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江苏省泰州市2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)苏教版

江苏省泰州市2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)苏教版


2012-2013 学年江苏省泰州市高三(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1. (4 分)已知集合 A={1,2,3},B={1,2,5},则 A∩B= {1} . 考点: 交集及其运算. 专题: 阅读型. 分析: 把两个集合的公共元素写在花括号内即可. 解答: 解:由 A={1,2,﹣3},B={1,﹣4,5}, 则 A∩B={1,2,﹣3}∩{1,﹣4,5}={1}. 故答案为{1}. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了交集概念,是基础的概念题.

2. (4 分)设复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i,则

=

i .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把复数代入表达式,复数的分母、分子同乘分母的共轭复数,化简复数即可. 解答: 解:因为复数 z1=2+2i,z2=2﹣2i, 所以 = = = = =i.

故答案为:i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数的分母实数化,是解题的关键,是基础题. 3. (4 分)若数据 x1,x2,x3,x4,x5,3 的平均数为 3,则数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数 为 3 . 考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据平均数的性质知,要求 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数,只要把数 x1、x2、x3、x4、 x5 的和表示出即可. 解答: 解:∵x1,x2,x3,x4,x5,3 的平均数为 3, ∴数 x1+x2+x3+x4+x5+3=6×3 ∴x1,x2,x3,x4,x5 的平均数 =(x1+x2+x3+x4+x5)÷5 =(6×3﹣3)÷5 =3.
1

故答案为:3. 点评: 本题考查的是样本平均数的求法. 解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组 数据的平均数.

4. (4 分)设双曲线

的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 为双曲线上位于第一象限

内的一点,且△PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 由双曲线方程,算出焦点 F1、F2 的坐标,从而得到|F1F2|=6.根据△PF1F2 的面积为 6, 算出点 P 的纵坐标为 2,代入双曲线方程即可算出点 P 的横坐标,从而得到点 P 的坐 标. 解答: 解:∵双曲线的方程是 ∴a =4 且 b =5,可得 c=
2 2

, =3

由此可得双曲线焦点分别为 F1(﹣3,0) ,F2(3,0) 设双曲线上位于第一象限内的一点 P 坐标为(m,n) , 可得△PF1F2 的面积 S= |F1F2|?n=6, 即 ×6×n=6,解得 n=2 将 P(m,2)代入双曲线方程,得 ∴点 P 的坐标为 故答案为 点评: 本题给出双曲线上一点与焦点构成面积为 6 的三角形,求该点的坐标,着重考查了三 角形面积公式、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题. 5. (4 分)曲线 y=2lnx 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与 y 轴交点坐标为 (0, 0) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出曲线方程的导函数, 把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜 率,由切点坐标和斜率表示出切线方程,把 x=0 代入切线方程中即可求出 y 轴交点坐 标. ,解之得 m= .

2

解答: 解:对 y=2lnx 求导得:y′= ,∵切点坐标为(e,2) , 所以切线的斜率 k= ,则切线方程为:y﹣2= (x﹣e) , 把 x=0 代入切线方程得:y=0, 所以切线与 y 轴交点坐标为 (0,0) . 故答案为: (0,0) . 点评: 本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率, 进而写 出切线方程. 6. (4 分)如图,ABCD 是一个 4×5 的方格纸,向此四边形 ABCD 内抛撒一粒豆子,则豆子恰 好落在阴影部分内的概率为 0.2 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 试验发生包含的事件对应的图形是一个大长方形,若设小正方形的边长是 1,则长方 形的面积是 20,满足条件的事件是正方形面积是 4,根据面积之比做出概率. 解答: 解:由题意知本题是一个几何概型,设每一个小正方形的边长为 1 试验发生包含的事件对应的图形是一个长方形,面积为 5×4=20 阴影部分是边长为 2 的正方形,面积是 4, ∴落在图中阴影部分中的概率是 =0.2

故答案为:0.2 点评: 本题考查几何概型,解题的关键是求出两个图形的面积,根据概率等于面积之比得到 结果,本题是一个基础题. 7. (4 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(a)>f(b) ,则 f(﹣a) < f (﹣b) (用“>”或“<”填空) . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的性质 f(﹣x)=﹣f(x)求解. 解答: 解:根据奇函数的性质,f(﹣a)=﹣f(a) ,f(﹣b)=﹣f(b) ; ∵f(a)>f(b) ,∴﹣f(a)<﹣f(b) ,即 f(﹣a)<f(﹣b) . 故答案是< 点评: 本题考查函数的奇偶性. 8. (4 分)在空间中,用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列四个命题:
3

①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ③若 a∥γ ,b∥γ ,则 a∥b; 其中真命题的序号为 ①④ .

