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2019年河北省唐山一中高三上学期期中考试数学文试题及答案

2019年河北省唐山一中高三上学期期中考试数学文试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

唐山一中 20xx—20xx 学年度第一学期期中考试
高三年级数学试卷(文)

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1.设集合 A ? {x | 2x?2 ? 1}, B ? {x |1? x ? 0} ,则 A B 等于( )

A.{x | x ? 1}

B.{x | 1 ? x ? 2}

C.{x | 0 ? x ? 1} D.{x | 0 ? x ? 1}

2.若复数 Z ? a ? 3i (a ? R , i 是虚数单位)是纯虚数,则 Z 的值为( ) 1? 2i

A.2

B.3

C. 3i

D. 2i

3.下列说法正确的是( )
A.命题“ ?x ? R 使得 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x2 ? 2x ? 3 ? 0 ” B.“ a ? 1 ”是“ f (x) ? log a x(a ? 0, a ? 1) 在 (0,??) 上为增函数”的充要条件 C.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件 D.命题 p:“ ?x ? R,nsi x ? cos x ? 2 ”,则 ? p 是真命题

? ? 4.已知数列 an 的前 n 项和为 S n ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an , a5 ? 4 ? a3 ,则 S 7 =( )

A.7

B.12

C.14

D.21

5.一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图 1 所示,则该几何体的三视图为( )

A

B

C

D

6.如果 f ?(x) 是二次函数, 且 f ?(x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3), 那么曲线

y ? f (x) 上任一点的切线的倾斜角? 的取值范围是 ( )

A. (0, ? ] 3

B.[? , ? ) 32

C. (? , 2? ] 23

D.[? ,? ) 3

7.直线 l : x ? my ? 2 与圆 M: x2 ? 2x ? y2 ? 2 y ? 0 相切,则 m 的值为 ( )

A.1 或-6

B.1 或-7

C.-1 或 7

D.1 或 ? 1 7

8. 已知函数 f (x) ? ax?1 ? 3 (a>0 且 a≠1)的图象过定点 P,且点 P 在直线

mx+ny-1=0(m>0,且 n>0)上,则m1 +4n的最小值是 ( )

A.12

B.16

C.25

D.24

? x ≤1

9.

在约束条件

? ?

x

?

y

?

m2



0

下,若目标函数 z ? ?2x ? y 的最大值不超过 4,则实数 m

的取值范围

?? x ? y ?1≥ 0

()

A. (? 3, 3)

B.[0, 3]

C.[? 3,0]

D.[? 3, 3]

10. 已知? ? 0 ,函数 f (x) ? sin(?x ? ? ) 在 (? ,? ) 上单调递减.则? 的取值范围是( )
42

A.[1 , 5] 24

B.[1 , 3] 24

C. (0, 1 ] 2

D (0, 2]

11.若 a,b, c 均为单位向量, a ? b ? ? 1 , c ? xa ? yb (x, y ? R) ,则 x ? y 的最大值是( ) 2

A. 2

B. 3

C. 2

D. 1

12. 设点 P 在曲线 y ? 1 ex 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2x) 上,则 PQ 最小值为( ) 2

A.1?ln 2

B. 2(1? ln 2)

C.1? ln 2

D. 2(1? ln 2)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13. 在 ?ABC 中,a,b, c 分别是内角 A, B,C 的对边,若 A ? ? ,b ? 1,?ABC 的面积为 3 ,则 a 的

3

2

值为

.

14. 已 知 矩 形 ABCD 中 , AB=2 , AD=1 , E 、 F 分 别 为 BC 、 CD 的 中 点 , 则

(AE ? AF) ? BD ?

.

15. 把一个半径为 5 ? 3 2 cm 的金属球熔成一个圆锥,使圆锥的侧面积为底面积的 3 倍,则这个圆锥

的高为

.

16. 函数 f (x) ? sin x (x ? 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点,设交点中横坐标的最大值

为? ,则 (1? ? 2 ) sin 2? = ___ . ?

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知 向 量 a ? (1,sin x) , b = (cos(2x ? ? ),sin x) , 函 数 3
f (x) ? a ? b ? 1 cos2x . 2
(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间;

(2)当

x∈

???0,

? 3

? ??

时,求函数

f(x)的值域.

18.(本小题满分 12 分)已知数列?an?满足 a1 ? 1,

an?1

?1?

1 4an

,其中 n ? N ? .

(1)设 bn

?

2 2an

?

1

,求证:数列

?bn

?

是等差数列,并求出

?an

?的通项公式

an



? ? (2)设 cn

?

