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【创新设计】2017版高考数学(山东专用人教A版理科)一轮复习课件第三章 第4讲定积分与微积分基本定理_图文

【创新设计】2017版高考数学(山东专用人教A版理科)一轮复习课件第三章 第4讲定积分与微积分基本定理_图文

第4讲 定积分与微积分基本定理 最新考纲 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基 本思想,了解定积分的概念,几何意义;2.了解微积分 基本定理的含义. 知识梳理 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个小区间上任取一点 ξi(i=1,2,…,n), b-a 作和式 ? f(ξi)Δ x= ? n f(ξi),当 n→∞时,上述和式无限 i=1 i=1 n n 接近于某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定 ?b ? f(x)dx b?a ? ? lim b ? n f(ξi) a 积分,记作__________ ,即? ? f(x)dx=___________. ? n n ?? i ?1 ?a (2)定积分的几何意义 f ( x) f(x)≥0 ?b ? ? ?a f(x)dx 的几何意义 表示由直线 x=a,x=b,y=0 及曲线 y= 曲边梯形 的面积 f(x)所围成的____________ 表示由直线 x=a,x=b,y=0 及曲线 y= f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 ______ 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积 f(x)<0 f(x)在[a,b] 上有正有负 减去 位于 x 轴下方的曲边梯形的面 __________ 积 2.定积分的性质 b k? ? f(x)dx ? ?b ? a (1)? kf ( x )d x = ____________ (k 为常数). ? ?a ?b ?b ? f1(x)dx±? f2(x)dx ? ? ? ? ?b a a (2)? [ f ( x )± f ( x )]d x = ________________________ . 1 2 ? f(x)dx b ?b (3)? ? f(x)dx=_______________+? f(x)dx(其中 a<c<b). ? ? ?a ?c ?a ?c ? ? ?a 3.微积分基本定理 一般地, 如果 f(x)是在区间[a, b]上的连续函数, 且 F′(x)=f(x), b F(b)-F(a) 那么? ? f(x)dx = ____________. 这个结论叫做微积分基本定理, ? ? a 又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)-F(a)记为 F(x) ?b ? b F(b)-F(a) 即? ? f(x)dx=F(x)? =_______________. ? ?a ? a ?b ? ? , ?a 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) b ?b (1)设函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,则? ? f(x)dx=? f(t)dt( √ ) ? ? ?a ?a a ?a (2)若 f(x)是偶函数,则? f ( x )d x = 2 ? ? f(x)dx( √ ) ? ? ?-a ?0 a (3)若 f(x)是奇函数,则? f(x)dx=0( √ ) ? ? ?-a 1 2 (4)曲线 y=x2 与 y=x 所围成的面积是? ? (x -x)dx.( × ) ? ?0 2.(人教 A 选修 2-2P60 习题改编)已知质点的速度 v=10t,则 从 t=0 到 t=t0 质点所经过的路程是( A.10t2 0 解析 S= ) 52 D. t0 3 B.5t2 0 10 2 C. t0 3 2 t0 ? t0 0 ? dt ? ? 10tdt ? 5t 0 t0 | 0 2 ? 5t0 . 答案 B 3.由y=cos x及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积, 利用定积分应表达为______________. 解析 S= ? π 2 0 如图,阴影部分的面积为 cos xdx - ? 3π 2 π 2 cos xdx ? ?3π cos xdx 2 2π . 答案 S= ? π 2 0 cos xdx - ?? cos xdx ? ?3π cos xdx 2 2 3? 2 2π T 2 4.若? ? x dx=9,则常数 T 的值为________. ? ?0 解析 ?T 2 ? ? ? x 0 1 3T 1 ? x | dx 3 0 =3×T3=9.∴T3=27,∴T=3. 答案 3 5.(2015· 天津卷)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面 积为________. 解析 2 ? ?y=x , 如图,阴影部分的面积即为所求,由? 得 ? ?y=x, A(1,1).故所求面积为 ? ? 2 ?1 S=? ( x - x )d x = ? ? ? ? 0 1 2 1 3?? 1 ? ? 0= . 2x -3x ?? 6 ? T 答案 1 6 考点一 定积分的计算 2 ? ?x ,x∈[0,1], 2 f(x)=? 则? ? f(x)dx ? ?2-x,x∈(1,2], ? ? 0 【例 1】 (1) (2016· 东营模拟)设 等于( 3 A. 4 ?0 ) 4 B. 5 5 C. 6 D.不存在 2 3 (2)定积分? 9 - x dx 的值为________. ? ? ? ? ?? 1 1 ? ? 2 2 3 2 1 2 ? ? ? 解析 (1)如图, ? f(x)dx=? x dx+? (2-x)dx= x ? )+?2x- x ?? ) 2 ??1 ? ? ? 3 ?0 ? ? ? ? 0 0 1 1 2 1? 5 1 ? =3+?4-2-2+2?=6. ? ? 2 2 3 (2)由定积分的几何意义知,? 9 - x d x 是由曲线 y = 9 - x , ? ? ?0 2 3 直线 x=0,x=3,y=0 围成的封闭图形的面积.故? 9 - x dx

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