②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ④若 a⊥γ ,b⊥γ ,则 a∥b;

考点: 命题的真假判断与应用;平面的基本性质及推论. 专题: 阅读型. 分析: ①有平行线公理判断即可; ②中正方体从同一点出发的三条线进行判断; ③可以翻译为:平行于同一平面的两直线平行,错误,还有相交、异面两种情况; ④由线面垂直的性质定理可得; 解答: 解:①因为空间中,用 a,b,c 表示三条不同的直线, 若 a∥b,b∥c,则 a∥c,满足平行线公理,所以①正确; ②中正方体从同一点出发的三条线,也错误; ③可以翻译为:平行于同一平面的两直线平行,错误,还有相交、异面两种情况; ④可以翻译为:垂直于同一平面的两直线平行,由线面垂直的性质定理,正确; 故答案为:①④. 点评: 与立体几何有关的命题真假判断,要多结合空间图形.本题考查空间两条直线的位置 关系以及判定方法,线面平行的判定,解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的 三种情况,牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理.

9. (4 分)如图是一个算法流程图,则输出的 P=



考点: 程序框图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,可知当 n<6 时,用

4

P+

的值代替 P 得到新的 P 值, 并且用 n+1 代替 n 值得到新的 n 值, 直到 n=6

时输出最后算出的 P 值,由此即可得到本题答案. 解答: 解:根据题中的程序框图可得:当 n<6 时,用 P+ 代替 n 值; 直到当 n=6 时,输出最后算出的 P 值. 因此可列出如下表格:

的值代替 P,并且用 n+1

依此表格,可得输出的 P= 故答案为:

+

+

+

+

=1﹣ =

点评: 本题给出程序框图,求最后输出的 P 值,属于基础题.解题的关键是先根据已知条件 判断程序的功能,构造出相应的数学模型再求解,从而使问题得以解决. 10. (4 分)已知点 P(t,2t) (t≠0)是圆 C:x +y =1 内一点,直线 tx+2ty=m 与圆 C 相切, 则直线 x+y+m=0 与圆 C 的位置关系是 相交 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标与半径,因为 M 为圆内一点,所以 M 到圆心的距离小于圆的 半径,利用两点间的距离公式表示出一个不等式,然后利用点到直线的距离公式表示 出圆心到已知直线的距离 d,根据求出的不等式即可得到 d 大于半径 r,得到直线与 圆的位置关系是相离. 解答: 解:由圆的方程得到圆心坐标为(0,0) ,半径 r=1, 由 P 为圆内一点得到: <1,
2 2

则圆心到已知直线 tx+2ty=m 的距离 d=

=1,可得|m|=

<1,

圆心到已知直线 x+y+m=0 的距离

<1=r,

所以直线 x+y+m=0 与圆的位置关系为:相交. 故答案为:相交. 点评: 此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法, 灵活运用两 点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题. 11. (4 分)设 a∈R,s:数列{(n﹣a) }是递增的数列;t:a≤1,则 s 是 t 的 必要不充 分 条件. (填“充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要”中的一个) .
2

5

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 分析: 在 a∈R 的前提下,看由数列{(n﹣a) }是递增的数列能否推出 a≤1,再看由 a≤1 2 能否推出数列{(n﹣a) }是递增的数列. 2 解答: 解:若数列{(n﹣a) }是递增的数列, 2 2 2 2 2 2 则(n+1﹣a) ﹣(n﹣a) =(n+1) ﹣2a(n+1)+a ﹣n +2an﹣a 2 2 2 2 =n +2n+1﹣2an﹣2a+a ﹣n +2an﹣a =2n+1﹣2a>0,即 a<n+ ,因为 n 的最小值是 1,所以当 n 取最小值时都有 a< , 则 a≤1 不成立. 2 2 2 2 2 2 又由(n+1﹣a) ﹣(n﹣a) =(n+1) ﹣2a(n+1)+a ﹣n +2an﹣a 2 2 2 2 =n +2n+1﹣2an﹣2a+a ﹣n +2an﹣a =2n+1﹣2a. 2 因为 n 是大于等于 1 的自然数,所以当 a≤1 时,2n+1﹣2a,即数列{(n﹣a) }中, 从第二项起,每一项与它前一项的差都大于 0,数列是递增的数列. 所以,s 是 t 的必要不充分条件. 故答案为必要不充分. 点评: 本题考查了必要条件、充分条件与充要条件. 判断充要条件的方法是: ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. 此题是基础题. 12. (4 分)各项均为正数的等比数列{an}中,若 a1≥1,a2≤2,a3≥3,则 a4 的取值范围是 .

