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1.2线性规划问题的图解法_图文

1.2线性规划问题的图解法_图文

运 筹 学

线性规划问题

§1.2 线性规划问题的图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示

运 筹 学
例1的数学模型

线性规划问题

目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 2x 3x 2x 约束条件 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x 1、 x 2 ≥ 0

图解法
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0

运 筹 学
x2

目标函数

Max Z = 2x1 + 3x2 2x 3x 线性规划问题 2x 约束条件 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
4x1 ≤ 16

(0, 4) 4 x2 ≤ 16 x1 + 2x2 ≤ 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

x1

图解法
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0

运 筹 学
x2

目标函数

Max Z = 2x1 + 3x2 2x 3x 线性规划问题 2x 约束条件 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
4x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 16 x1 + 2x2 ≤ 8

可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9

x1

图解法
9— 8— 7— 6— 5—

运 筹 学
x2

目标函数

Max Z = 2x1 + 3x2 2x 3x 线性规划问题 2x 约束条件 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
4x1 ≤ 16

4 —B 3— 2— 1—

C D

4 x2 ≤ 16 x1 + 2x2 ≤ 8

可行域
| 1 | 2 | 3 | 4

A

0

E

| 5

| 6

| 7

| 8

| 9

x1

图解法
9— 8— 7— 6— 5—

运 筹 学
x2

目标函数

Max Z = 2x1 + 3x2 2x 3x 线性规划问题 2x 约束条件 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
4x1 ≤ 16

4 —B 3— 2— 1—

C D

4 x2 ≤ 16

2x1 + 3x2 = 6 3x
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9

A

0

| 1

| 2

| 3

| 4

E

| 5

x1

图解法
9— 8— 7— 6— 5—

运 筹 学
x2

目标函数

Max Z = 2x1 + 3x2 2x 3x 线性规划问题 2x 约束条件 x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
4x1 ≤ 16

x1+ 2x2=8 4x1 =16

4 —B 3— 2— 1—

C D

4 x2 ≤ 16

最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4

A

0

| 1

| 2

| 3

E

| 5

x1

运 筹 学

线性规划问题

图解法求解步骤
由全部约束条件作图求出可行域; 由全部约束条件作图求出可行域; 作目标函数等值线,确定使目标函数最优 作目标函数等值线,

的移动方向; 的移动方向; 平移目标函数的等值线,找出最优点,算 平移目标函数的等值线,找出最优点, 出最优值。 出最优值。

运 筹 学

线性规划问题

线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1

线性规划问题求解的 几种可能结果
(b)无穷多最优解 无穷多最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1

运 筹 学

线性规划问题

线性规划问题求解的 几种可能结果
(c)无界解
Max Z = x1 + x2 -2x1 + x2 ≤ 4 x1 - x2 ≤ 2 x 1、 x 2 ≥ 0
x2

运 筹 学

线性规划问题

x1

线性规划问题求解的 几种可能结果
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 2x 3x x1 +2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 -2x1 + x2 ≥ 4 x 1、 x 2 ≥ 0
可行域为空集

运 筹 学

线性规划问题

运 筹 学

线性规划问题

图解法的几点结论:
(由图解法得到的启示) 由图解法得到的启示)
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解,它一定可以在 若线性规划问题存在最优解,

可行域的顶点得到。 可行域的顶点得到。 – 若两个顶点同时得到最优解,则其连线上的 若两个顶点同时得到最优解, 所有点都是最优解。 所有点都是最优解。 – 解题思路:找出凸集的顶点,计算其目标函 解题思路:找出凸集的顶点, 数值,比较即得。 数值,比较即得。

练习: 练习:

运 筹 学

线性规划问题

用图解法求解LP问题

Max Z = 34 x1 + 40 x2
4 x1 + 6 x2 ≤ 48 2 x1 + 2 x2 ≤ 18 2 x1 + x2 ≤ 16 x1、 x2 ≥ 0

练习) 图解法 —(练习)
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — 8— 6— 4— 2— 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | | 10 12

运 筹 学
x2

线性规划问题

2x1 + x2 ≤ 16 2x1 + 2x2 ≤ 18

4x1 + 6x2 ≤ 48
| | | 14 16 18

x1

练习) 图解法 —(练习)
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8— 6— 4—

运 筹 学
x2

线性规划问题

2x1 + x2 ≤ 16 2x1 + 2x2 ≤ 18 C 4x1 + 6x2 ≤ 48 D
| E 6 | 8 | | 10 12 | | | 14 16 18

可行域 2—
0

可行域
| 2 | 4

A

x1

练习) 图解法 —(练习)
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8—

运 筹 学
x2

线性规划问题

2x1 + x2 ≤ 16 2x1 + 2x2 ≤ 18 C

(0,6.8)

6— 4— 2—

34x1 + 40x2 = 272 34x 40x
4x1 + 6x2 ≤ 48 D

0

A

| 2

| 4

E (8,0)

| 6

| 8

| | 10 12

| | | 14 16 18

x1

练习) 图解法 —(练习)
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8—

运 筹 学
x2

线性规划问题

2x1 + x2 ≤ 16 2x1 + 2x2 ≤ 18 C 4x1 + 6x2 ≤ 48 D
| 2 | 4 | 6 | 8 | | 10 12 | | | 14 16 18

(0,6.8)

6— 4— 2—

0

A

x1

E (8,0)

练习) 图解法 —(练习)
18 — 16 — 14 — 12 — 10 — B 8—

运 筹 学
x2

线性规划问题

2x1 + x2 ≤ 16 2x1 + 2x2 ≤ 18 C

4x1+ 6x2=48 2x1+ 2x2 =18

(0,6.8)

6— 4— 2—

最优解 (3,6)
4x1 + 6x2 ≤ 48 D

0

A

| 2

| 4

E (8,0)

| 6

| 8

| | 10 12

| | | 14 16 18

x1

运 筹 学 例2图解法

线性规划问题

目标函数 Max Z = 4x1 + 3x2 3x 约束条件 5x1 + 2.5x2 ≤ 2500 2.5x 2x1 + 2x2 ≤ 1600 2x 1600 x1 ≤ 400 x 1、 x 2 ≥ 0

运 筹 学

线性规划问题

运 筹 学

线性规划问题

运 筹 学

线性规划问题


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