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甘肃省永昌县第一中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文

甘肃省永昌县第一中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文

永昌县第一高级中学 2014-2015-2 期中考试卷 高二数学(文科)
第 I 卷(选择题)
^ ^ ^

(参考公式:方程y =b x+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,
^ ^

y2),?,(xn,yn)的回归方程,其中a ,b 是待定参数.
n ^ n ^ ^

∑ ?xi- x ??yi- y ? i ∑ xiyi-n x y i=1 =1 b= = , n n 2 2 2 ∑ ?x ∑ x i- x ? i-n x i=1 i=1

a= y -b x )

一 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的 1. (1 ? i )4 ? (1 ? i )4 的值为 ( )

A. 0

B.8

C.-8

D. ? 8i
( )

2.已知复数 z 满足 z ? ? | z | ,则 z 的实部

A.不小于 0 C.大于 0
3.复数

B.不大于 0 D.小于 0

5 的共轭复数是: ( ) 3 ? 4i 3 4 3 4 A. ? i B. ? i 5 5 5 5
C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i


? 平均( ? ? 2 ? 2.5 x ,变量 x 增加一个单位时,变量 y 4、设有一个回归方程 y
A.增加 2.5 个单位 C.减少 2.5 个单位 B.增加 2 个单位 D.减少 2 个单位

?x ? a ? ?b ? 的关系( 5.样本点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ) 的样本中心与回归直线 y
A.在直线上 C. 在直线右下方 B.在直线左上方 D.在直线外
2



6.确定结论“ X 与 Y 有关系”的可信度为 99 .5 ℅时,则随即变量 k 的观测值 k 必须( )

A.大于 10 .828 C.小于 6.635

B.小于 7.829 D.大于 2.706

7.极坐标方程(ρ -1)(θ -π )=0(ρ ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 π 8.在极坐标系中,与点(3,- )关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( 3

)

1

2 3 4 C.(3, π ) 3

A.(3, π )

π 3 5 D.(3, π ) 6

B.(3, )

9.曲线的极坐标方程为 ρ =2cos 1 2 1 C.x2+y2= 4

2

A.x2+(y- )2=

1 4

θ -1 的直角坐标方程为( 2 1 1 B.(x- )2+y2= 2 4

)

D.x2+y2=1

π 10.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sin θ ,过点(4, )作曲线 C 的切线,则切 6 线长为( ) A.4 B. 7 C.2 2 D.2 3 π 2 2 11.已知动圆方程 x +y -xsin 2θ +2 2·ysin(θ + )=0(θ 为参数),那么圆心的轨 4 迹是( ) A.椭圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.抛物线的一部分 ? ?x=2+3cos θ , 12.设曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 的方程为 x-3y+2 ?y=-1+3sin θ ? 7 10 =0,则曲线 C 上到直线 l 距离为 的点的个数为( 10 A.1 B.2 C.3 D.4 )

第 II 卷(非选择题) 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知

(1 ? i ) 3 ? a ? 3i ,则 a ? __________ 。 1? i
2 5 3 7 .

14.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 y 1 3

?x ? a ? ?b ? 必过点 则 y 与 x 的线性回归方程为 y

π 15.在极坐标系中,直线 ρ sin(θ + 4 )=2 被圆 ρ =4 截得的弦长为________.
?x=t, ? 16.已知圆 C 的圆心是直线? ?y=1+t ? 相切,则圆 C 的方程为________.

(t 为参数)与 x 轴的交点, 且圆 C 与直线 x+y+3=0

三 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分) 已知复数

?1 ? i ? z?

2

? 3 ?1 ? i ?

2?i

,若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,

⑴求 z ;
2

⑵求实数 a , b 的值 18. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆?
? ?x=4-2t, ? ?y=3-t ? ?x=5cos φ , ? ? ?y=3sin φ

(φ 为参数)的右焦点,且与直线

(t 为参数)平行的直线的普通方程

19. (本小题满分 12 分) 某校高一.2 班学生每周用于数学学习的时间 x (单位: h )与数学成绩 y (单位:分)之 间有如下数据:

x y

24 92

15 79

23 97

19 89

16 64

11 47

20 83

16 68

17 71

13 59

某同学每周用于数学学习的时间为 18 小时,试预测该生数学成绩。 20. (本小题满分 12 分) π 2 在极坐标系下,已知圆 O:ρ =cos θ +sin θ 和直线 l:ρ sin(θ - )= , 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 21. (本小题满分 12 分)
?x=2cos α , ? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为? ? ?y=2+2sin α .

