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2017届高三数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简_图文

2017届高三数学一轮总复习 第三章 三角函数、解三角形 3.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简_图文

第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的 简单应用

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

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1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图 考 纲 象,了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响。 导 学 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函
数解决一些简单实际问题。

课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测

1.函数 y=Asin(ωx+φ)的有关概念

A



ω

1

T ω


ωx+φ φ

2.用五点画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图

用五点画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示。

x

□ □ □ □ □ 7 _-__ωφ_ 8 _- __ω_φ_+__2ω_π___

π-φ 9 __ω__

10 23_ωπ_-__ωφ

2π-φ
11 __ω__

□ □ □ □ □ ωx+φ

π
12 _0___ 13 ___2________

14 _π___


15 __2__

16 _2_π__

y=Asin(ωx

+φ)

0

A

0

-A

0

3.函数 y=sinx 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下

1 个区别——两种图象变换的区别
由 y=sinx 的图象变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换 再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;而先周期变换(伸缩变换)再相位 变换,平移的量是|ωφ|(ω>0)个单位长度。原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而 言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值。

2 个注意点——作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象应注意的问题
(1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象, 就可根据周期性作出整个函数的图象。
3 种方法——由函数图象求解析式的方法
(1)如果从图象可确定振幅和周期,那么可直接确定函数表达式 y=Asin(ωx+φ) 中的参数 A 和 ω,再选取“第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx +φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得 φ。
(2)通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数 A,ω,φ。依据是五点 法。
(3)运用逆向思维的方法,根据图象变换可以确定相关的参数。

1.y=2sin????2x-π4????的振幅、频率和初相分别为(

)

A.2,π1,-π4

B.2,21π,-π4

C.2,1π,-π8

D.2,21π,-π8

解析:由振幅、频率和初相的定义可知,函数 y=2sin????2x-π4????的振幅为 2,周期为 π,频率为1π,初相为-π4。
答案:A

2.函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移π2个单位长度后,得到函数 y=g(x)的图 象,则 g(x)的解析式应为 g(x)=( )
A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx
解析: 答案:A

3.将函数 y=sin????2x+π6????的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数图象的对称 轴是( )

A.x=k2π+56π,k∈Z C.x=k2π-π6,k∈Z

B.x=k2π+152π,k∈Z D.x=kπ-1π2,k∈Z







y



sin

????2x+6π????















π 4















y = sin ???2????x-π4????+π6??? =

sin????2x-3π????。 令 2x-π3=2π+kπ,k∈Z,得 x=51π2+k2π,k∈Z。

答案:B

4.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=__________。
解析:由图可知,T4=23π-π3,即 T=43π。所以2ωπ=43π,故 ω=32。 答案:23

5.把 y=sin12x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y=sinωx 的图象,则 ω 的值为__________。
解析:ω=12×12=14。 答案:41

课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训

考点一

五点法作图及图象变换

【例 1】 已知函数 y=2sin????2x+π3????, (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;

(3)说明 y=2sin????2x+π3????的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到。 解析:(1)y=2sin????2x+π3????的振幅 A=2, 周期 T=22π=π,初相 φ=π3。

(2)令 X=2x+3π,则 y=2sin????2x+π3????=2sinX。 列表,并描点画出图象:

x

-π6

π 12

π 3

7π 12

5π 6

X y=sinX

0

π 2

π

3π 2



0 1 0 -1 0

y=2sin????2x+3π????

0 2 0 -2 0

(3)方法一:把 y=sinx 的图象上所有的点向左平移3π个单位,得到 y=sin????x+π3????的 图象,再把 y=sin????x+π3????的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到 y=sin????2x+π3????的图象,最后把 y=sin????2x+3π????上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐 标不变),即可得到 y=2sin????2x+π3????的图象。

方法二:将 y=sinx 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的12倍,纵坐标不变, 得到 y=sin2x 的图象;再将 y=sin2x 的图象向左平移π6个单位,得到 y=sin2????x+π6????= sin????2x+3π????的图象;再将 y=sin????2x+π3????的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长 为原来的 2 倍,得到 y=2sin????2x+π3????的图象。

?名师点拨 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象作法 (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z =ωx+φ,由 z 取 0,π2,π,32π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标, 描点后得出图象。 (2)图象变换法:由函数 y=sinx 的图象通过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象,有 两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。

通关特训 1 图象( B )

(1)为了得到函数 y=sin????2x-π3????的图象,只需把函数 y=sin????2x+6π????的

A.向左平移π4个单位长度

B.向右平移π4个单位长度

C.向左平移π2个单位长度

D.向右平移π2个单位长度

(2)把函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移π6个单位长度,再将图象 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象表示的函数解析式为 y =sinx,则 ω=____2______,φ=____-__π3____。
解析:(1)y=sin????2x+π6????= sin????2????x+1π2????????,y=sin????2x-π3????=sin????2????x-π6????????= sin????2????x-π4+1π2????????,所以将 y=sin????2x+π6????的图象向右平移π4个单位长度得到 y= sin????2x-3π????的图象,故选 B。

