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高等数学(2017高教五版)课件空间解析几何习题课(工科类)_图文

高等数学(2017高教五版)课件空间解析几何习题课(工科类)_图文

第八讲 空间解析几何习题课

空间解析几何习题课
一、内容小结
二、题型练习

空间解析几何习题课
一、内容小结
二、题型练习

曲 面 向量 工具 代数
特 例

相交

曲 线
特 例 目的

研究对象
平 面
相交

直 线

研 方 程 究 内 图 形 容

一、内容小结
(一) 平面和直线
(二) 曲面和曲线

一、内容小结
(一) 平面和直线
(二) 曲面和曲线

?平面方程 类型 点法式 方程 特征

截距式

一般式

A( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0 过点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ? n ? ( A, B , C ) x y z x,y,z轴上的截距 ? ? ?1 a b c 分别为 a , b , c ? n ? ( A, B , C ) Ax ? By ? Cz ? D ? 0

D?0
A?0 A? D?0 A? B?0

过原点 平行于x轴

通过x轴
平行于xoy面

?直线方程

类型
一般式

方程

特征

A1 x ? B1 y ? C 1 z ? D1 ? 0 A2 x ? B 2 y ? C 2 z ? D2 ? 0
x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? m n p

? s? ( A1 , B1 , C 1 ) ? ( A2 , B 2 , C 2 )
过点 ( x 0 , y 0 , z 0 )

对称式

? s ? (m , n, p )

参数式

x ? x0 ? m t y ? y0 ? n t z ? z0 ? p t

过点 ( x 0 , y 0 , z 0 )

? s ? (m , n, p )

?直线、平面的相互关系

平面 ? i : Ai x ? B i y ? C i z ? D i ? 0

( i ? 1, 2 )
( i ? 1,2)

x ? xi x ? yi x ? zi 直线 Li : ? ? mi ni pi

夹角
面与面 线与线 线与面

cos ? ?
cos ? ? sin ? ?

A1 A2 ? B1 B2 ? C 1C 2 A12 ? B12 ? C 12 A22 ? B22 ? C 22 m1 m 2 ? n1 n2 ? p1 p2
m12 ? n12 ? p12 m 22 ? n22 ? p22 A1 m1 ? B1 n1 ? C 1 p1 A12 ? B12 ? C 12 m12 ? n12 ? p12

?直线、平面的相互关系

平面 ? i : Ai x ? B i y ? C i z ? D i ? 0

( i ? 1, 2 )
( i ? 1,2)
平行

x ? xi x ? yi x ? zi 直线 Li : ? ? mi ni pi
垂直
面与面 线与线 线与面

A1 A2 ? B1 B 2 ? C 1C 2 ? 0

A1 B1 C 1 ? ? A2 B2 C 2 m1 n1 p1 ? ? m 2 n2 p 2

m 1 m 2 ? n1 n2 ? p1 p2 ? 0
A1 B1 C 1 ? ? m1 n1 p1

A1 m 1 ? B1 n1 ? C 1 p1 ? 0

一、内容小结
(一) 平面和直线
(二) 曲面和曲线

一、内容小结
(一) 平面和直线
(二) 曲面和曲线

?曲面方程概念

F ( x, y, z) ? 0
方程 ?常见曲面方程 方程 旋转曲面 柱面

曲面S

图形

图形

, z2)?? y02 , z ) ? 0 yOz面的曲线C绕z轴旋转 SC : f: (f?( y x
2 S : F ( x , y ) ? 0 y ? ? x 2 ? y母线平行 z轴的柱面

方程中缺少坐标 z 二次曲面 三元二次方程 F ( x, y, z) ? 0

九种 截痕法 伸缩变形法

?曲线方程

F ( x, y, z) ? 0 一般式方程 G ( x, y, z) ? 0 x ? x(t ) 参数式方程 y ? y ( t ) z ? z(t )
?曲线在坐标面上的投影