考点: 简单线性规划;等比数列;等比数列的通项公式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析: 根据题中的不等式组,联想到运用线性规划的知识解决问题.因此,将所得的不等式 的两边都取常用对数, 得到关于 lga1 和 lgq 的一次不等式组, 换元: 令 lga1=x, lgq=y, lga4=t,得到关于 x、y 的二次一次不等式组,再利用直线平移法进行观察,即可得到 a4 的取值范围. 解答:

解:设等比数列的公比为 q,根据题意得:



6

∴各不式的两边取常用对数,得

令 lga1=x,lgq=y,lga4=t

将不等式组化为:



作出以上不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC 及其内部 其中 A(0,lg2) ,B(2lg2﹣lg3,lg3﹣lg2) ,C(0, lg3) 将直线 l:t=x+3y 进行平移,可得 当 l 经过点 A 时,t=3lg2 取得最大值;当 l 经过点 B 时,t=﹣lg2+2lg3 取得最小值 ∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3,3lg2],即 lga4∈[lg ,lg8] 由此可得 a4 的取值范围是 故答案为:

点评: 本题给出等比数列,在已知 a1≥1,a2≤2,a3≥3 的情况下求 a4 的取值范围.着重考 查了等比数列的通项公式、 二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知 识,属于基础题. 13. (4 分)已知六个点 A1(x1,1) ,B1(x2,﹣1) ,A2(x3,1) ,B2(x4,﹣1) ,A3(x5,1) , B3(x6,﹣1) (x1<x2<x3<x4<x5<x6,x6﹣x1=5π )都在函数 f(x)=sin(x+ )的图象 C

上.如果这六点中不同的两点的连线的中点仍在曲线 C 上,则称此两点为“好点组”,则上 述六点中好点组的个数为 11 . (两点不计顺序) 考点: 正弦函数的图象;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 题干错误:x6﹣x1=5π ,应该是:x6 ﹣x1=5π ,请给修改,谢谢.
7

由题意可得, 只要研究函数 y=sinx 在[0, 6π ]上的情况即可. 画出函数 y=sinx 在[0, 6π ]上的图象,数形结合可得结论. 解答: 解:由于对称关系不因平移而改变,∴y=sinx 与 f(x)=sin(x+ )对称关系没有 变. 根据函数的周期性,只要研究函数 y=sinx 在[0,6π ]上的情况即可. 画出函数 y=sinx 在[0,6π ]上的图象,如图所示:可得 A1( A2 ( A3 ( ,0) 、B2( ,0) 、B3( ,0) 、 ,0) . ,0) 、B1( ,0) 、

由函数 y=sinx 的图象性质可得,“好点租”有:A1B1,B1A2,A2B2,B2B2,B2A3,A3B3, A1A3,B1B3,A1B2,A2B3,B1A3, 共 11 个, 故答案为 11. 点评: 本题主要考查新定义“好点组”,正弦函数的图象的对称性的应用,函数 y=Asin (ω x+?)的图象变换规律,属于中档题.

14. (4 分)已知 f(x)=2mx+m +2,m≠0,m∈R,x∈R.若|x1|+|x2|=1,则

2

的取

值范围是



考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (i)法一:目标函数法:①分类讨论去绝对值找 x1,x2 的关系.②将

化为

一个变量的函数 g(x2) . (ii)法二:数形结合:①“数”难时,要考虑“形”.②C:|x1|+|x2|=1 为正方 形.③“分式”联想到斜率.
8

解答: 解:解法一: 先考虑 0≤x1≤1,0≤x2≤1 的情形,

则 x1+x2=1

=

=

=

当 m>0,令函数 g(x)=

,x∈[0,1],

由单调性可得:g(1)≤g(x)≤g(0) .其中,



当 m<0,同理.x1、x2 在其他范围同理. 综上可得 解法二: .

