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【精品】高中数学专题17函数奇偶性的图象和性质课件新人教A版必修1_图文

【精品】高中数学专题17函数奇偶性的图象和性质课件新人教A版必修1_图文

函数奇偶性的图象和性质 1.具有奇偶性的函数的图象的特征: 偶函数的图象关于y轴对称; 奇函数的图象关于原点对称. 2.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求 出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值: 利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于待求 参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程 ( 组) , 进而得出参数的值. (4)画函数图像和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区 间上的单调性. 例1.根据函数图象判断函数的奇偶性: 根据图象的对称性易知:A、D为偶函数,B、C为奇函数 例2.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( C ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(- ∞ ,0) 解析:将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值 2 ? ?x ?2x, x ?0, 得 f (x) ? ? 2 ,画出函数f(x)的图像,如图: ? ??x ?2x, x ?0, 观察图像可知,函数f(x)的图像关于原点对称,故 函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.故选C. 例3.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, ? 1? 且 f (x)-g(x)=? ? ,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小关系 ? 2? f(1)>g(0)>g(-1) . 是______________ ? 1? g(x)= 解析:在 f (x)- ? ? 中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x) ? 2? =2x,由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数, x x 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x. ?x x 2?x ? 2x 3 2 ? 2 f 1 = ? ? f x = ? ? g 0 =-1 , 于是解得 , ,于是 g? x?= 4 ,? ? 2 2 5 g ? ? 1 ? = - ,故 f(1)>g(0)>g(-1). 4 例4.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(3)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积. 解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)=f(3-4)=-f(1)=-1. (2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)= f(1-x).故知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称. 又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对 称,则-1≤x≤0时,f(x)=x,则f(x)的图像如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图像与x轴围成的图形面积 为S,则S=4S△OAB=4. 例 5 .定义在 R 上的偶函数 f(x) 满足:对任意的 x1 , x2∈[0 ,+ ∞ ) , (x1≠x2),有 f (x1) ? f (x2 ) ? 0 ,则( A ) x1 ? x2 B.f(1)<f(-2)<f(3) A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 解:由题意知x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数且当x∈R时,f(x) 的图像关于直线x=0对称,所以f(1)>f(-2)>f(3),故选A. ?9 例6.设函数f(x)=x3cos x+1.若f(a)=11,则f(-a)=________. 解析:观察可知,y=x3cos x为奇函数,且f(a)=a3cos a+1=11,故 a3cos a=10.则f(-a)=-a3· cos a+1=-10+1=-9. 0 . 例7.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________ 解析:法一:∵f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对 于x∈R恒成立,两边平方整理得ax=0对于x∈R恒成立,故a=0. 法二:由f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|得a=0. 例8.设奇函数f(x)的定义域是[-5,5],当x∈[0,5]时,f(x)的 图象如图1,则不等式f(x)<0的解是(-2,0)∪(2,5] . 解:根据奇函数的图象关于原点成中心 对称的性质,画出函数f(x)在[-5,5]上 的图象如图2. 根据图象,易知不等式f(x)<0的 解是(-2,0)∪(2,5]. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1)首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2)确定 f (-x)与 f (x)的关系; 3)作出相应结论:若 f (-x) = f (x) 或 f (-x)- f (x) = 0,则f (x) 是偶 函数;若f (-x) =-f (x) 或 f (-x)+f (x) = 0,则 f (x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首 先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f (-x)±f (x)=0或f (x) ÷f (-x)=±1来 判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 谢谢观看! 1)若函数 f(x)是定义在区间D的奇函数,则具备以下性质: a.定义域关于原点对称,即:若定义域为[

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