F ( x, y, z) ? 0 G ( x, y, z) ? 0

消去z

H ( x , y ) ? 0 曲线关于xoy面的投影柱面 z?0

曲线在xoy面上的 投影曲线

空间解析几何习题课
一、内容小结
二、题型练习

空间解析几何习题课
一、内容小结
二、题型练习

二、题型练习
(一) 平面与直线
(二) 曲面与曲线

二、题型练习
(一) 平面与直线
(二) 曲面与曲线

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

?例1 求满足下列条件的平面方程

(1) 过原点及点( 6 , ? 3 , 2 ), 且与平面 4 x ? y ? 2 z ? 8 垂直;
(2) 过直线 L0 : x ? 1 ? y ? 2 ? z ? 3 且与直线 2 1 4 x ? 1 y z ? 2 平行. L1 : ? ? ?1 2 1 ?例2 求满足下列条件的平面方程 (1) 过 ( ? 3 ,1, ? 2 )与z轴; (2) 过( 4 ,0 , ? 2 ), ( 5 ,1,7 ), 且平行x轴.

x ? 5y? z ? 0 ?例3 求通过直线L: 且与平面 x ? 4 y ? 8 z ? 12 ? 0 x?z?4?0 ? 的夹角为 的平面方程. 4

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

?例4 求满足下列条件的直线方程

(1) 过点 ( 2 , ? 3 ,4 ) 且与平面 y ? 2 z ? 1, x ? 2 y ? 2 都平行; (2) 过点 (1,2,1) 及直线L: x ? 1 ? y ? z ? 2 与平面 ?1 0 2 2 y ? z ? 4 ? 0 的交点. x? y? z?1? 0 ?例5 求过点 ( 3 ,1, 2 )且与直线 垂直相交的 2x ? y ? z ? 4 ? 0
直线方程. ?例6 求过点( ? 1, 2 , ? 3 )且平行于平面6 x ? 2 y ? 3 z ? 1 ? 0 x ?1 y ?1 z ? 3 又与直线 相交的直线方程. ? ? 3 2 ?5

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

?例7 求下列点的坐标

(1) 点 ( ? 1, 2 ,0 ) 在平面 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0 上的投影点;
(2) 点 ( 2 , 3 ,1)在直线 x ? 7 ? y ? 2 ? z ? 2 上的投影点; 1 2 3 2x ? z ? 3 点 (3) ( 2 , ? 1, 3 )关于直线 的对称点. x? y?1 x ? 3 y ? 2z ? 1 ? 0 与平面 4 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0 ?例8 确定直线 2 x ? y ? 10 z ? 3 ? 0 的位置关系. ?例9 求 x ? y ? 2 z ? 2 与 x ? 2 y ? z ? 8 的角平分面方程.

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

(二) 平面与直线
1.求平面方程
2.求直线方程 3.点及直线和平面的关系

4.综合题

?例10 求点 ( 3 , ? 1, 2 ) 到直线

x? y? z?1? 0

2x ? y ? z ? 4 ? 0 ?例11 设 l1 : x ? 1 ? y ? z ? 1 , l 2 : x ? 2 ? y ? 1 ? z ?2 0 1 1 2 1 (1) 求 l1 和 l2 的公垂线方程;
(2) 求 l1 和 l2 的距离.

的距离.

?例12 设一直线过点( 2 , ? 1, 2 ) 且与两直线
x ? 2 y ?1 z ? 3 l1 : x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 1 , l 2 : ? ? 1 1 ?3 1 0 1 同时相交,求此直线方程. y ?1 z ?1 的垂线, ?例13 一平面通过点(14 ,4 , ? 3 ) 到直线 x ? ? 2 3 且与平面 5 x ? y ? z ? 1 垂直,求此平面方程.

二、题型练习
(一) 平面与直线
(二) 曲面与曲线

二、题型练习
(一) 平面与直线
(二) 曲面与曲线

?例14 指出下列曲面的名称和特征 (1) z ? 1 ? x 2 ? y 2 (2) z ? 1 ? x 2 ? y 2

(3) x 2 ? 8 y 2 ? 12 z 2 ? 4 (4) y 2 ? 2 y ? z 2 ? 4 z ? 0 x2 y2 z2 ? ? ?1 ?例15 已知准线方程为 4 8 3 母线平行于y轴, y?2 求此柱面方程. z ? y2 ?例16 求由曲线 绕z轴旋转所形成的曲面与平面 x?0 x ? y ? z ? 1 的交线在xoy面内的投影. ?例17 求曲线

y 2 ? 4z ? 0

4x ? z ? 0
2

的参数方程.


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