=

=

,∴

为点 P

与点 Q(x2,x1)连线的斜率.P 点在直线 由图可得直线 PQ 斜率的范围,即 的范围.

上.

点评: 熟练掌握分类讨论、数形结合的思想方法、函数的单调性、直线的斜率公式及意义是 解题的关键. 二、解答题: (本大题共 12 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

9

15. (14 分)已知向量 λ 、θ ∈R. (1)求 (2)若 ⊥ +

=(cosλ θ ,cos(10﹣λ )θ ) , =(sin(10﹣λ )θ ,sinλ θ ) ,

的值;

,求 θ ; ,求证: ∥ .

(3)若 θ =

考点: 平面向量数量积的运算;向量的模;平行向量与共线向量. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: (1)由向量的数量积的坐标表示可求| |,| |,代入即可求解 (2) 由 ⊥ , 利用向量数量积的性质的坐标表示可得 cosλ θ ?sin (10﹣λ ) θ +cos

(10﹣λ ) θ ?sinλ θ =0,整理可求 θ (3) 要证明 ∥ , 根据向量平行的坐标表示, 只要证明 cosλ θ ?sinλ θ ﹣cos (10

﹣λ ) θ ?sin[(10﹣λ ) θ ]=0 即可 解答: 解: (1)∵| |= | | |= | +|
2

, (算 1 个得 1 分)

| =2,?(4 分) ⊥ ,

2

(2)∵

∴cosλ θ ?sin(10﹣λ )θ +cos(10﹣λ ) θ ?sinλ θ =0 ∴sin( (10﹣λ ) θ +λ θ )=0, ∴sin10θ =0?(7 分) ∴10θ =kπ ,k∈Z, ∴θ = ,k∈Z?(9 分) ,cosλ θ ?sinλ θ ﹣cos(10﹣λ ) θ ?sin[(10﹣λ ) θ ] ﹣cos( ﹣sin ﹣ ?cos )?sin( =0, ﹣ )

(3)∵θ = =cos =cos ∴ ∥

?sin ?sin

?..?..(14 分)

点评: 本题主要考查了 向量的数量积的性质的坐标表示及向量平行的坐标表示,属于基础 试题

10

16. (14 分)在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥平面 ABC,SA=AB=AC= 点 E 是线段 AD 上一点,且 AE=4DE,点 M 是线段 SD 上一点. (1)求证:BC⊥AM; (2)若 AM⊥平面 SBC,求证 EM∥平面 ABS.

BC,点 D 是 BC 边的中点,

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 对(1) ,通过证明线面垂直? 线线垂直即可; 对(2) ,将空间几何问题转化为平面几何问题,在△SAD 中利用 M、E 分线段 SD、AD 成等比例, 证明 ME 与 SA 平行,再由线线平行? 线面平行. 解答: 证明: (1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC, ∵SA⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,∴SA⊥BC,SA∩AD=A,∴BC⊥平面 SAD ∵AM? 平面 SAD, ∴BC⊥AM. (2)∵AM⊥面 SAB,? AM⊥SD, ∵SA=AB=AC= BC,可设 BC=3,SA= =﹣ ,∴∠A= ∴AD=

在△ABC 中,cos∠A=

. 在 Rt△SAD 中, =2= = ,∴SM=4MD,∵AE=4ED,

11

∴ME∥SA,ME?平面 ABS,SA? 平面 ABS. ∴EM∥平面 ABS. 点评: 本题考查直线与平面平行、垂直的判定.利用平面几何知识证明线线平行是本题证明 (II)的关键;另:将空间几何问题转化为平面几何问题是解决问题的常用方法. 17. (14 分)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边 AD 为半圆的直径,O 为半圆 的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MN⊥BC. (1)设∠MOD=30°,求三角形铁皮 PMN 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形 PMN 面积的最大值.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 应用题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)设 MN 交 AD 交于 Q 点由∠MOD=30°,利用锐角三角函数可求 MQ,OQ,进而可求 MN,AQ,代入 S△PMN= MN?AQ 可求 (2) 设∠MOQ=θ , 由 θ ∈[0, ], 结合锐角三角函数的定义可求 MQ=sinθ , OQ=cosθ , 代入三角形的面积公式 S△PMN= MN?AQ= (1+sinθ ) (1+cosθ )展开利用换元法,转 化为二次函数的最值求解 解答: 解: (1)设 MN 交 AD 交于 Q 点 ∵∠MOD=30°, ∴MQ= ,OQ= (算出一个得 2 分) )= ?(6 分) ],MQ=sinθ ,OQ=cosθ

