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泰州市2007~2008学年度第二学期期末联考高二理科数学试题参考答案

泰州市2007~2008学年度第二学期期末联考高二理科数学试题参考答案

泰州市 2007~2008 学年度第二学期期末联考

高二数学参考答案(理科)

一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.)

1. 1 2. x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 3.36

4.-160

5.17

6.95% 7.256 8. y ? 6x 9. 3

11.①②

12.不小于

13. Cnm?k

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.) 15.(本小题满分 14 分) (本小题满分 14 分)

解:(1)由

? ??m2

m2 ?1 ? 0 ? 3m ? 2 ?

0



m

?

?1

(2) (m2 ?1)2 ? (m2 ? 2)2 ? 17

10.假设 a, b 都不能被 3 整除 14.[0, 1 ]
4
…………………………6 分

(m2 ? 3)(m2 ? 2) ? 0

∴m?? 2

………………………14 分

16.(本小题满分 14 分)
解:(1) n ?10

……………………………………4 分

(2) f (96) ? (96 ? 1)10

? 9710

? (100 ? 3)10

C C C C C 10010010 ?

1101009 ? 3 ?

1201008

2
?3

????

190100?

9
3

?

3 10 10
10

∴ f (96) 被 10 除得的余数与310 除得的余数相同…………………………10 分

又 310 ? 95 ? (10 ? 1)5

C C C C C C ?

50105 ?

15104 ?

52103 ?

35102 ?

54101 ?

5 5

∴310 被 10 除得的余数为 9,

∴ f (96) 被 10 除得的余数为 9…………………………14 分

17.(本小题满分 14 分)
解:(1) 把 ? ? 2 cos(? ? ? ) 化为直角坐标系中的方程为 x2 ? y2 ? x ? y ? 0 ………6 分 4

(2)



? ? ?

x y

? 1? 3t ? ?1? 4t

化为普通方程为

4x

?

3

y

?1

?

0

……………………………8 分

∴圆心到直线的距离为 1 ,……………………………10 分 10

∴弦长为 2 1 ? 1 ? 7 ; 2 100 5

…………………………………14 分

18.(本小题满分 14 分)

解:设 f (n) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1

n?1 n? 2 n?3

3n ?1

∵ f (n ?1) ? f (n) ? ( 1 ? 1 ? ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ?

n?2 n?3

3n ? 4 n ?1 n ? 2

? 1 ? 1 ? 1 ?1 ? 1 ? 1 ? 2 3n ? 2 3n ? 3 3n ? 4 n ?1 3n ? 2 3n ? 4 3n ? 3

6n ? 6

2(3n ? 3) 6n ? 6

2(3n ? 3)

?

? (3n ? 2)(3n ? 4)

(3n ? 3)2

?

9n2 ?18n ? 8 ? 9n2 ?18n ? 9

?0

? 1) 3n ?1

∴ f (n) 递增,∴ f (n) 最小为 f (1) ? 1 ? 1 ? 1 ? 13 2 3 4 12

∵ f (n) ? 5 ? 2t 对一切正整数 n 都成立,∴ 5 ? 2t ? 13 ,∴自然数 t ? 2 12

∴自然数 t 的最小值为 2

…………………………………………7 分

下面用数学归纳法证明 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1

n?1 n? 2 n?3

3n ?1

(1)当 n ?1时,左边 ? 1 ? 1 ? 1 ? 13 ? 1,∴ n ?1时成立 2 3 4 12

(2)假设当 n ? k 时成立,即 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1

k ?1 k ? 2 k ?3

3k ?1

那么当 n ? k ?1时,左边 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? 1

k?2 k?3 k?4

3k ? 4

?1? 1 ?1? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1

k ?1 k ? 2 k ?3

3k ?1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ?1

?1? 1 ? 1 ? 1 ? 1 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ?1

?1?

