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文数二轮复习专题九-选考模块部分-数学(文科)-全国卷地区专用

文数二轮复习专题九-选考模块部分-数学(文科)-全国卷地区专用


专题九

选考模块部分

第21讲 第22讲 第23讲

几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲

核 心 知 识 聚 焦

第21讲 几何证明选讲

考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

1.[2014· 广东卷] 如图 211 所示,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 △CDF的周长 =________. △AEF的周长

图 211

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

[答案] 3

[解析] 本题考查相似三角形的性质定理,周长比等于相 1 1 似比. ∵ EB = 2AE ,∴ AE = 3 AB = 3 CD. 又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, △CDF的周长 CD ∴△AEF∽△CDF,∴ = =3. △AEF的周长 AE

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

2.[2015· 广东卷] 如图 212,AB 为圆 O 的直径,E 为 AB 延长线上一点,过 E 作圆 O 的切线,切点为 C,过 A 作直线 EC 的垂线,垂足为 D.若 AB=4,CE=2 3,则 AD=________.

图 212

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

[答案]

3

OC OE [解析] 连接 OC, 则 OC⊥DE, ∴OC∥AD, ∴AD=AE. 由切割线定理得 CE2=BE· AE,∴BE(BE+4)=12,解得 OC· AE 2× 6 BE=2,∴AD= OE = 4 =3.

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

3.[2015· 天津卷改编] 如图 213,在圆 O 中,M,N 是 弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为________.

图 213

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

[答案]

8 3

[解析] 根据相交弦定理知 CM· MD=AM· MB,CN·NE= AN· NB.又因为 M,N 是弦 AB 的三等分点,所以 CM· MD 8 =CN· NE,即 2× 4=3× NE,所以 NE=3.

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

4. [2014· 新课标全国卷Ⅰ改编] 如图 214, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于 点 E,且 CB=CE,则∠D________∠E.(填“>,=,<”)

图 214
[答案] =

[解析] 由题设知 A,B,C,D 四点共圆,所以∠D=∠ CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

5.[2014· 陕西卷] 如图 215,△ABC 中,BC=6,以 BC 为 直径的半圆分别交 AB,AC 于点 E,F,若 AC=2AE,则 EF =________.

图 215

[答案]

3

[解析] 由题意,可知∠AEF=∠ACB,又∠A=∠A, AE EF 所以△AEF∽△ACB,所以AC=BC.因为 AC=2AE,BC =6,所以 EF=3.
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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

6. [2014· 新课标全国卷Ⅱ改编] 如图 216 所示, 在△ABC 中, D 是 AB 上一点,△ACD 的外接圆交 BC 于 E,AB=2BE. 若 CD 平分∠ACB,且 AC=2,EC=1,则 BD=________.

图 216

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

[答案]

1

[解析] 连接 DE,∵四边形 ACED 是圆的内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA,又∠DBE=∠CBA, BE ED ∴△DBE∽△CBA,∴AB=AC, 又 AB=2BE,∴AC=2DE, ∵AC=2,∴DE=1,又 CD 是∠ACB 的平分线,∴DA =1. 设 BD=x(x>0),根据割线定理得 BD· BA=BE· BC, 1 1 即 x(x+1)=2(x+1)[2(x+1)+1],解得 x=1,即 BD=1.
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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

7.[2014· 天津卷改编] 如图 217 所示,△ABC 是圆的 内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 E,过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F.在上述 条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF;②FB2 = FD· FA ;③ AE· CE = BE· DE ;④ AF· BD = AB· BF. 则所 有正确结论的序号是________.

图 217

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

[答案]

①②④

[解析] ∵∠DBC=∠DAC,∠DBF=∠DAB,且∠DAC= ∠DAB,∴∠DBC=∠DBF,∴BD 平分∠CBF,∴△ABF AB AF BF ∽△BDF,∴BD=BF =DF, ∴AB·BF=AF· BD,BF2=AF· DF.故①②④正确.由相交 弦定理得 AE· DE=BE· CE,故③错误.

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第21讲

几何证明选讲

核 心 知 识 聚 焦

8.[2015· 广东卷] 如图 218,已知 AB 是圆 O 的直径, AB=4,EC 是圆 O 的切线,切点为 C,BC=1.过圆心 O 作 BC 的平行线, 分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P, 则 OD =________.

