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最新(人教版)高中数学选修1-1课后提升作业 十七 2.3.2.2 Word版含解析

最新(人教版)高中数学选修1-1课后提升作业 十七 2.3.2.2 Word版含解析

最新人教版数学精品教学资料 课后提升作业 十七
抛物线方程及性质的应用 (45 分钟 70 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2016· 大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线 y2=4x 只有一个公共点的 直线有 ( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.0 条 )

【解析】选 C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为 x=0,满足与抛物线 y2=4x 只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为 y=kx+1,再与 y2=4x 联立整理得 k2x2+(2k-4)x+1=0,当 k=0 时,方程是一次方程,有一个解,满 足一个交点;当 k≠0 时,由Δ=0 可得 k 值有一个,即有一个公共点,所以 满足题意的直线有 3 条. 2.抛物线 y2=3x 关于直线 y=x 对称的抛物线方程为 ( A.y2= x C.x2= y B.x2=3y D.y2=3x )

【解题指南】利用点(x,y)关于 y=x 的对称点为(y,x)进行求解. 【解析】选 B.因为点(x,y)关于 y=x 的对称点为(y,x),所以 y2=3x 关于 y=x 对称的抛物线方程为 x2=3y. 3.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 ( A. B. C. D.3 )

【解析】选 A.设抛物线 y=-x2 上一点为(m,-m2),该点到直线 4x+3y-8=0 的距离为 ,当 m= 时,取得最小值为 .

【一题多解】选 A.设与 4x+3y-8=0 平行的直线 l 方程为:4x+3y+m=0, 由 消去 y 得,3x2-4x-m=0,

由Δ=0 得,16+12m=0,解得 m=- . 所以 l 的方程为 4x+3y- =0. 因 此 抛 物 线 y=-x2 上 的 点 到 直 线 4x+3y-8=0 的 距 离 的 最 小 值 是 d= = .

4.(2016· 成都高二检测)抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动 点 , 点 M 为 其 准线 上 的 动点 , 当△ FPM 为 等边 三 角 形时 , 其面 积为 ( A.2 ) B.4 C.6 D.4

【解析】选 D.根据题意知,△FPM 为等边三角形, |PF|=|PM|=|FM|,所以 PM⊥抛物线的准线. 设P ,则 M(-1,m), , = ,

等边三角形边长为 1+

又由 F(1,0),|PM|=|FM|,得 1+ 得 m=2 ,

所以等边三角形的边长为 4,其面积为 4

.

5.(2015· 全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 ,E 的右焦 点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,点 A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则 = ( A.3 ) B.6 C.9 D.12

【解析】选 B.设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0),

右焦点为(c,0),依题意得 由 b2=a2-c2=16-4=12, 所以椭圆 E 的方程为 + =1,

解得 a=4,

因为抛物线 C:y2=8x 的准线为 x=-2, 将 x=-2 代入到 + =1, 解得 A(-2,3),B(-2,-3),故 =6.

6.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A,B 两 点 , 若 线 段 AB 的 中 点 的 纵 坐 标 为 2, 则 该 抛 物 线的 准 线 方 程 为 ( ) B.x=-1 D.x=-2 B. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 代 入 抛 物 线 方 程

A.x=1 C.x=2 【 解 析 】 选 得:

①-②得,

(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2). 又因为 y1+y2=4,所以 = = =k=1,所以 p=2.

所以所求抛物线的准线方程为 x=-1. 7.(2016·兰州高二检测)斜率为 1,过抛物线 y= x2 的焦点的直线被抛物 线所截得的弦长为 ( A.8 B.6 ) C.4 D.10

【解析】选 A.设弦的端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 易知直线方程为 y=x+1, 直线方程与抛物线方程联立,消元得: x2-x-1=0, 所以 x1+x2=4,x1x2=-4,

所以弦长 l=

=8.

8.(2016·商丘高二检测)已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB, 则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为 ( A. B. C.1 ) D.2

【解析】选 D.由题意知,抛物线的准线 l:y=-1, 过 A 作 AA1⊥l 于 A1,过 B 作 BB1⊥l 于 B1, 设弦 AB 的中点为 M,过 M 作 MM1⊥l 于 M1, 则|MM1|= .

|AB|≤|AF|+|BF|(F 为抛物线的焦点), 即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6, 2|MM1|≥6,|MM1|≥3, 故 M 到 x 轴的距离 d≥2. 【拓展延伸】 “两看两想”的应用 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关. “看 到准线想焦点,看到焦点想准线” ,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重 要途径. 【补偿训练】已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( A. B.3 C. D. ,准线是 l,由抛物线的定义 )