2

?1

(3k ? 2)(3k ? 4)(3k ? 3)

∴ n ? k ?1时也成立

根据(1)(2)可知 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 成立 ………………14 分

n?1 n? 2 n?3

3n ?1

注:第(1)小题也可归纳猜想得出自然数 t 的最小值为 2

19. (本小题满分 16 分)

解:(1)∵? ? 1表示客人游览了 1 个景点或 2 个景点

∴ P(? ?1) ? 1? 0.4? 0.5? 0.6 ? (1? 0.4)(1? 0.5)(1? 0.6) ? 0.76…………2 分

∵ ? ? 3 表示客人游览了 0 个景点或 3 个景点

∴ P(? ? 3) ? (1? 0.4)(1? 0.5)(1? 0.6) ? 0.4? 0.5? 0.6 ? 0.24 …………5 分

故 ? 的分布为:

?

1

3

P

0.76

0.24

(2) E(? ) ?1?0.76 ? 3? 0.24 ? 1.48 ………………………………………8 分

V (? ) ? (1?1.48)2 ? 0.76 ? (3 ?1.48)2 ? 0.24 ? 0.23? 0.76 ? 2.31? 0.24 ? 0.7292

…………………………………………11 分

(3)∵函数 f (x) ? x2 ? 2? x ? ln x 是单调增函数

∴ f '(x) ? 2x ? 2? ? 1 ? 0 x
∴? ? x ? 1 (x ? 0) 2x
∵ x? 1 ? 2 ∴? ? 2 2x

…………………………………………14 分

∴ P( A) ? P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? 0.76 ……………………………………16 分
20.(本小题满分 18 分)
解:(1) f '(x) ? x ? 2t ? 3 ? 0 有两个不等正根,即方程 x2 ? 2tx ? 3 ? 0 有两个不等正根 x
a, b ∴ ? ? 4t2 ?12 ? 0 且 f '(x) 的对称轴 x ? t ? 0 及 f '(0) ? 3 ? 0

解得: t ? 3

…………………………………………3 分

(2)

g

'( x)

?

(x2

? 3) ? (x ? (x2 ? 3)2

t)2x

?

?x2 ? 2tx ? (x2 ? 3)2

3

…………………………………5 分

根据题设得: a ? b ? 2t, ab ? 3

令 h(x) ? ?x2 ? 2tx ? 3 ? ?(x ? t)2 ? 3 ? t2

∵ h(x) 的对称轴为 x ? ?t ? ? a ? b 2
∴ h(x) 在[?b, ?a] 上的最小值为

h(?a) ? h(?b) ? ?a2 ? 2at ? 3 ? ?a2 ? a(a ? b) ? 3 ? 6 ? 0

∴ g '(x) ? 0

∴ g(x) 在[?b, ?a] 上单调递增

…………………………………………9 分

(3)由(2)可知 g(x) 在[?b, ?a] 上单调递增

g ( x)max

?

g ( x)min

?

g(?a)

?

g(?b)

?

?a ? t a2 ? 3

?

?b ? t b2 ? 3

?

1 3



(b

?

a)(3 ? ab ? (a2 ? 3)(b2

t(b ? ? 3)

a))

?

1 3

,∵

a

?

b

?

2t, ab

?

3,

0

?

a

?

b

解得:a ? 1,b ? 3

…………………………………………14 分

∴ f (x) ? 1 x2 ? 4x ? 3ln x ,∴ f '(x) ? x ? 4 ? 3 ? (x ?1)(x ? 3) ,

2

x

x

∴ f (x) 在 (0,1), (3, ??) 上递增,在 (1,3) 上递减

∵ f (1) ? ? 7 , f (3) ? ? 15 ? 3ln 3

2

2

∴当 ? 15 ? 3ln 3 ? m ? ? 7 时,方程 f (x) ? m 有 3 解

2

2

∴ m 的范围为 (?15 ? 3ln 3, ? 7)

2

2

………………………………………18 分


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