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河北省辛集中学2012届高三上学期第二次阶段考试数学(文)试题

河北省辛集中学2012届高三上学期第二次阶段考试数学(文)试题

河北辛集中学 2011-2012 学年度第一学期高三年级第二次阶段考试

数学(文)试卷

命题教师:贾爽

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.设全集U ? R ,集合 A ? {x | x ? 3}, B ? {x | ?1 ? x ? 6},则集合 (CU A) ? B ( ) A.{x | 3 ? x ? 6} B.{x | 3 ? x ? 6} C.{x | 3 ? x ? 6} D.{x | 3 ? x ? 6}

2.“ x ? 2 ”是“ x2 ? x ? 6 ? 0 ”的

()

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知 a ? (1,2) , b ? (?3,2) 若 k a ? b // a ? 3b ,则实数 k ?

()

A. ? 1 3

B. 1 3

C. ? 3

D. 3

4.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:









平均环数 x

8.4

8.7

8.7

8.3

方差 s2

3.6

3.6

2.2

5.4

从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛,最佳人选是

()

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

5.函数 f (x) ? x2 ? 2x 的零点个数是

()

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

6.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 离心率为 2,有一个焦点与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合, a2 b2

则双曲线的渐进线方程为

()

A.y= ? 1 x 2

B.y= ? 2x

C.y= ? 3 x 3

7.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体侧面积

D.y= ? 3x

(单位:cm2)为

()

A.48

B.64

C.80

D.120

8.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的的值是( )

A. ?3

B. ? 1 2

C. 1 3

D. 2

?y ? 0

9.已知

x,y

满足约束条件

? ?

y

?

x

,则目标函数

??2x ? y ? 6 ? 0

z ? x ? y 的最大值为( )

A.0

B.3

C.4

D.6

10.为得到函数 y ? cos(x ? ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 3
的图像( )

第 8 题图

A.向左平移 ? 个长度单位 6
C.向左平移 5? 个长度单位 6

B.向右平移 ? 个长度单位 6
D.向右平移 5? 个长度单位 6

11.已知函数 f ( x) ? 3x 3 ? ax2 ? x ? 5 在区间[1,2]上单调递增,则 a 的取值范围是( )

A. (??,5)

B. (??,5]

C. (??, 37] 4

D. (??,3]

12.若函数 f (x), g(x) 分别是上的奇函数,偶函数,且满足 f (x) ? g(x) ? ex ,则有( )

A. f (2) ? f (3) ? g(0)

B. g(0) ? f (3) ? f (2)

C. f (2) ? g(0) ? f (3)

D. g(0) ? f (2) ? f (3)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则此抛物线
方程为__________________.

14.复数 2 ? i3 =________________. 1? 2i
15.已知函数 y ? f (x) 的图象在点 M(1, f (1)) 处的切线方程为: y ? 1 x ? 2 ,则 2
f (1) ? f ?(1) ? _______________.
16.给出以下四个结论:
(1)函数 f (x) ? x ?1 的对称中心是 (?1,?1) ; x ?1
(2)若关于的方程 x ? 1 ? k ? 0 在 x ? (0,1) 没有实数根,则 k 的取值范围是 k ? 2 ; x
(3)已知点 P(a,b) 与点 Q(1,0) 在直线 2x ? 3y ?1 ? 0 两侧, 则 3b ? 2a ? 1;
(4)若将函数 f (x) ? sin(2x ? ? ) 的图像向右平移?(? ? 0)个单位后变为偶函数,则? 3

最小值是 ? 12
其中正确的结论是:__________________ 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)

已 知 向 量 a ? (sin x,?2cosx),b ? (sin x ? 3 cosx,?cosx), x ? R , 函 数

f (x) ? a ? b . (1)求函数 f (x) 的最小正周期;

(2)求函数

f

(x)

在区间

???0,

? 2

? ??

上的最大值和最小值。

18.(本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,

PD⊥平面 ABCD, E、F 分别是 PB、AD 的中点,PD=2.

(1)求证:BC⊥PC;

(2)求证:EF//平面 PDC;

(3)求三棱锥 B—AEF 的体积。

19.(本小题满分 12 分)

第 18 题图

某种设备的使用年限 x 和维修费用 y(万元),有以下的统计数据:

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)画出上表数据的散点图;

?

?

(2)请根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a;

(3)估计使用年限为 10 年,维修费用是多少?

n

? xi yi ? nx y

? (注:参考公式: b? ?

i ?1 n

xi2

?

2
nx

,

a? ? y ? b?x

).

i ?1

20.(本小题满分 12 分)

已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1(点 O 为坐标原点),一条直线 l : y ? kx ? b(b ? 0) 与圆 O 相切,

并与椭圆 x 2 ? y 2 ? 1交于不同的两点 A、B。 2
(1)设 b ? f (k), 求 f (k) 的表达式;

(2)若 OA ? OB ? 2 ,求直线 l 的方程。 3
21.(本小题满分 12 分)

已知函数 f (x) ? x 2 ? a ln x.

(1)当 a ? ?2e, 求函数 f (x) 的单调区间;

(2)若函数 g(x) ? f (x) ? 2 在 ?1,3?上是减函数,求实数 a 的取值范围.
x
22.选修 4—4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的轴的正半轴重

?

合.设点 O 为坐标原点,

直线

l

:

?? x ?

?

2t?4

2

(参数t ? R) 与曲线 C 的极坐标方程为

? ??

y?

