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【高考调研】高三数学(文)总复习配套课件5.3平面向量的数量积

【高考调研】高三数学(文)总复习配套课件5.3平面向量的数量积


第 3 课时 平面向量的数量积 2013?考纲下载 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角. 5.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 请注意! 这部分知识是向量的核心内容,向量的平行、垂直关系是 向量间最基本最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量 的数量特征,是必考的重要内容之一. 1.数量积的有关概念 → =a,OB → =b,则 (1)两个非零向量 a 与 b,过 O 点作OA ∠AOB=θ .叫做向量 a 与 b 的夹角;范围是0°≤θ≤180° . (2)a 与 b 的夹角为 90 度时,叫 a⊥b. |b|cosθ . (3)若 a 与 b 的夹角为 θ,则 a· b= |a|· (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2 . (5)a 在 b 的方向上的投影为 |a|cosθ . 2 2 x + y 1 1 , (6)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),夹角为 θ,则|a|= cosθ= x1x2+y1y2 2 2 2 x2 + y · x + y 1 1 2 2 . . . a⊥b? x1x2+y1y2=0 a∥b? x1y2-x2y1=0 2.数量积满足的运算律 已知向量 a、b、c 和实数 λ,则向量的数量积满足下列运算 律: a; (1)a· b= b· (λb) ; (2)(λa)· b=λ(a· b)= a· c+b· c (3)(a+b)· c= a· . 3.注意 (1)两个向量的数量积是一个实数. ∴0· a=0(实数)而 0· a=0. (2)数量积不满足给合律(a· b)· c≠a· (b· c). (3)a· b 中的“· ”不能省略. 1.(课本习题改编)关于平面向量 a,b,c,有下列三个命 题: ①若 a· b=a· c,则 b=c; ②|a· b |=|a|· |b|?a∥b; ③a⊥b?|a+b |=|a-b|; ④|a |=|b|?|a· c|=|b· c|; ⑤若非零向量 a 和 b 满足|a |=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的 夹角为 60° . 其中真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号). 答案 ②③ 解析 ①由数量积定义 a· b= |a |· |b |· cosθ,若 a· b=a· c, 则|a |· |b |cosθ= |a |· |c|cosφ. ∴|b |· cosθ= |c|cosφ, 即只要 b 和 c 在 a 上的投影相等, 则 a· b=a· c. ②中∵a· b=|a |· |b |· cos θ,∴由|a· b |= |a |· |b |及 a、b 为非零向 量可得|cos θ |=1 ,∴θ=0 或 π,∴a∥b 且以上各步均可逆,故 命题②是真命题. ③中当 a⊥b 时,将向量 a、b 的起点确定在同一点,则以 向量 a、b 为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于 是它的两对角线长相等.即有|a +b |= |a - b |. 反过来,若 |a +b | =|a-b |,则以 a、b 为邻边的四边形为矩形,所以有 a⊥b,因 此命题③是真命题. ④中当|a|=|b|但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时,就 有|a· c|≠|b· c|, 反过来由|a·

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