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2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案: 第二讲 第1节 第1课时 参数方程的概念 Word版含答案

2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案: 第二讲 第1节 第1课时 参数方程的概念 Word版含答案

第 1 课时 参数方程的概念 [核心必知] 1.参数方程 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x , y 都是某个变数 t 的函数 ? ?x=f(t), ? ①,并且对于 t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点 M(x,y)都在这条曲 ?y=g(t), ? 线上,那么方程组①叫做这条曲线的参数方程. 联系变量 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 2.普通方程 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. [问题思考] 1.参数方程中的参数 t 是否一定有实际意义? 提示:参数是联系变数 x,y 的桥梁,可以是一个有物理意义或几何意义的变数,也可 以是没有明显实际意义的变数. 2.曲线的参数方程一定是唯一的吗? ?x=4t+1, ? 提示:同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样.如? 和 ?y=2t (t∈R) ? ? ?x=2m+1, ? (m∈R) 都表示直线 x=2y+1. ?y=m ? ? ?x=2t, 已知曲线 C 的参数方程是? (t 为参数). 2 ?y=3t -1 ? (1)判断点 M1(0,-1)和 M2(4,10)与曲线 C 的位置关系; (2)已知点 M(2,a)在曲线 C 上,求 a 的值. [精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系.解答此题需要将已知点 代入参数方程,判断参数是否存在. ? ?x=2t, (1)把点 M1 的坐标代入参数方程? 2 ?y=3t -1, ? ?0=2t, ? 得? 2 ? ?-1=3t -1, ∴t=0.即点 M1 在曲线 C 上. ?x=2t, ? 把点 M2 的坐标代入参数方程? 2 ?y=3t -1, ? ? ?4=2t, 得? 方程组无解.即点 M2 不在曲线 C 上. 2 ?10=3t -1, ? ?2=2t, ? (2)∵点 M(2,a)在曲线 C 上,∴? 2 ? ?a=3t -1. ∴t=1,a=3×12-1=2.即 a 的值为 2. ————— ————————————— 已知曲线的参数方程,判断某点是否在曲线上,就是将点的坐标代入曲线的参数方程, 然后建立关于参数的方程组,如果方程组有解,则点在曲线上;否则,点不在曲线上. ?x=2sin θ +1, ? 1.已知曲线? (θ 为参数,0≤θ <π ),则下列各点 A(1,3),B(2,2), ? ?y=sin θ +3 C(-3,5)在曲线上的点是________. 解析:将 A(1,3)点代入方程得 θ=0;将 B、C 点坐标代入方程,方程无解,故 B、C 点不在曲线上. 答案:A(1,3) 如图,△ABP 是等腰直角三角形,∠B 是直角,腰长为 a,顶点 B、A 分别 在 x 轴、y 轴上滑动,求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程. [精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法,解答本题需要先确定参数,然后分别用同 一个参数表示 x 和 y. 法一:设 P 点的坐标为(x,y),过 P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q. 如图所示,则 Rt△OAB≌Rt△QBP. 取 OB=t,t 为参数(0<t<a). ∵|OA|= a2-t2,∴|BQ|= a2-t2. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 ?x=t+ a2-t2, (0<t<a) ? ?y=t, 法二:设点 P 的坐标为(x,y),过点 P 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q,如图所示. π π 取∠QBP=θ,θ为参数(0<θ< ),则∠ABO= -θ. 2 2 π 在 Rt△OAB 中,|OB|=acos ( -θ)=asin θ. 2 在 Rt△QBP 中,|BQ|=acos θ,|PQ|=asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为 ?x=a(sin θ+cos ? ? ? ?y=asin θ. θ), π (θ 为参数,0<θ< ). 2 ————— ————————————— (1)求曲线参数方程的主要步骤:第一步,建立直角坐标系,设(x,y)是轨迹上任意一点 的坐标. 画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置, 以利于发现变量之间的关系). 第二步,选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标 x, y 与参数的关系比较明显,容易列出方程;二是 x,y 的值可以由参数唯一确定.例如,在 研究运动问题时,通常选时间为参数;在研究旋转问题时,通常选旋转角为参数.此外,离 某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数. 第三步,根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等,建立点的坐标与参数的 函数关系式. (2)求曲线的参数方程时,要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来. 2.如图所示,OA 是圆 C 的直径,且 OA=2a,射线 OB 与圆交于 Q 点,和经过 A 点的 切线交于 B 点,作 PQ⊥OA 交 OA 于 D,PB∥OA,试求点 P 的轨迹的参数方程. 解:设 P(x,y)是轨迹上任意一点,取∠DOQ=θ,由 PQ⊥OA,PB∥OA,得 x=OD= OQcos θ=OA· cos 2θ=2acos 2θ,y=AB=OAtan θ=2atan θ. ?x=2acos 2θ, ? π π 所以 P 点轨迹的参数方程为? θ∈(- 2 , 2 ). ?y=2atan θ, ? 曲线参数方程的应用, 是高考模拟的热点内容. 本考题以实际问题为背景考查了曲线参 数方程的实际应用,是高考模拟命题的一个新亮点. [考题印证] , ?x=2tcos π 6 已知弹道曲线的参数方程为? (t 为参数) π 1 ?y=2tsin 6 -2gt . 2 (1)求炮弹从发射到落地所需时间; (2)求炮弹在运动中达到的最大高度. [命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用. [解] (1)令 y=0,则 2tsi

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