4an ,数列 n ?1

cncn?2

的前 n 项和为Tn

,是否存在正整数 m ,使得Tn

?

1 cmcm?1



于 n ? N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 12 分)设函数 f (x) ? 2x ?1 ? x ? 3

(1)求函数 y ? f (x) 的最小值;

(2)若 f (x) ? ax ? a ? 7 恒成立,求实数 a 的取值范围. 22

D

20. (本小题满分 12 分) 如图所示, ?ABC和 ?BCE 是

边长为 2 的正三角形,且平面 ABC ? 平面 BCE ,

AD ? 平面 ABC, AD ? 2 3 .
(1)证明: DE ? BC ; (2)求三棱锥 D ? ABE的体积.

E

A

C

B

21.(本小题满分 12 分)己知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 3x (1)若 x ? ? 1 是 f (x) 的极值点,求 f (x) 在[1, a] 上的最大值;
3 (2)在(1)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x) ? bx 的图象与函数 f (x) 的图象恰有 3 个
交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由.

22. (本小题满分 12 分) ?x ? D, 有f (x) ? F (x) ? g(x) ,则称 F(x) 为 f (x) 与 g(x) 在 D 上的一个

“ 分 界 函 数 ” . 如 ?x ??0,1?,1? x ? (1? x)e?2x ? 1 成立 , 则 称
1? x

y ? (1? x)e?2x是y ? 1? x和y ? 1 在?0,1?上的 一个“分界函数”。
1? x

(1)求证: y ? cosx 是 y ? 1 ? 1 x 2 和 y ? 1 ? 1 x 2 在 ?0,1?上的一个“分界函数”;

2

4

(2)若 f (x) ? x3 ? ax ? 1 和 g(x) ? (1 ? x)e?2x ? 2x cos x 在 ?0,1? 上一定存在一个“分界函数”,
2

试确定实数 a 的取值范围。

期中考试(文科)答案
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 A C B C C B B C D A A B

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)

13. 3

14. ? 9 2

15.20cm

16.2

f (x) ? cos(2x ? ? ) ? sin x2 ? 1 cos2x

17、解:(1)

3

2

……………………………4 分

? ? sin(2x ? ? ) ? 1

62

单调递增区间是

???k?

?

? 6

, k?

?

2? 3

? ??

(k

?

Z)

…………………………..6



(2)? ? ? 2x ? ? ? 5?

6

66

? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 1………………………………………………………….8 分

2

6

?? 1 ? f (x) ? 0 2

?

函数

f(x)的值域是

????

1 2

,0???

………………………………………………..12



18、解:(1)证明

bn?1

? bn

?

2 2an?1

? ?1

2 2an ?1

?

2????1 ?

2 1 4an

? ???? ?1

2 2an ?1

?

4an ? 2an ?1

2 2an ?1

?

2

所以数列?bn? 是等差数列, a1 ? 1,b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ,

由 bn

?

2 2an

?

1



a

n

?

n ?1. 2n

………………………………………………………6 分

(2) cn

?

2 n

, cncn?2

?

4
n?n ? 2?

?

2?? 1 ?n

?

] ?? , n?2?

所以 Tn

?

2??1 ? ?

1 2

?

1? n ?1

1 ?? n?2?

?

3 ,………………………………………………10



依题意要使 Tn

?

1 cm cm?1

对于 n ? N * 恒成立,只需

m(m ? 1) 4

?

3,

解得 m ? 3或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 …………………………………………12 分

? ? ?

?x ? 4, (x ? ? 1) 2

19. 解 :( Ⅰ ) 由 题 意 得

f

(x)

?

??3x ? 2, (? ?

1 2

?

x

? 3)

,所以 f (x) 在 (??, ? 1) 上单调递减,在 2

? x ? 4, (x ? 3)

??

(? 1 , ??) 上 单 调 递 增 , 所 以 x ? ? 1 时 , y ? f (x) 取 得 最 小 值 , 此 时

2

2

f

( x)min

?

?

7 2



……………………6 分

(注:画出函数 f (x) 的图像,得到 f (x) 的最小值也可以.)

( Ⅱ ) 由 g(x) ? ax ? a ? 7 的 图 像 恒 过 点 (? 1 , ? 7) 及 函 数 y ? f (x) 的 图 像 可 知

22

22

?1 ? a ? 1.