(α 为参数)M 是 C1 上的动

→ → 点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; π (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ = 与 C1 的异于极点的 3 交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 22. .(本小题满分 12 分) 2 ? ?x=3- 2 t, 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为? 2 ? ?y= 5+ 2 t

(t 为参数). 在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的 方程为 ρ =2 5sin θ . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A,B.若点 P 的坐标为(3, 5),求|PA|+|PB|.

3

高二数学答案(文科) 一.选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 B 9 B 10 C 11 D 12 B

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. ? 2 ? 3i ; 14. (1.5,4) ; 15.4 3; 16.(x+1) +y =2。
2 2

三.解答题(8 分+8 分+8 分+10 分+10 分+10 分,共 54 分) 17.解: (1) z ?

?2i ? 3 ? 3i 3 ? i ? ?1? i , 2?i 2?i
2

(2)把 Z=1+i 代入 z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,即 ?1 ? i ? ? a ?1 ? i ? ? b ? 1 ? i , 得 a ? b ? ?2 ? a?i ? 1? i 所以 ?

?a ? b ? 1 ?2 ? a ? ?1

解得 a ? ?3; b ? 4

所以实数 a ,b 的值分别为-3,4 18.解 由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,从而 c= a -b =4,所以右 焦点为(4,0).将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2=0. 1 1 故所求直线的斜率为 ,因此其方程为 y= (x-4),即 x-2y-4=0. 2 2 19.解:因为学习时间与学习成绩间具有相关关系。可以列出下表并进行计算。
2 2

i
xi

1 24 92 2208

2 15 79 1185

3 23 97 2231

4 19 89 1691

5 16 64 1024

6 11 47 517

7 20 83 1660

8 16 68 1088

9 17 71 1207

10 13 59 767

yi
xi y i

x ? 17.4

y ? 74.9

? xi ? 3182
2 i ?1

10

? yi ? 58375
2 i ?1

10

?x y
i ?1 i

10

i

? 13578









?? b

?x y
i ?1 10 i

10

i

? 10x y ? 10x
2

?x
i ?1

?

2 i

545.4 ? 3.53 154.4



? ? y ? b x ? 74.9 ? 3.53?17.4 ? 13.5 , a
? ? 3.53x ? 13.5 , 因此可求得回归直线方程 y

4

? ? 3.53? 18 ? 13.5 ? 77.04 ? 77 ,故该同学预计可得 77 分左右 当 x ? 18 时, y
20.解 (1)圆 O:ρ =cos θ +sin θ ,即 ρ =ρ cos θ +ρ sin θ , 2 2 2 2 圆 O 的直角坐标方程为 x +y =x+y,即 x +y -x-y=0. π 2 直线 l:ρ sin(θ - )= ,即 ρ sin θ -ρ cos θ =1, 4 2 则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1,即 x-y+1=0. 2 2 ? ? ?x +y -x-y=0, ?x=0, ? (2)由 得? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1, ?x-y+1=0 ?y=1. ? ? π ). 2
2

21. 解

x =2cos α , ? ? 2 x y (1)设 P(x,y), 则由条件知 M( ,). 由于 M 点在 C 上, 所以? 2 2 y ? ?2=2+2sin α ,
1

即?

? ?x=4cos α , ?y=4+4sin α . ? ? ?x=4cos α , ?y=4+4sin α . ?

从而 C2 的参数方程为?

(α 为参数)

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =4sin θ ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =8sin θ . π π π 射线 θ = 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ 1=4sin ,射线 θ = 与 C2 的交点 B 的极径为 3 3 3 π ρ 2=8sin . 3 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3. 2 2 2 2 22.解 方法一 (1)ρ =2 5sin θ ,得 x +y -2 5y=0,即 x +(y- 5) =5. 2 2 2 2 2 (2)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得(3- t) +( t) =5,即 t -3 2t 2 2 +4=0. 2 由 于 Δ = (3 2 ) - 4×4 = 2>0 , 故 可 设 t1 , t2 是 上 述 方 程 的 两 实 根 , 所 以

?t1+t2=3 2, ? ?t1·t2=4.
又直线 l 过点 P(3, 5),故由上式及 t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2 =3 2. 方法二 (1)同方法一. (2)因为圆 C 的圆心为点(0, 5),半径 r= 5,直线 l 的普通方程为 y=-x+3+ 5.

?x2+?y- 5?2=5, 由? ?y=-x+3+ 5

得 x -3x+2=0.解得?
2

?x=1, ?y=2+ 5

或?

?x=2, ?y=1+ 5.

不妨设 A(1,2+ 5),B(2,1+ 5),又点 P 的坐标为(3, 5), 故|PA|+|PB|= 8+ 2=3 2.

5


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