图 218

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第21讲

几何证明选讲

[答案]
核 心 知 识 聚 焦

8

[解析] 连接 OC, 因为 AB 是圆 O 的直径, 则∠ACB= 2 , 而 BC∥OD,故 CP⊥OD,由题知 CD 是圆 O 的切线, ∴CP 是 Rt△ODC 斜边上的高,由射影定理知 OC2= 1 1 OC2 4 OP· OD,而 OC=2,OP=2BC=2,∴OD= OP = 1 2 =8.

π

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第21讲

几何证明选讲

—— 基础知识必备 ——

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第21讲

几何证明选讲

? 考点一

相似三角形的判定及性质

题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:相似三角形的判定与性质

考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

例1 [2015· 江苏卷] 如图 219,在△ABC 中,AB=AC, △ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D. 求证:△ABD∽△AEB.

考 点 考 向 探 究

图 219

证明:因为 AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE 为公共角,所以△ABD∽△AEB.
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第21讲

几何证明选讲

[小结] 证明三角形相似的根据是三个判定定理.在证明与 圆综合的三角形相似问题时,要充分利用圆中的角(如等弦 对等角,同弧对等角)以及比例线段,达到证明三角形相似 的目的.
考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

变式题 如图 2110, 已知 PE 切⊙O 于点 E, 割线 PBA 交⊙O 于 A,B 两点,∠APE 的平分线和 AE,BE 分别交于 点 C,D. CA PE 求证:(1)CE=DE;(2) = . CE PB

考 点 考 向 探 究

图 21-10

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第21讲

几何证明选讲

考 点 考 向 探 究

变式题 证明:(1)∵PE 切⊙O 于点 E,∴∠A=∠BEP. ∵PC 平分∠APE,即∠CPA=∠DPE, ∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE. ∵∠ECD=∠A+∠CPA,∠EDC=∠BEP+∠DPE, ∴∠ECD=∠EDC,∴CE=DE. (2)∵∠PDB=∠EDC,∠EDC=∠PCE, ∴∠PDB=∠PCE. 又∵∠BPD=∠EPC, ∴△PBD∽△PEC, PE PC ∴PB=PD.同理△PDE∽△PCA, PC CA PE CA CA PE ∴PD= DE,∴PB=DE .∵DE=CE,∴ CE =PB.

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第21讲

几何证明选讲

? 考点二

直线与圆的位置关系

题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:判定圆的切线及切割线定理的应用

考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

例 2 [2015· 全国卷Ⅰ] 如图 2111, AB 是⊙O 的直径, AC 是⊙O 的切线,BC 交⊙O 于点 E. (1)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙O 的切线; (2)若 OA= 3CE,求∠ACB 的大小.

考 点 考 向 探 究

图 21-11

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第21讲

几何证明选讲

解:(1)证明:连接 AE,由已知得 AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中,由已知得 DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故 ∠OED=90°,即 DE 是⊙O 的切线. (2)设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 3,BE= 12-x2.
考 点 考 向 探 究

由射影定理可得,AE2=CE· BE,所以 x2= 12-x2,即 x4+ x2-12=0, 可得 x= 3,所以∠ACB=60°.

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第21讲

几何证明选讲

[小结] 有关直线与圆的位置关系的问题,其核心是“三个 角(圆周角、圆心角、弦切角)”和“三个定理(割线定理、切 割线定理、相交弦定理)”,在解决圆的问题时要充分注意 “三个角”和“三个定理”的应用.
考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

变式题 如图 2112,已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线 上,CA 切圆 O 于点 A,CD 是∠ACB 的平分线,交 AE 于点 F,交 AB 于点 D. (1)求证:CE·AB=AE·AC; (2)若 AD∶DB=1∶2,求证:CF=DF.

考 点 考 向 探 究

图 21-12

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第21讲

几何证明选讲

考 点 考 向 探 究

证明:(1)∵∠CAE=∠ABC,∠ACE=∠ACB,∴△ACE CE AE ∽△BCA,∴AC=AB,∴CE·AB=AE· AC. (2)∵CD 平分∠ACB,∴∠ACF=∠BCD. ∵AC 为圆的切线,∴∠CAE=∠CBD, ∴ ∠ ACF + ∠ CAE = ∠ BCD + ∠ CBD , 即 ∠ AFD = ∠ ADF,所以 AF=AD. CF AF AD 1 ∵△ACF∽△BCD,∴CD=BD=BD =2,∴CF=DF.

