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华中科技大学电路理论课件002_图文

华中科技大学电路理论课件002_图文

电路理论
华中科技大学电气与电子工程学院 何仁平
2010年 2010年9月 10

第2章

电路中等效的概念 及其应用

华中科技大学电气与电子工程学院
2009 2009年9月





2.1 电路中等效的概念 2.2 电路元件的串联与并联 2.3 实际电源模型及其等效互换 2.4 电阻的Y—?等效变换 电阻的Y

第2章 电路中等效的概念及其应用 重点: ? 重点:
1.电路元件的串、并联; 1.电路元件的串、并联; 电路元件的串 ⒉电压源和电流源的等效变换; 电压源和电流源的等效变换; ⒊ Y—? 变换; ? 变换;

2.1

电路中等效的概念

一、二端网络的概念: 二端网络的概念:
任何一个复杂的网络, 向外引出两个端钮, 任何一个复杂的网络, 向外引出两个端钮, 一端口) 则称为二端网络 ( 一端口)。网络内部没有 独立源的二端网络 称为无源二端网络 二端网络, 无源二端网络。 独立源的二端网络,称为无源二端网络。反之 ,称为有源二端网络。 称为有源二端网络。 有源二端网络
I ? + U _ ? N

二、等效的概念 如图所示, 为两个单口网络, 如图所示 , N1 和 N2 为两个单口网络 , 尽管它 们的内部结构可能不同, 们的内部结构可能不同,但只要它们端口处 的电压- 电流关系完全相同 从而它们对联 完全相同, 的电压 - 电流关系 完全相同 , 从而 它们对联 接到端口上的任一外部电路的作用效果相同, 接到端口上的任一外部电路的作用效果相同, 就是两个互为等效的单口网络。 则 N1 和 N2 就是两个互为等效的单口网络 。 这 里所谓“完全等效” 里所谓“完全等效”的含义是这一相同不应 受外部电路的限制, 受外部电路的限制,即相同并不只是对某一 特定的外部电路而言。 特定的外部电路而言。
I + U _ N1 N2 I + U _

2.2

电路元件的串联与并联

一、 电阻串联 ( Series Connection of Resistors ) 1. 电路特点 R 电路特点: R R
1 k n

i +

+

u1

_

+

uk u

_

+

un

_

_

(a) 各电阻顺序连接,流过同一电流 (KCL); 各电阻顺序连接, ; (b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。 。

2. 等效电阻 eq 等效电阻R
R1 i + + u1 Rk _ + u _ k u Rn + u1 _ _ 等效 i + u _ Req

KVL

u= u1+ u2 +…+uk+…+un

( k=1, 2, …, n ) 由欧姆定律 uk = Rk i u= (R1+ R2 +…+Rk+…+ Rn) i = Reqi Req=( R1+ R2 +…+Rn) =∑ Rk ∑ 结论: 结论: 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。 串联电路的总电阻等于各分电阻之和。

3. 串联电阻上电压的分配 uk Rki Rk Rk = = = 由 u Reqi Req ∑Rk 即 电压与电阻成正比 故有
Rk uk = u ∑Rj

?i + u+ 1 _ R1 u + un Rn _ _ ?

例:两个电阻分压, 如下图 两个电阻分压
? + + u1 R1 u u2 R2 _ + ? i

R 1 u = u 1 R +R 1 2
R 1 u2 = ? u R + R2 1

( 注意方向 !)

4. 功率关系

p1=R1i2, p2=R2i2,…, pn=Rni2 p1: p2 : … : pn= R1 : R2 : … :Rn

总功率

p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+Rn ) i2 =R1i2+R2i2+ …+Rni2 =p1+ p2+…+ pn …

二、电阻并联 (Parallel Connection)
i
+ u _ R1 i1 R2 i2 Rk ik Rn in

1. 电路特点 电路特点: (a) 各电阻两端分别接在一起,两端为同一电压 各电阻两端分别接在一起, (KVL); ; (b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。 。 i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in

2. 等效电阻 eq 等效电阻R
i
+ u _ R1 i1 R2 i2 Rk ik Rn in 等效 + u _ i

Req

由KCL: i = i1+ i2+ …+ ik+ in= u / Req 故有 u/Req= i = u/R1 +u/R2 + …+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)

即 1/Req= 1/R1+1/R2+…+1/Rn 称为电导 令 G =1 / R, 称为电导 Geq=G1+G2+…+Gk+…+Gn=∑ Gk=∑ 1/Rk

? Rin=? ?
1.3? ? 6.5? ? 13? ?