2t 2

? sin 2 ? ? 4 cos? .

(1)求直线 l 与曲线 C 的普通方程;

(2)设直线与曲线相交于 A,B 两点,求证: OA ? OB ? 0 .

参考答案

一、选择题:

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

答案 B A A C D D C B C C D D

二、填空题

13. y 2 ? ?16 x ,或 x2=16y; 14.I

15.3;

16.(3)(4)

三、解答题:

17.(本小题满分 12 分)

解(I) f(x)? a ? b = sin(2x ? ? ) ? 3 …………4 分 62

∴f(x)的最小正周期是

…………6 分

(II)由(I)知, f(x)? a ? b = sin(2x ? ? ) ? 3 62

由 0 ? x ? ? ,  得? ? 2x ? ? ? 7? , …………8 分

2

6

66

∴ ? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 1

2

6

∴ f(x)的最大值是 5 , 最小值是 1. 2

…………12 分

18.(本小题满分 12 分)

解证:(Ⅰ)略.…………………4分

(Ⅱ)取 PC 的中点 G,连结 EG,GD,则

EG // 1 BC,所以GE //DF . 2

∴四边形 EFGD 是平行四边形。

∴EF//GD, 又 EF ? 平面PDC, DG ? 平面P D C

∴EF//平面 PD

C.……………………8分

(Ⅲ)取 BD 中点 O,连接 EO,则EO//PD,

∵PD⊥平面 ABCD, ∴EO⊥底面 ABCD, EO ? 1

VB? AEF

? VE?ABF

?

1 3 S?ABF

? OE

?

1 ? 1 ?22 34

?1 ?

1 3

…………12 分.

19.(本小题满分 12 分) 解: (1) 散点图略.

……………………4分

4

4

? ? (2)

X iYi ? 66.5

X

2 i

?

32

?

42

? 52

? 62

?

86

i ?1

i ?1

X ?4.5 Y ?3.5

b? ? 66.5 ? 4? 4.5?3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ;

86 ? 4? 4.52

86 ? 81

a? ? Y ? b?X ? 3.5 ? 0.7? 4.5 ? 0.35

所求的回归方程为 y ? 0 . 7x ? 0 . .3 5……………………8分
(3) 当 x=10 时, y=0.7×10+0.35=7.35 . ∴使用年限为 10 年,维修费用是7.35 万元.………………12 分 20.(本小题满分 12 分)
解(1) y ? kx ? b(b ? 0)与x 2 ? y 2 ? 1相切,则 | b | ? 1, 1? k2

即 b2 ? k 2 ?1,?b ? 0,?b ? k 2 ?1. …………4 分

?y ? kx ? b,



? ?

x

2

?? 2

?

y2

消去 y
?1

得 (2k 2 ? 1)x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0.

?l 与椭圆交于不同的两点,

? ? ? 16k 2b2 ? 4(2k 2 ? 1)(2b2 ? 2) ? 8k 2 ? 0, k ? 0.

?b ? k 2 ?1(k ? 0). …………6 分

(2)设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ),

则 x1

?

x2

?

?

4kb 2k 2 ? 1 , x1x2

?

2b 2k

2 2

? ?

2 1

.

…………7



OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? ?x1x2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? (1 ? k 2 )x1x2 ? kb(x1 ? x2 ) ? b2

?

(1 ? k 2 )

2k 2 2b 2

?1 ?2

?

kb 2k 2 ? 1 ? b2 ? 4kb

?

k2 ?1 . 2k 2 ? 1

?OA ? OB

?

2 ,? 3

k2 ?1 2k 2 ?1

?

2. 3

k2

? 1.…………10



所以 b2 ? 2,? b ? 0,?b ? 2, ?l : y ? x ? 2或y ? ?x ? 2.…………12 分
21.(本小题满分 12 分)
解:(I)函数 f (x)的定义域为(0,??).

当 a ? ?2e时, f ?(x) ? 2x ? 2e ? 2(x ? e)( x ? e) .

x

x

当 x 变化时, f ?(x), f (x) 的变化情况如下:

…………2 分

f ?(x)

(0, e )


e

( e,??)

0

+

f (x)



极小值



由上表可知,函数 f (x)的单调递减区间是 (0, e ) ;

单调递增区间是 ( e,??).

极小值是 f ( e) ? 0.

…………6 分

(II)由

g(x)

?

x2

?

a ln

x

?

2 x

, 得g ?( x)

?

2x

?

a x

?

2 x2

.

又函数 g(x) ? x2 ? a ln x ? 2 为[1,3]上单调减函数, x

则 g?(x)

? 0 在[1,3]上恒成立,所以不等式 2x ?

2 x2

?

a x

?

0 在[1,3]上恒成立.

即 a ? 2 ? 2x 2 在[1,3]上恒成立. x

…………10 分

又?(x) ? 2 ? 2x2 在[1,3]为减函数, x

所以?(x)的最小值为?(3) ? ? 52 . 3

所以 a ? ? 52 . 3

…………12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

(I)直线 l : y ? x ? 4,

曲线 C : y2 ? 4x ,

………………5分

(II)设

A( x1 ,

y1 ),

B( x2

,

y2

)

,由

? ? ?

y2 y?

? x

4x, ? 4,

消去得

x2

?12x

?

16

?

0,

? x1 ? x2 ? 12, x1x2 ? 16,

…………………7分

∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16

∴ OA ? OB ? x1x2+ y1y2= 2x1x2-4(x1+x2)+16=0. …………………10 分


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