S△PMN= MN?AQ= × ×(1+

(2)设∠MOQ=θ ,∴θ ∈[0,

∴S△PMN= MN?AQ= (1+sinθ ) (1+cosθ )

12

= (1+sinθ cosθ +sinθ +cosθ )?. (11 分) 令 sinθ +cosθ =t∈[1, ∴S△PMN= (t+1+ θ = ,当 t= , .?..?(14 分) ) ],

∴S△PMN 的最大值为

点评: 本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值, 换元法的应 用是求解的关键

18. (16 分)直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C:

(a>b>0)的左、右顶点分别是

A1,A2,上、下顶点为 B2,B1,点 P( 分别交 A1B1、A2B2 于点 M、N. (1)求椭圆离心率; (2)若 MN= ,求椭圆 C 的方程;

,m) (m>0)是椭圆 C 上一点,PO⊥A2B2,直线 PO

(3)在(2)的条件下,设 R 点是椭圆 C 上位于第一象限内的点,F1、F2 是椭圆 C 的左、右 焦点,RQ 平分∠F1RF2 且与 y 轴交于点 Q,求点 Q 纵坐标的取值范围.

考 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 (1)根据点 P 在椭圆上可把 P 点坐标用 a,b 表示出来,由 PO⊥A2B2,可得 析: 2 2 2 ﹣1,由此可得 a,b 的关系式,连同 a =b +c 可求得 e 值; (2)由 MN=

?KOP=

可得关于 a,b 的一方程,再根据(1)中离心率值即可求得 a,b 值,

13

从而求得椭圆方程; (3)设 R(x0,y0) ,Q(0,t) ,由题意得 cos∠F1RQ=cos∠F2RQ,利用向量夹角公式可 表示成关于 y0 与 t 的式子,根据 y0 的范围即可求得 t 的范围; 解 解: (1)因为点 P 在椭圆上,所以在方程中令 x= 答: ,得 m= b,故 P( , ) ,

∵PO⊥A2B2,∴

?KOP=﹣1,即﹣ ×

=﹣1,

∴4b =3a =4(a ﹣c ) ,∴a =4c ,∴e= ①, 故椭圆的离心率为 ;

2

2

2

2

2

2

(2)MN=

=

,∴



联立①②解得,a =4,b =3, ∴椭圆 C 的方程为: .

2

2

(3)由(2)可得 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , 设∠F1RQ=α ,∠F2RQ=β ,则 cosα =cosβ , ∴ = .

设 R(x0,y0) ,Q(0,t) , 则

化简得:t=﹣ y0, ∵0<y0< ,t∈(﹣ ,0) . ,0) .

故点 Q 纵坐标的取值范围为: (﹣

点 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解, 考查学生综合运用所学 评:知识分析问题解决问题的能力,属难题. 19. (4 分)已知数列 an=n﹣16,bn=(﹣1) |n﹣15|,其中 n∈N . (1)求满足 an+1=|bn|的所有正整数 n 的集合; (2)若 n≠16,求数列 的最大值和最小值;
n *

14

(3)记数列{an bn}的前 n 项和为 Sn,求所有满足 S2m=S2n(m<n)的有序整数对(m,n) . 考点: 数列的求和;数列的函数特性. 专题: 计算题;分类讨论;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 an+1=|bn|,把已知通项代入可得关于 n 的方程,根据绝对值的意义,从而可 求符合条件的 n (2)由已知 = ,结合式子的特点,考虑讨论 n 与 16 的大小关

系及 n 的奇偶性分别对已知式子进行化简求解最值 n (3)结合 bn=(﹣1) |n﹣15|,需要考虑 n 与 15 的大小对已知式子去绝对值,然后 讨论 n 的奇偶性代入可求满足条件的 m,n 解答: 解: (1)∵an+1=|bn|, ∴n﹣15=|n﹣15|, ∴当 n≥15 时,an+1=|bn|恒成立, 当 n<15 时,n﹣15=﹣(n﹣15) , ∴n=15 * n 的集合{n|n≥15,n∈N }?.?.?. (4 分) (2)∵ =

