-8, ?

解得 a=1,b=-12.

(2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c, f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2). 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增 函数.

由此可知 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x) 在 x2=2 处取得极小值 f(2)=c-16. 由题设条件知 16+c=28,得 c=12. 此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3, f(2)=c-16=-4, 因此 f(x)在[-3,3]上的最小值为 f(2)=-4.

2.(2012· 北京卷)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+ bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1, c)处具有 公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a=3,b=-9 时,若函数 f(x)+g(x)在区间[k,2]上的 最大值为 28,求 k 的取值范围.

解析:(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. 因为曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有 公共切线. 所以 f(1)=g(1),且 f′(1)=g′(1). 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3.

(2)记 h(x)=f(x)+g(x). 当 a=3,b=-9 时,h(x)=x3+3x2-9x+1, h′(x)=3x2+6x-9. 令 h′(x)=0,得 x1=-3,x2=1. h(x)与 h′(x)在(-∞,2]上的情况如下:

由此可知: 当 k≤-3 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值为 h(-3) =28; 当-3<k≤2 时,函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值小于 28. 因此,k 的取值范围是(-∞,-3]


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