【解析】选 A.抛物线 y2=2x 的焦点为 F

知点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2) 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值,不难得出相应的 最 小 值 就 等 于 焦 点 F 到 点 (0,2) 的 距 离 . 因 此 所 求 的 最 小 值 等 于

=

.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 9.(2016· 临沂高二检测)直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共 点,则 k=________. 【解析】当 k=0 时,直线与抛物线有唯一交点,当 k≠0 时,联立方程消 y 得:k2x2+4(k-2)x+4=0, 由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,所以 k=1. 答案:0 或 1 10. 抛物线 y2=x 上的点到直线 x-2y+3=0 的距离最短的点的坐标是 ________. 【解析】 设与直线 x-2y+3=0 平行的直线方程为 x-2y+m=0,与抛物线方程 y2=x 联 立 成 方 程 组 消 去 x 得 y2-2y+m=0, 令 Δ

=(-2)2-4m=0,解得 m=1,代入 y2-2y+m=0 中得 y2-2y+1=0,解得 y=1,把 y=1 代入 y2=x 中,解得 x=1,则所求点的坐标是(1,1). 答案:(1,1) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 11.(2016·宁波高二检测)已知抛物线 C:y2=4x,F 是抛物线 C 的焦点,过 点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点. (1)如果 l 的斜率为 1,求以 AB 为直径的圆的方程. (2)设|FA|=2|BF|,求直线 l 的方程. 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)因为 y2=4x,所以 F(1,0), 又因为直线 l 的斜率为 1,

所以直线 l 的方程为 y=x-1, 代入 y2=4x,得 x2-6x+1=0, 由根与系数的关系得 即圆心的坐标为(3,2), 又|AB|=x1+x2+p=8, 所以圆的半径 r=4, 所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16. (2)因为|FA|=2|BF|,所以 而 所以 易知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x-1), 代入 y2=4x, 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 由根与系数的关系得 因为 x1-1=2(1-x2), 所以 或 所以 k=±2 (x-1). , =(x1-1,y1), =2 , 易得 AB 的中点,

=(1-x2,-y2),

所以直线 l 的方程为 y=±2

【补偿训练】已知顶点在原点 ,焦点在 x 轴的负半轴的抛物线截直线 y=x+ 所得的弦长|P1P2|=4 ,求此抛物线的方程.

【解析】设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),

把直线方程与抛物线方程联立得 ①, 判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0, 解得 p>0 或 p<-3(舍去), 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 则①中由根与系数的关系得 x1+x2=-(3+2p), x1·x2= , 代入弦长公式得 · =4

消元得 x2+(3+2p)x+ =0

,

解得 p=1 或 p=-4(舍去), 把 p=1 代入抛物线方程 y2=-2px(p>0)中, 得 y2=-2x. 综上,所求抛物线方程为 y2=-2x. 12.过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 P(x0,y0)(y0≠0)分别作斜率为-k 和 k 的直线 l1, l2,设 l1, l2 与抛物线 y2=2px 交于 A,B 两点,证明直线 AB 的斜率 为定值. 【证明】设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 y2- y+ -2px0=0, 消去 x 得

由根与系数的关系得 y0+y1= , 所以 y1= -y0.① 同理 y0+y2=- ,所以 y2=- -y0.② 由①,②得 y1+y2=-2y0,

所以 kAB=

=

=

=- ,

即直线 AB 的斜率为定值. 【能力挑战题】 已知抛物线方程为 y2=-2px,其准线方程为 x= ,直线 l:y=k(x+1)与抛物 线交于 A,B 两个不同的点,O 为坐标原点. (1)求证:OA⊥OB. (2)当△OAB 的面积等于 时,求 k 的值.

【解析】(1)因为抛物线 y2=-2px 的准线方程为 x= ,所以 = ,得 p= , 即抛物线的方程为 y2=-x,联立 y=k(x+1), 消去 x 后,整理得:ky2+y-k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由根与系数的关系得:y1+y2=- ,y1y2=-1, 因为 A,B 两点在抛物线 y2=-x 上, 所以 =-x1, =-x2, · = =x1·x2, =-1,

所以 kOA·kOB= · = 所以 OA⊥OB.

(2)设直线 l 与 x 轴交于 N,由题意可得 k≠0, 令 y=0,则 x=-1,即 N(-1,0), 因为 S△OAB=S△OAN+S△OBN= |ON|y1+ |ON|y2 = ×1×|y1-y2|= = = ,

所以 k=- 或 k= .

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