Rin=1.3∥6.5∥13 ∥ ∥ 由 G =1/1.3+1/6.5+1/13 = 1 故 R=1/G=1

3. 并联电阻的电流分配
ik u / Rk Gk 由 i = u/ R = G eq eq
即 电流分配与电导成正比 对于两电阻并联, 对于两电阻并联,有
? i i1
R1



ik = Gk i ∑Gk

i2
R2

R2 1/ R i1 = i= i 1/ R + 1/ R2 R + R2 1 1
R1 ?1/ R2 i2 = i =? i R1 + R2 1/ R1 + 1/ R2

?

4. 功率关系 p1=G1u2, p2=G2u2,…, pn=Gnu2 p1: p2 : … : pn= G1 : G2 : … :Gn 总功率 p=Geqi2 = (G1+ G2+ …+Gn ) u2 =G1i2+G2i2+ …+Gni2 =p1+ p2+…+ pn …

三、 电阻的串并联 要求:弄清楚串、并联的概念。 要求:弄清楚串、并联的概念。 计算举例: 计算举例:
4? 4? 2? R 2?

例1.
R

? 2? 6? ? R 4? 3?

R =2?

4?

例2.
a?

40? c a

40? c


40? 30? 30? 30?

R b ? 30? 30? d

R b

d

R = 30? ?

例 3. 求 a,b 两端的入端电阻 Rab (β ?1)
I a? + U Rab _ b? a? + U _ b Rab ② I IX

解:加流求压法求Rab 加流求压法求 根据等效的概念, 根据等效的概念,该图可以 等效成图② 等效成图② 可知:Rab=U/I 设流过R的电流为 X 设流过 的电流为I 的电流为 根据KCL:IX= I-β I : 根据 U= IX ﹒ R Rab=U/I=(1-β )R

βI

R



例4.
+ 12V _

I1

I2 R

I3 R

I4 + 2R U4 _

+ + 2R U1 2R U2 2R _ _

求:I1 ,I4 ,U4

解: ① 用分流方法做
I4 = ? 1 I3 = ? 1 I2 = ? 1 I1 = ? 1 12 = ? 3 2 4 8 8R 2R

U4 = ?I4 ×2R = 3 V
I1 = 12 R

②用分压方法做
U4 = U2 1 = U1 = 3 V 2 4

I4 = ? 3 2R

2.3 电源模型的等效互换
㈠理想电压源和理想电流源的串并联 理想电压源的串并联
+ uS1 _ + uSn _ ? I ? + 5V _ 5V + _ ? 5V + _ ? ? I ? uS ? + _ ?

串联: 串联 uS=∑ uSk ∑ ( 注意参考方向) 注意参考方向

并联: 并联: 电压相同的电压源 才能并联, 才能并联,且每个 电源的电流不确定。 电源的电流不确定。

理想电流源的串并联 并联: 并联:可等效成一个理想电流源 i ( 注意参考 S
方向),即 ∑ 方向),即 iS=∑ iSk 。 ),
? iS1 iS2 iSk ? iS ? ?

串联: 串联

电流相同的理想电流源才能串联,并 电流相同的理想电流源才能串联 并 且每个电流源的端电压不能确定。 且每个电流源的端电压不能确定。

例1:

us
例2:

is

us

us
例3:

is

is

us1

us2 is2 is1 is is=is2-is1

㈡ 电压源和电流源的等效互换
⒈实际电压源模型 一个实际电压源,可用一个理想电压源u 与一个电阻R 一个实际电压源,可用一个理想电压源 S与一个电阻 i 串联的支路模型来表征其特性。当它向外电路提供电流时, 串联的支路模型来表征其特性。当它向外电路提供电流时, 它的端电压u总是小于 总是小于u 电流越大端电压u越小 越小。 它的端电压 总是小于 S ,电流越大端电压 越小。 i uS=US时,其外特性曲线如下: 外特性曲线如下: + + uS _ u u Ri _ US
u=uS – Ri i

u=uS – Ri i Ri: 电源内阻 一般很小。 电源内阻,一般很小 一般很小。 i

⒉实际电流源模型 一个实际电流源, 一个实际电流源,可用一个电流为 iS 的理想电流源 并联的模型来表征其特性。 和一个内电导 Gi 并联的模型来表征其特性。当它向外电 路供给电流时,并不是全部流出, 路供给电流时 ,并不是全部流出,其中一部分将在内部 流动,随着端电压的增加,输出电流减小。 流动,随着端电压的增加,输出电流减小。 i + Gi u _
U