(2)y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),所得的图象 表示的函数解析式为 y=sin2x,再将此函数图象向右平移π6个单位长度可得 y= sin2????x-π6????的图象,即 y=sin????2x-3π????,所以 ω=2,φ=-π3。

考点二

由图象确定 y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】 (1)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)????ω>0,-π2<φ<π2????的部分图象如图所示, 则 ω,φ 的值分别是( )

A.2,-π3

B.2,-6π

C.4,-π6

D.4,π3

(2)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)????ω>0,|φ|<π2????,y=f(x)的部分图象如图,则 f????2π4???? =( )

A.2+ 3

B. 3

3 C. 3

D.2- 3

解析:(1)因为T2=1112π-51π2,所以 T=π。

又 T=2ωπ(ω>0),所以2ωπ=π,所以 ω=2。

又因为 2×51π2+φ=π2+2kπ(k∈Z),且-π2<φ<π2,所以 φ=-π3。 (2)由图象可知:T=2????38π-π8????=π2, ∴ω=2,∴2×π8+φ=kπ+2π。 又|φ|<π2,∴φ=π4。 又 f(0)=1,∴Atanπ4=1,得 A=1, ∴f(x)=tan????2x+π4????。 ∴f????2π4????=tan????1π2+π4????=tanπ3= 3。 答案:(1)A (2)B

?名师点拨 确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A=M-2 m,b=M+2 m。 (2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω=2Tπ。 (3)求 φ,常用方法有:①代入法;②五点法。

通关特训 2 (1)如图是函数 y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0)的图象的一部分, 它的振幅、周期、初相各是( C )
A.A=3,T=43π,φ=-π6 B.A=1,T=43π,φ=34π C.A=1,T=43π,φ=-34π D.A=1,T=43π,φ=-π6

(2)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数 f(x) 的解析式为_f_(x_)_=___2_s_i_n_????2_x_+__π3_????______。
解析:(1)由图象知,A=3-2 1=1,T2=56π -π6=23π,则 T=43π,ω=32。由56π×32+φ=2π +2kπ,k∈Z,
得 φ=-34π+2kπ,k∈Z, 令 k=0,得 φ=-34π。

(2)由图可知 A= 2,T4=71π2-π3=π4,所以 T=π,故 ω=2,因此 f(x)= 2sin(2x +φ)。
又????π3,0????对应五点法作图中的第三个点,因此 2×π3+φ=π,所以 φ=π3,故 f(x) = 2sin????2x+π3????。

考点三

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用

【例 3】 (1)将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度

后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( B )

π

π

π



A.12

B.6

C.3

D. 6

(2)将函数 f(x)=sin(2x+θ)????-π2<θ<π2????的图象向右平移 φ(φ>0)个单位长度后得到

函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过点 P???0, 23???,则 φ 的值可以是( B ) 5π 5π π π
A. 3 B. 6 C.2 D.6

(3)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,-π<φ≤π)在 x=6π处取得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为π2,则 f(x)的解析式为__f(_x_)= ___2_si_n_????2_x_+__π6_????__。

解析:(1)y=

3cosx+sinx=2??
?

23cosx+12sinx???=2sin????x+π3????的图象向左平移

m

个单

位长度后,得到 y=2sin????x+m+π3????的图象,此图象关于 y 轴对称,则 x=0 时,y=±2,

即 2sin????m+π3????=±2,所以 m+π3=π2+kπ,k∈Z,由于 m>0,所以 mmin=6π。

(2)因为函数 f(x)的图象过点 P,所以 θ=π3,所以 f(x)=sin????2x+π3????。又函数 f(x)的 图象向右平移 φ 个单位长度后,得到函数 g(x)=sin????2?x-φ?+π3????,
所以 sin????π3-2φ????= 23,所以 φ 可以为56π。

(3)由题设条件知 f(x)的周期 T=π, 即2ωπ=π,解得 ω=2。 因 f(x)在 x=π6处取得最大值 2,所以 A=2。 从而 sin????2×π6+φ????=1, 所以π3+φ=π2+2kπ,k∈Z。 又由-π<φ≤π,得 φ=π6。 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin????2x+π6????。

?名师点拨 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用问题的常见类型及解 题策略
(1)图象变换与函数性质的综合问题。可根据两种图象变换的规则,也可先通过 图象变换求得变换后的函数解析式,再研究函数性质。
(2)图象变换与函数解析式的综合问题。要特别注意两种变换过程的区别。 (3)函数图象与性质的综合问题。此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析 式,再来研究其性质。

通关特训 3 已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点 P????1π2,0????,图象 上与点 P 最近的一个最高点是 Q????π3,5????。
(1)求函数的解析式; 解析:(1)依题意得:A=5,周期 T=4????π3-1π2????=π, ∴ω=2ππ=2,故 y=5sin(2x+φ)。 又图象过点 P????1π2,0????,∴5sin????π6+φ????=0。 由已知可得π6+φ=0,∴φ=-π6。 ∴y=5sin????2x-6π????。

(2)求函数 f(x)的递增区间。
解析:(2)由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,得: -π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z, 故函数 f(x)的单调递增区间为:????kπ-π6,kπ+π3????(k∈Z)。


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