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2019届高三人教A版数学一轮复习练习:第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(文) 第3节

2019届高三人教A版数学一轮复习练习:第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布(文) 第3节

第十章(文) 第 3 节

[基础训练组]

1.(导学号 14577964)已知△ABC 中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一

点 D,则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )

1

1

A.6

B.3

1

2

C.2

D.3

解析:C [如图,当 BE=1 时,∠AEB 为直角,则点 D 在线段 BE(不包含 B,E 点)上

时,△ABD 为钝角三角形;当 BF=4 时,∠BAF 为直角,则点 D 在线段 CF(不包含 C,F

点)上时,△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝角三角形的概率为1+6 2=12.]

2.(导学号 14577965)在区间[-5,5]内随机地取出一个数 a,则恰好使 1 是关于 x 的不等

式 2x2+ax-a2<0 的一个解的概率为( )

A.0.3

B.0.4

C.0.6

D.0.7

解析:D [由已知得 2+a-a2<0,解得 a>2 或 a<-1.故当 a∈[-5,-1)∪(2,5]时,1

是关于 x 的不等式 2x2+ax-a2<0 的一个解.故所求概率为 P=?-1+ 5-5??+-?55?-2?=170=0.7.]

3.(导学号 14577966)任意画一个正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第二个

正方形,依此类推,这样一共画了 4 个正方形,如图所示,若向图形中随机投一点,则所投

点落在第四个正方形中的概率是( )

2 A. 4 C.18

1 B.4 D.116

解析:C [依题意可知,第四个正方形的边长是第一个正方形边长的 42倍,所以第四

个正方形的面积是第一个正方形面积的18倍,由几何概型可知,所投点落在第四个正方形中 的概率为18,故选 C.]

4.(导学号 14577967)(2018·安庆市质检)在区间[0,1]上随机取两个数 m、n,则关于 x 的

一元二次方程 x2- nx+m=0 有实数根的概率为( )

1

1

A.8

B.7

1

1

C.6

D.5

解析:A [∵方程 x2- nx+m=0 有实数根,∴Δ=n-4m≥0,如题图,易知不等式组

??n-4m≥0, ?0≤m≤1, ??0≤n≤1

表示的平面区域与正方形的面积之比即为所求概率,即 P=SS正阴方影形=12×1×14×1 1

=18.] 5.(导学号 14577968)(2018·新余市模拟)如图,将半径为 1 的圆分成相等的四段弧,再
将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点,此点落在星形区域内的概率 为( )

A.4π-1

1 B.π

C.1-1π

2 D. π

解析:A [顺次连接星形的四个顶点,则星形区域的面积等于 2×2-4×14π×12=4-π, 又因为圆的面积等于 π×12=π,因此所求的概率等于4-π π=4π-1.]
6.(导学号 14577969)在区间[0,10]上任取一个实数 a,使得不等式 2x2-ax+8≥0 在(0, +∞)上恒成立的概率为 ________ .

解析:要使 2x2-ax+8≥0 在(0,+∞)上恒成立,只需 ax≤2x2+8,即 a≤2x+8x在(0, +∞)上恒成立.又 2x+8x≥2 16=8,当且仅当 x=2 时等号成立,故只需 a≤8,因此 0≤a≤8. 由几何概型的概率计算公式可知所求概率为180--00=45.
答案:45 7.(导学号 14577970)(2018·汉中市一模)如图所示,已知长方形 ABCD 中,BC=2AB, △EFG 与△HIJ 均为等边三角形,F、H、G 在 AD 上,I、E、J 在 BC 上,连接 FI,GJ,且 AB∥FI∥GJ,若 AF=GD,则向长方形 ABCD 内投掷一个点,该点落在阴影区域内的概率 为 ________ .

解析:长方形 ABCD 中,设 BC=2AB=2,AF=GD=x,∴FG=2-2x.

由勾股定理得(1-x)2+12=(2-2x)2,解得

x=1-

33,∴FG=2

3

3 .

由对称性知,S 阴影=12S 矩形 FGJI=12FG·IF=12×2 3 3×1= 33;∴该点落在阴影区域内的概

3

率为

p=S长方S形阴A影BCD=2×3 1=

3 6.

答案:

3 6

8.(导学号 14577971)在体积为 V 的三棱锥 S-ABC 的棱 AB 上任取一点 P,则三棱锥 S

-APC 的体积大于V3的概率是 ______ .