iS

iS=IS时,其外特性曲线如下: 外特性曲线如下:
u GU

i=iS – Gi u Gi: 电源内电导 一般很小。 电源内电导,一般很小 一般很小。
I IS i

⒊电源的等效变换 本小节将说明实际电压源、 本小节将说明实际电压源、实际电流源两种模型可 以进行等效变换,所谓的等效是指端口的电压 等效是指端口的电压、 以进行等效变换,所谓的等效是指端口的电压、电流在 转换过程中保持不变。 转换过程中保持不变。 i i + + iS + uS _ RP u u _ Ri _ u=uS – Ri i i = uS/Ri – u/Ri 通过比较,得等效的条件: 通过比较,得等效的条件: i =iS – RPu

iS=uS/Ri , RP=Ri

由电压源变换为电流源: 由电压源变换为电流源: i + uS _ + u _ 转换 iS Ri i + u _

Ri

由电流源变换为电压源: 由电流源变换为电压源: iS Ri i + u _ + 转换 uS _

i + u _

Ri

注意: 注意: 的方向。 ⑴ 注意转换前后 us 与 is 的方向。

a I

I' RO'

a

RO

us

+ b

is

b

RO us +

I

a is b

I' RO'

a

b

(2) 所谓的等效是对外部电路等效,对内部 所谓的等效是对外部电路等效, 等效是对外部电路等效 是不等效的。 电路是不等效的 电路是不等效的。 ? 开路的电压源中无电流流过 Ri; 开路的电流源可以有电流流过并联电导G 开路的电流源可以有电流流过并联电导 i 。 电压源短路时,电阻中R 有电流; ? 电压源短路时,电阻中 i有电流; 电流源短路时, 并联电导G 中无电流。 电流源短路时 并联电导 i中无电流。
i iS iS Ri ? ? iS Ri iS i

(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。 理想电压源与理想电流源不能相互转换。

+ us -

a I

I'

a Uab' b

b

is

E E IS = = =∞ Ro 0

(不存在) 不存在)

应用:利用电源转换可以简化电路计算。 应用:利用电源转换可以简化电路计算。 例1. 5A 2A 例2. 5? 10V 10V 5? 6A + U _ + U _ 3? 7? 4? I + 15v _ _ 8v + 7? I 7? I=0.5A

2A

6A

5∥5? ∥ U=20V

R5 R1 + E1 R2 R3 I
+

I=?

- E3

R4

Is

应 用 举 例
R5

E1 I1 = R1
E3 I3 = R3
I1

R1

R2 I3

I R3 R4 Is

R5 R1 I1 R2 I3
I

R3 R4

Is

R5 I R4 I1+I3 R1//R2//R3 Is

R5 I I1+I3 R4 R1//R2//R3 IS Rd + I Ed R5 R4 E4 + -

Ed = (I1 + I3 ) ? (R // R2 // R3 ) 1 Rd = R // R2 // R3 1 E4 = IS ? R4

Ed ? E4 I= Rd + R5 + R4

代入数值计算

R5 R1 + U1 R2 R3 I=? + R4 U
3

Is

已知: 已知:U1=12V, U3=16V, R1=2?, R2=4?, , , ? ? R3=4?, R4=4?, R5=5?, IS=3A ? ? ? 解得: 解得:I= – 0.2A (负号表示实际方向与假设方向相反 负号表示实际方向与假设方向相反) 负号表示实际方向与假设方向相反

计算 功率
R5 R1 + U1 R2 R3 I=? + R4 U3 UR4 – +

R4=4? ? IS=3A
Is

I= – 0.2A
恒流源 IS 的功率 如何计算

I4 =IS+I=3 +(-0.2)=2.8A UR4 = I4 R4 =2.8×4=11.2V
P = IS UR4 =(-3) × 11.2= - 33.6W

?

PIS= - 33.6W

负号表示输出功率

讨论题 + 10V 2A

I 2? ?

I =?
10V + 2? ? + - 4V

哪 个 答 案 对

10 I = =5A 2 10 I = +2 = 7 A 2 10?4 I= =3A 2

? √ ? ?

2. 4 电阻的?—Y等效变换 电阻的? 等效变换
三端无源网络:引出三个端钮的网络, 三端无源网络 引出三个端钮的网络, 引出三个端钮的网络 并且内部没有独立源。 并且内部没有独立源。 三端无源网络的两个例子: 网络: 三端无源网络的两个例子: ? ,Y网络: 网络 + – + i1Y 1 – i1? 1 ? u31? R1 u12? ? u12Y ? u31Y R31 R12 R2 R3 i2Y i2 ? i3Y + i3 ? + – – 2 3– R23 2 3 + u23Y + – u23? ? ? 型网络 Y型网络 型 ° ° ° 无 源

网络的变形: 下面是 ? ,Y 网络的变形: ? ? ? ?