…………………12 分

D

E

A

C

20(1)证明:取 BC 的中点为 F ,连结AF,EF,BD

B

F

∵△BCE正三角形,∴EF ? BC,

又平面ABC ? 平面BCE,且交线为BC,∴EF⊥平面ABC

,又AD⊥平面ABC∴AD∥EF,∴ D, A, F, E 共面,

又易知在正三角形ABC中,AF⊥BC, AF ? EF ? F ∴ BC ? 平面 DAFE ,又 DE ? 平面 DAFE 故 DE ? BC ;..........6 分

(2)由(1)知EF//AD 所以有VD? ABE ? VE?DAB ? VF ?DAB ? VD? ABF

所以 s?ABF

?

1 BF * AF 2

?

3 2

,所以VD? ABF

?

1 3

S ?ABF

* AD ? 1

即VD? ABE ? 1 ...............................12分

21.解:(1) f '(? 1) ? 0 ,即 1 ? 2 a ? 3 ? 0,? a ? 4,? f (x) ? x3 ? 4x2 ? 3x 令

3

33

f

'(x)

?

3x2

? 8x

?3

?

0

?

x1

?

?

1, 3

x2

?

3 ,则

x

1

(1,3)

3

(3,4)

4

f '(x)

_

0

+

f (x)

-6

-18

-12

? f (x) 在[1,4]上最大值 f (1) ? ?6 ………………………………6 分
(2)函数 g(x) ? bx 的图象与 f (x) 图象恰有 3 个交点,即 x3 ? 4x2 ? 3x ? bx 恰有 3 个不等实根
? x3 ? 4x2 ? 3x ? bx ? 0 ,其中 x ? 0是其中一个根 ? x2 ? 4x ? 3 ? b ? 0 ,有两个不等零的不等实根. ∴ ? ? 16 ? 4(3 ? b) ? 0, ?b ? ?7 且 b ? ?3 …………………………… 12 分
?3 ? b ? 0
22.解:(1)记 h(x) ? cos x ?1? 1 x2 , x ?[0,1] 2
则 h' (x) ? ? sin x ? x ,记 G(x) ? ?sin x ? x , G' (x) ? ? cos x ?1 ? 0

∴ G(x) 在[0,1] 上是增函数,则 G(x) ? G(0) ? 0 ,∴ h(x) 在[0,1] 上是增函数

h(x) ? h(0) ? 0 ,∴ x ?[0,1] 时,1? 1 x2 ? cos x . 2

记?(x) ? 1? 1 x2 ? cos x , x ?[0,1] 4

则?'(x) ? ? x ? sin x ,记 H (x) ? ? x ? sin x , H '(x) ? ? 1 ? cos x ? 0

2

2

2

∴ H (x) 在[0,1] 上是增函数,则 H (x) ? H (0) ? 0 ,?(x) 在[0,1] 上是增函数

?(x) ? ?(0) ? 0 ,∴ x ?[0,1] 时, cos x ? 1? 1 x2 4

综上所述, x ?[0,1] 时,1? 1 x2 ? cos x ? 1? 1 x2 .

2

4

………………6 分

(2)要使 f (x) , g(x) 间一定存在“分界函数”,则 x ?[0,1] 时, f (x) ? g(x) 恒成立. 由已知, (1 ? x) ? e?2x ? 1 ? x, cos x ? 1 ? 1 x 2
4

g(x) ? f (x) ? (1 ? x)e?2x ? 2x cos x ? ( x3 ? ax ? 1) 2

? 1 ? x ? 2x(1 ? 1 x2 ) ? ( x3 ? ax ? 1) ? ?(a ? 3)x

4

2

∴ a ? ?3 时, f (x) ? g(x) 在[0,1] 上恒成立.

下证 a ? ?3时, f (x) ? g(x) 在[0,1] 上不恒成立.

由已知 (1 ? x) ? e?2x ? 1 , cos x ? 1 ? 1 x 2

g(x)

?

f

(x)

?

(1 ?

1? x)e ?2 x

x ?

2x cos

x

x23 ?(

? cos

x

? 1)

g(x)

?

f

(x) ? ?

(11?

x)e?2x ? ? 2x(1?

21xxc2o)s?x(?x3(2x?23c?osaxx??11))

1? x

2

2

? x2 ? x3 ? (a ? 3)x 1? x 2

? x [x2 ? 2x ? 2(a ? 3)] 2 1? x

? x [x2 ? 2x ? 2(a ? 3)] 2

? 1 ? 2x(1 ? 1 x2 ) ? ( x3 ? ax ? 1)

1? x

2

2

记?(x) ? x2 ? 2x ? 2(a ? 3) 必存在 x0 ? (0,1) 使?(x0 ) ? 0 ∴必存在 x0 ? (0,1) 使 g(x0 ) ? f (x0 ) ,则 a ? ?3时, f (x) ? g(x) 在[0,1] 上不恒成立.

综上, a ? ?3 .

…………………12 分


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