(i)当 n>16 时,n 取偶数

=

=1+

当 n=18 时(

)max= 无最小值

n 取奇数时

=﹣1﹣

n=17 时(

)min=﹣2 无最大值 ?(8 分)

(ii)当 n<16 时,

=

当 n 为偶数时

=

=﹣1﹣

n=14 时(

)max=﹣ (

)min=﹣

15

当 n 奇数

=

=1+

,n=1, (

)max=1﹣

=



n=15, (

)min=0

?(11 分)

综上,

最大值为 (n=18)最小值﹣2(n=17)?.?..?. (12 分)
n﹣1

(3)n≤15 时,bn=(﹣1) (n﹣15) , a2k﹣1b2k﹣1+a2kb2k=2 (16﹣2k)≥0, n n>15 时,bn=(﹣1) (n﹣15) , a2k﹣1b2k﹣1+a2kb2k=2 (2k﹣16)>0,其中 a15b15+a16b16=0 ∴S16=S14 m=7,n=8?. (16 分) 点评: 本题主要考查了数列的和的求解,求解中要注意对所出现式子的化简,体现了分类讨 论思想的应用 20. (6 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) ,a,b 是常数. (1)若 a≠b,求证:函数 f(x)存在极大值和极小值; (2)设(1)中 f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为 x1、x2,令点 A(x1,f(x1) ) , B(x2,f(x2) ) .如果直线 AB 的斜率为﹣ ,求函数 f(x)和 f′(x)的公共递减区间的 长度; (3)若 f(x)≥mxf′(x)对于一切 x∈R 恒成立,求实数 m,a,b 满足的条件. 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数恒成立问题. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由于 f′(x)=(x﹣b)[3x﹣(2a+b)],可得一元二次方程 f′(x)=0 有两 不等实数根,可得 f(x)存在极大值 和极小值. (2)分 a=b、a>b、a<b 三种情况,求得 f(x)的减区间,再求出 f′(x)减区间, 可得 f(x)与′的公共减区间, 从而求得公共减区间的长度. 2 (3)由条件可得, (x﹣b){(1﹣3m)x +[m(2a+b)﹣(a+b)]x+ab}≥0 恒成立, 可得 m= ,故 (x﹣b)[(a+2b)x﹣3ab]≤0 恒成立.再利用二次函数的性质求得实数 m,a,b 满 足的条件. 解答: 解: (1)由于 f′(x)=(x﹣b)[3x﹣(2a+b)],?(1 分) ∵a≠b,∴ , ,
2

∴一元二次方程 f′(x)=0 有两不等实数根 b 和 ∴f(x)存在极大值和极小值. ?(4 分)

16

(2)①若 a=b,f(x)不存在减区间. ②若 a>b,由(1)知 x1=b,x2= ,∴A(b,0) ,B ,



,∴(a﹣b) = ,∴

2



③当 a<b 时,x1=

,x2=b,同理可得 a﹣b= (舍) .

综上 a﹣b= ?..?. (7 分) ∴f (x) 的减区间为 即 (b, b+1) , f′ (x) 减区间为 ,

∴公共减区间为(b,b+ ) ,故公共减区间的长度为 . ?(10 分) (3)∵f(x)≥mxf′(x) ,∴(x﹣a) (x﹣b) ≥m?x(x﹣b)[3x﹣(2a+b)], 2 ∴(x﹣b){(1﹣3m)x +[m(2a+b)﹣(a+b)]x+ab}≥0. 若 ,则左边是一个一次因式,乘以一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是
2

三个一次因式的积,无论哪种 情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不 可能恒非负,不满足条件. ∴ ,?(12 分)

∴(x﹣b)[(a+2b)x﹣3ab]≤0 恒成立. 若 a+2b=0,则有 a=﹣2b,∴a=b=0. 若 a+2b≠0,则 x1=b, ,且 b= .

①当 b=0,则由二次函数的性质得 a<0, ②当 b≠0,则 综上可得, ,∴a=b,且 b<0. ,a=b≤0 或 a<0,b=0.?..(16 分)

点评: 本题主要考查函数在某点取得极值的条件,函数的恒成立问题,体现了分类讨论的数 学思想,属于中档题. 21. (6 分)如图⊙O 的两弦 AB,CD 所在直线交于圆外一点 P. (1)若 PC=2,CD=1,点 A 为 PB 的中点,求弦 AB 的长; (2)若 PO 平分∠BPD,求证:PB=PD.