?

?

? T 型电路 (Y 型)

?

π 型电路 (? 型) ?

这两种电路都可以用下面的 ? – Y 变换方法来做。 变换方法来做。 下面要证明:这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时, 下面要证明:这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时, 是能够相互等效的。 是能够相互等效的。

等效的条件: 等效的条件

i1? =i1Y , i2 ? =i2Y , i3 ? =i3Y , ?

且 u12? =u12Y , u23? =u23Y , u31? =u31Y ? ? ?

+ i1? ? u12? ? – i2 ? + 2 R12

– 1 R31 u31? ? i3 ? R23 u23? ? 3 – u12Y + – i2Y + R2 2 +

i1Y

1– R1 R3 u23Y 3– u31Y i3Y +

?接: 用电压表示电流 i1? =u12? /R12 – u31? /R31 ? ? ? i2? =u23? /R23 – u12? /R12 ? ? ? i3? =u31? /R31 – u23? /R23 ? ? ? (1)

Y接: 用电流表示电压 接 u12Y=R1i1Y–R2i2Y u23Y=R2i2Y – R3i3Y u31Y=R3i3Y – R1i1Y i1Y+i2Y+i3Y = 0 (2)

由式(2)解得: 由式 解得: 解得

u R ?u31YR 12Y 3 2 R R2 + R R + R R 1 2 3 3 1 u23YR1?u YR 12 3 i2Y = RR +R R +R R 1 2 2 3 3 1 u31YR ?u23YR 2 1 i3Y = RR +R R +R R 1 2 2 3 3 1 i1Y =

i1? =u12? /R12 – u31? /R31 ? ? ? (3) i2? =u23? /R23 – u12? /R12 ? ? ? i3? =u31? /R31 – u23? /R23 ? ? ? (1)

根据等效条件,比较式(3)与式 与式(1),得由Y接→?接的变换结果 接的变换结果: 根据等效条件,比较式(3)与式(1),得由Y接→?接的变换结果: R1R2 GG 1 2 R12 = R1 + R2 + G = 12 R3 G +G +G 1 2 3

R2R3 R23 = R2 + R3 + R1 R3R1 R31 = R3 + R1 + R2



GG 2 3 G = 23 G +G +G 1 2 3 GG 3 1 G = 31 G +G +G 1 2 3

类似可得到由? 接的变换结果: 类似可得到由?接→ Y接的变换结果: 接的变换结果

G G31 G = G +G31 + 12 1 12 G23 G23G 12 G2 = G23 +G + 12 G31 G31G23 G3 = G31 +G23 + G 12


R R 12 31 R= 1 R +R +R 12 23 31 R = 2 R R 23 12 R +R +R 12 23 31

R R 31 23 R = 3 R +R +R 12 23 31

上述结果可从原始方程出发导出,也可由Y接 上述结果可从原始方程出发导出,也可由 接 → ?接 的变换结果直接得到。 的变换结果直接得到。

简记方法: 简记方法:

RΥ =?相邻电阻乘积 ∑R?



G =Y相邻电导乘积 Δ G ∑ Y
1 3

特例:若三个电阻相等 对称 对称), 特例:若三个电阻相等(对称 ,则有 R? = 3RY ( 外大内小 ) 注意: 注意: (1) 等效对外部 端钮以外 有效,对内不成立。 等效对外部(端钮以外 有效,对内不成立。 端钮以外)有效 (2) 等效电路与外部电路无关。 等效电路与外部电路无关。

应用: 应用:简化电路 例1. 桥 T 电路 1k? 1k? + E 1k? 1k? R 1k? + E 3k? R 3k? 3k? + E 1/3k? 1/3k? 1/3k? 1k? R

例2. 双 T 网络

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

例: Y-? 等效变换

4? R1 C 1.6 ? R3

A R0 1? B R2 5 ? D R4 2.5 ? RAB C 1.6 ? r2 r1 r3 D 2.5 ? B A RAB

可求出r1= , = , = 可求出 =2,r2=0.4,r3=0.5

RAB =2+(0.4+1.6)//(0.5+2.5) =2+2//3 =3.2 ?

作业
P46,2-4题 , - 题 P47,2-9题 , - 题

第2章

结 束


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