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2015-2016学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷与解析word(理科)

2015-2016学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷与解析word(理科)

2015-2016 学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. (4 分)复数 z=1﹣2i 的虚部是( A.﹣2 B.2 C.﹣2i D.2i ) D. (2x)′=2xln2 ) ) 2. (4 分)下列导数运算错误的是( A. (x﹣2)′=﹣2x﹣1 B. (cosx)′=﹣sinx C. (xlnx)′=1+lnx 3. (4 分)函数 f(x)的图象如图所示,则 f(x)的极大值点的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 4. (4 分)若函数 f(x)的导函数 f′(x)=x(2﹣x)e﹣x,则下列关系一定成立 的是( ) B.f(0)>f(1) C.f(2)<f(1) D.f(2)>f(3) A.f(2)>0 5. (4 分)已知两个命题: p:“若复数 z1,z2 满足 z1﹣z2>0,则 z1>z2.”; q:“存在唯一的一个实数对(a,b)使得 a﹣bi=i(2+i) .” 其真假情况是( A.p 真 q 假 ) C.p 假 q 真 D.p 真 q 真 (g 为常数) ,该小球在 ) B.p 假 q 假 6. (4 分)若小球自由落体的运动方程为 s(t)= t=1 到 t=3 的平均速度为 ,在 t=2 的瞬时速度为 v2,则 和 v2 关系为( A. >v2 B. <v2 C. =v2 D.不能确定 7. (4 分) 如图, 过原点斜率为 k 的直线与曲线 y=lnx 交于两点 A (x1, y 1) , B (x2, y2) ①k 的取值范围是(0, ) . ② <k< . ③当 x∈(x1,x2)时,f(x)=kx﹣lnx 先减后增且恒为负. 以上结论中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.①③ D.②③ 8. (4 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d,其导函数的图象如图所示,则函数 f (x)的图象只可能是( ) A. B . C. D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 9. (4 分)计算 = . 10. (4 分) (x﹣3)dx= . ,则 f′(x)= . . 11. (4 分)已知 f(x)= 12. (4 分)方程(x﹣1)ex=1 的解的个数为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 13. (12 分)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数为 f′(x)的部分值如表所示: x f'(x) ﹣3 ﹣24 ﹣2 ﹣10 0 6 1 8 3 0 4 ﹣10 8 ﹣90 根据表中数据,回答下列问题: (Ⅰ)实数 c 的值为 在横线上) . (Ⅱ)求实数 a,b 的值. (Ⅲ)若 f(x)在(m,m+2)上单调递减,求 m 的取值范围. 14. (10 分)如图,四棱锥 B﹣ACDE 的底面 ACDE 满足 DE∥AC,AC=2DE. (Ⅰ)若 DC⊥平面 ABC,AB⊥BC,求证:平面 ABE⊥平面 BCD; (Ⅱ)求证:在平面 ABE 内不存在直线与 DC 平行; 某同学用分析法证明第(1)问,用反证法证明第 (2)问,证明过程如下,请 你在横线上填上合适的内容. (Ⅰ)证明:欲证平面 ABE⊥平面 BCD, 只需证 , , ;当 x= 时,f(x)取得极大值(将答案填写 由已知 AB⊥BC,只需证 由已知 DC⊥平面 ABC 可得 DC⊥AB 成立, 所以平面 ABE⊥平面 BCD. (Ⅱ)证明:假设 , 又因为 DC?平面 ABE,所以 DC∥平面 ABE. 又因为平面 ACDE∩平面 ABE=AE, 所以 , 又因为 DE∥AC,所以 ACDE 是平行四边形, 所以 AC=DE,这与 矛盾, 所以假设错误,原结论正确. 15. (12 分)已知函数 f(x)=lnx+ax(a∈R) . (Ⅰ)若函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线与直线 y=2x 平行,求实数 a 的 值及该切线方程; (Ⅱ)若对任意的 x∈(0,+∞) ,都有 f(x)≤1 成立,求实数 a 的取值范围. 16. (8 分)请阅读问题 1 的解答过程,然后借鉴问题 1 的解题思路完成问题 2 的解答: 问题 1:已知数集 A={a1,a2,…an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质 P:对 任意的 i,j(1≤i≤j≤n) ,aiaj 与 a4}具有性质 P,求 a1,a4 的值. 解:对于集合中最大的数 a4,因为 a4×a4>a4,3×a4>a4,2×a4>a4. 所以 , , 都属于该集合. 两数中至少有一个属于 A.若数集{a1,2,3, 又因为 1≤a1<2<3<a4,所以 . 所以 , ,故 a1=1,a4=6. 问题 2:已知数集 A={a1,a2,…an}(0≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质 P: 对任意的 i,j(1≤i≤j≤n) ,ai+aj 与 aj﹣ai 两数中至少有一个属于 A.若数集{a1, 1,3,a4}具有性质 P,求 a1,a4 的值. 17. (10 分)已知函数 f(x)= (x>0) ,对于正数 x1,x2,…,xn(n∈N+) ,记 Sn=x1+x2+…+xn,如图,由点(0,0) , (xi,0) , (xi,f(xi) ) , (0,f(xi) )构成的 矩形的周长为 Ci(i=1,2,…,n) ,都满足 Ci=4Si(i=1,2,…,n) . (Ⅰ)求 x1; (Ⅱ)猜想 xn 的表达式(用 n 表示) ,并用数学归纳法证明. 2015-2016 学年北京市海淀区高二 (下) 期中数学试卷 (理 科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共

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