17

考点: 与圆有关的比例线段. 分析: (1)利用割线定理即可得出; (2)利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角 形的判定与性质即可得出. 解答: 解(1)由割线定理可得:PA?PB=PC?PD, ∵点 A 为 PB 的中点,∴PA=AB,∴AB?2AB=2×3,解得 AB= . (2)作 OM⊥CD 于 M,ON⊥AB 于 N, ∵PO 平分∠BPD,∴OM=ON,在同圆中弦心距相等,∴AB=CD, ∴点 M 平分弦 CD,点 N 平分弦 AB,∴AN=NB,CM=MD,∴NB=MD. 又∵△PON≌△POM,∴PN=PM, ∴PN+NB=PM+MD, ∴PB=PD.

点评: 熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性 质及全等三角形的判定与性质是解题的关键. 22. (6 分)已知变换 T 把平面上的点(1,0) , (0, )分别变换成点(1,1) , (﹣ ) . (1)试求变换 T 对应的矩阵 M; 2 2 (2)求曲线 x ﹣y =1 在变换 T 的作用下所得到的曲线的方程. ,

考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 计算题. 分析: (1)先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可; 2 2 (2)先设 P(x,y)是曲线 x ﹣y =1 上的任一点,P1(x′,y′)是 P(x,y)在矩 阵 T 对应变换作用下新曲线上的对应点,根据矩阵变换求出 P 与 P1 的关系,代入已知 曲线求出所求曲线即可. 解答: 解: (1)设矩阵 M= 依题意得, = → , ∴(1,0)变换为(1,1)得:a=1,c=1, (0, ) 变换为(﹣ , ) 得:b=﹣1,d=1

18

所求矩阵 M=

?(5 分)

(2)变换 T 所对应关系

解得

?(7 分)

代入 x ﹣y =1 得:x′y′=1, 2 2 故 x ﹣y =1 在变换 T 的作用下所得到的曲线方程得 xy=1 ?(10 分) 点评: 本题主要考查来了逆矩阵与投影变换,以及计算能力,属于基础题.

2

2

23. (6 分)已知直线

(t 为参数)与圆 C:

(θ 为参数)相交

于 A,B 两点,m 为常数. (1)当 m=0 时,求线段 AB 的长; (2)当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时,求 m 的值. 考点: 参数方程化成普通方程;直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 先把参数方程化为普通方程, 再利用点到直线的距离公式、 弦长|AB|=2 即可得出; (2)圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 的条件?圆心 C 到直线 l 的距离=1. 解答: 解: (1)由直线 (t 为参数)消去参数化为普通方程 l:x+y﹣1=0;

当 m=0 时,圆 C: 心 C(0,0) ,半径 r=2. ∴圆心 C 到直线 l 的距离为 d= ∴|AB|=2 = .

(θ 为参数)消去参数 θ 得到曲线 C:x +y =4,圆

2

2



(2)由(1)可知:x+y﹣1=0, 2 2 又把圆 C 的参数方程的参数 θ 消去可得:x +(y﹣m) =4,∴圆心 C(0,m) ,半径 r=2. 只要圆心 C 到直线 l 的距离=1 即可满足:圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 的条件. 由 d= =1,解得 m﹣1=± ,

∴m=1+ 或 m=1﹣ . 点评: 熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2 正确把问题等价转化是解题的关键.



19

24. (6 分)若 a,b,c∈R ,a+2b+3c=6. (1)求 abc 的最大值; (2)求证 ≥12.

+

考点: 基本不等式. 专题: 综合题. 分析: (1)由已知可得 abc= a?2b?3c≤ ( (2)由 + +

) ,可求

3

=3+ + + = ( + + ) (a+2b+3c) ,化简后利用基本不等

式可证 + 解答: 解: (1)∵a,b,c∈R ,a+2b+3c=6 ∴abc= a?2b?3c≤ ( )=
3

当 a=2,b=1,c= 时取等号,∴abc 的最大值为 ?.?..(5 分) (2)∵ + + =3+ + + + + ) =54
2

而( + + ) (a+2b+3c)≥( ∴ + + ≥9 ∴ + + ≥12?(10 分)

点评: 本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用, 解题的关键是对基本不等式 应用条件的配凑 25. (6 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AD、DC 的中点. (1)求直线 BC1 与平面 EFD1 所成角的正弦值; (2)设直线 BC1 上一点 P 满足平面 PAC∥平面 EFD1,求 PB 的长.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;平面与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)建立以 D 点为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴的空间直角坐标系,求出平面 D1EF 的法向量,和直线 BC1 的方向向量,代入向量夹 角公式,可得直线 BC1 与平面 EFD1 所成角的正弦值;

20

(2)设



,可求出向量

的坐标(含参数 λ ) ,进而根据平面 PAC∥平面 =0,进而求出参数值后,代入

EFD1,可得平面 D1EF 的法向量也垂直平面 PAC,即 .