解析:由题意可知VVSS- -AABPCC>13,三棱锥 S-ABC 的高与三棱锥 S-APC 的高相同.作 PM

⊥AC



M,BN⊥AC



N,则

PM,BN

分别为△APC

与△ABC

的高,所以VS-APC=S△APC= VS-ABC S△ABC

PBMN >13,又PBMN =AAPB,所以AAPB>13,故所求的概率为23(即为长度之比).

答案:23 9.(导学号 14577972)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾 客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形, 且每个扇形圆心角均为 15 °,边界忽略不计)即为中奖.
乙商场:从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分), 如果摸到的是 2 个红球,即为中奖.
问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大? 解:如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为 πR2(R 为圆盘的半
πR2 径),阴影区域的面积为4×31650πR2=π6R2.所以,在甲商场中奖的概率为 p1=π6R2=16.
如果顾客去乙商场,记盒子中 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为 b1,b2,b3,记(x,y) 为一次摸球的结果,则一切可能的结果有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3), (a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2, b3),共 15 种,
摸到的 2 个球都是红球有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共 3 个,所以在乙商场中奖的概率 为 p2=135=15.
由于 p1<p2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大. 10.(导学号 14577973)设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率. 解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0,b≥0 时,方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2).其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.事件 A 中包含 9 个基本 事件.

事件 A 发生的概率为 P(A)=192=34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 所以所求的概率为 P(A)=3×23-×212×22=23.
[能力提升组]

11.(导学号 14577974)(2018·湘西州一模)已知 f(x)=?????1-,2x,≥01<x<1 在区间(0,4)内任取一

个为 x,则不等式 log2x-(log144x-1)f(log3x+1)≤72的概率为(

)

1

5

A.3

B.12

1

7

C.2

D.12

解析:B [由题意,log3x+1≥1 且 log2x-(log144x-1)≤72,或 0<log3x+1<1 且 log2x

+2(log144x-1)≤72,解得 1≤x≤2 或13<x<1,

∴原不等式的解集为??13,2??,所求概率为24--130=152.故选 B.]
12.(导学号 14577975)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为 a,b,则方程ax22+by22=

1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 23的椭圆的概率为( )

1

15

A.2

B.32

17

31

C.32

D.32

解析:B

[





x2 a2



y2 b2



1

表示焦点在

x

轴上且离心率小于

3 2











??a2>b2, ???e=ac= a2a-b2< 23,

即?????aa22> <b42b,2,

化简得???a>b, ??a<2b,

又 a∈[1,5],b∈[2,4],画出满足不等式组的平面区域,

如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为145,故所求的概率 P=2S×阴影4=1352.]
13.(导学号 14577976)假设在 10 秒内的任何时刻,两条不相关的短信机会均等地进入 同一部手机,若这两条短信进入手机的时间之差大于 3 秒,手机就会不受到干扰,则手机不 受到干扰的概率为 ________ .
解 析 : 分 别 设 两 个 互 相 独 立 的 短 信 收 到 的 时 间 为 x , y. 则 所 有 事 件 集 可 表 示 为 0≤x≤10,0≤y≤10.由题目得,如果手机受则到干扰的事件发生,必有|x-y|≤3.
则该事件即为 x-y=3 和 y-x=3 在 0≤x≤10,0≤y≤10 的正方形中围起来的图形,即 图中阴影区域,而所有事件的集合即为正方形面积 102=100,
阴影部分的面积 2×12(10-3)2=49, 所以阴影区域的面积和正方形面积比值即为手机不受到干扰的概率为14090. 答案:14090 14.(导学号 14577977)2017 在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部 参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个 等级.某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数;

(2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数

学与逻辑”科目的平均分;

(3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A,在至少一科成绩为 A

的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

解:(1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,

所以该考场有 10÷0.25=40 人.

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40×(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3.

(2)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 40

[1×(40×0.2)



2×(40×0.1)



3×(40×0.375)



4×(40×0.25)



5×(40×0.075)]



2.9. (3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A,所以

还有 2 人只有一个科目得分为 A.

设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则在至少一科成

绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为 Ω={{甲,乙},{甲,丙},

{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事件.

设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中

包含的基本事件有 1 个,则 P(B)=16.


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