向量模的计算公式可得答案. 解答: 解: (1)建立以 D 点为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,DD1 所在直线 为 z 轴的空间直角坐标系 则 D1(0,0,2) ,A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,E(1,0,0) ,C1(0,2,2) ,F(0, 1,0) . =(﹣2,0,2) , =(1,0,﹣2) , =(﹣1,1,0) .

设平面 D1EF 的法向量 =(x1,y1,z1) ,







令 x1=2,则 =(2,2,1)?(3 分) ∴cos< , >= =﹣

∴直线 BC1 与平面 EFD1 所成角的正弦值为 (2)设 则 = + =λ =(﹣2λ ,0,2λ ) =(﹣2λ ,2,2λ ) , .

?..?..(5 分)

=﹣4λ +4+2λ =0

∴λ =2?(8 分) ∵AP?平面 EFD1,AP∥平面 EFD1, 又 AC∥EF,EF? 平面 EFD1, ∴AC∥平面 EFD1 又 AP∩AC=A,AP,AC? 平面 EFD1, ∴平面 PAC∥平面 EFD1, ∴ =(﹣4,0,4) , =4 ?. (10 分)

点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,平面与平面平行的判定,其中建立空间坐 标系,将空间线面关系及夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键. 26. (6 分)如图 A1(x1,y1) (y1<0)是抛物线 y =mx(m>0)上的点,作点 A1 关于 x 轴的 对称点 B1,过 B1 作与抛物线在 A1 处的切线平行的直线 B1A2 交抛物线于点 A2. (1)若 A1(4,﹣4) ,求点 A2 的坐标;
2

21

(2)若△A1A2B1 的面积为 16,且在 A1,B1 两点处的切线互相垂直. ①求抛物线方程; ②作 A2 关于 x 轴的对称点 B2,过 B2 作与抛物线在 A2 处的切线平行的直线 B2A3,交抛物线于 点 A3,?,如此继续下去,得一系列点 A4,A5,?,设 An(xn,yn) ,求满足 xn≥10000x1 的 最小自然数 n.

考点: 抛物线的标准方程;数列的函数特性. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由 A1(4,﹣4)在抛物线上代入可求 m,设出 A2(x2,﹣2x2) ,对函数 y=﹣ 求导根据导数的几何意义可求 x2,即可求解 A2. (2)①设 A1,B1 处切线的斜率分别为 K1,K2,容易得出 K1?K2=﹣1,代入点的坐标即 可得到 m 与 x1 的方程,再设 A2,结合已知又可得 x2,x1 的关系,代入三角形的面积公 式中即可可求知 x1,m,从而可求抛物线方程 ②由题意可求 xn 与 xn﹣1 的递推关系,结合等比数列的通项公式可求 n 的最小值 解答: 解: (1)若 A1(4,﹣4)在抛物线上 ∴16=4m ∴m=4, 设 A2(x2,﹣2x2) ,y=﹣ ,y′=﹣ ,B(4,4)



=

∴x2=36 ∴A2(36,﹣12)?.?.?(3 分) (2)①设 A1,B1 处切线的斜率分别为 K1,K2,K1?K2=﹣1 ∴(﹣ ∴m=4x1 ① 设 A2(x2,﹣ ) ). =﹣1

∴ ∴x2=9x1 ②

=﹣

22

又 S= ×2

(x2﹣x1)=16 ③由①②③知 x1=1,m=4
2

∴抛物线方程为 y =4x?..?(6 分) ②由(2)知 =﹣ ,

∴xn=9xn﹣1, ∴数列{xn}为等比数列, n﹣1 ∴x19 ≥10000x1 ∴n≥6∴n 最小值为 6?(10 分) 点评: 本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程, 还考查了一定的逻辑推理与运算 的能力

23


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