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第21讲

几何证明选讲

? 考点三

圆内接四边形的性质和判定定理的应用

题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:圆内接四边形的判定与性质定理

考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

例 3 如图 2113,CF 是△ABC 边 AB 上的高,FP⊥BC, FQ⊥AC.

图 21-13
考 点 考 向 探 究

(1)证明:A,B,P,Q 四点共圆; 4 5 (2)若 CQ=4,AQ=1,PF= ,求 CB 的长. 3

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第21讲

几何证明选讲

解:(1)证明:连接 QP,如图所示,∵FP⊥BC,FQ⊥AC,∴ C,P,F,Q 四点共圆,

考 点 考 向 探 究

∴∠QCF=∠QPF. ∵∠A+∠QCF=∠CPQ+∠QPF=90°, ∴∠A=∠CPQ, ∴四点 A,B,P,Q 共圆.

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第21讲

几何证明选讲

4 5 (2)∵CQ=4,AQ=1,PF= 3 , ∴根据射影定理可得,在 Rt△CFA 中, CF2=CQ· CA=4× (4+1)=20; 10 在 Rt△CFP 中,CP= CF2-PF2= 3 ; 在 Rt△CFB 中,CF2=CP· CB,∴CB=6.
考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

[小结] 四点共圆的判定依据是圆内接四边形的判定定理; 若有四点共圆,则可利用圆内接四边形的性质定理推出有 关的结论.
考 点 考 向 探 究

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第21讲

几何证明选讲

变式题 已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣 ︵ 上的点(不与点 A,C 重合),延长 BD 至 E. 弧AC (1)求证:AD 的延长线 DF 平分∠CDE; (2)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3,求 △ABC 外接圆的面积.

考 点 考 向 探 究

图 21-14

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第21讲

几何证明选讲

考 点 考 向 探 究

解:(1)证明:∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠CDF=∠ABC. 又 AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 又∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF. 由对顶角相等得∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF, 即 AD 的延长线 DF 平分∠CDE. (2)连接 AO 并延长交 BC 于 H,则 AH⊥BC. 连接 OC,由题意∠OAC=∠OCA=15°,∠ACB=75°, 3 ∴∠OCH=60°,设圆的半径为 r,则 r+ 2 r=2+ 3,得 r =2,故外接圆的面积为 4π.

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第21讲

几何证明选讲

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 综合考查相似三角形的判定与性质.例 2 考查直线与圆的位置关系,涉及圆的切线、割线,切割线 定理,三角形全等等知识.例 3 考查四点共圆及其应用.

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第21讲

几何证明选讲

例 1(配听课例 1 使用)如图,点 A,B,C,D 在⊙O 上, 1 AB=AC,AD 与 BC 相交于点 E,AE=2ED,延长 DB 1 到点 F,使 FB=2BD,连接 AF.

求证:(1)△BDE∽△FDA; (2)FA2=FB· FD.

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第21讲

几何证明选讲

证明:(1)在△BDE 和△FDA 中, 1 1 ∵FB=2BD,AE=2ED, DE DB 2 ∴DA= DF =3. ∵∠EDB=∠ADF, ∴△BDE∽△FDA. (2)连接 OA,OB,OC.

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第21讲

几何证明选讲

∵AB=AC, ∴∠BOA=∠COA, ∴OA 是等腰三角形 OBC 的顶角∠BOC 的平分线. 又∵OB=OC, ∴AO⊥BC. 由(1)知△BDE∽△FDA,∴∠EBD=∠AFD,∴BC∥FA. 又∵AO⊥BC,∴AO⊥FA, ∴直线 AF 与⊙O 相切, ∴FA2=FB· FD.

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第21讲

几何证明选讲

例 2(配听课例 2 使用)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M.

(1)求证:DE 是圆 O 的切线; (2)求证:DE· BC=DM· AC+DM· AB.

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第21讲

几何证明选讲

证明:(1)连接 OE.∵点 D 是 BC 的中点,点 O 是 AB 的中点,∴ 1 OD 2AC,∴∠A=∠BOD,∠AEO=∠EOD.∵OA=OE,∴∠A =∠AEO,∴∠BOD=∠EOD.在△EOD 和△BOD 中, ∵OE=OB,OD=OD,∴△EOD≌△BOD,∴∠OED=∠OBD =90°,即 OE⊥ED.∵E 是圆 O 上一点,∴DE 是圆 O 的切线. (2)延长 DO 交圆 O 于点 F.∵点 D 是 BC 的中点,∴BC=2DB. ∵DE, DB 是圆 O 的切线, ∴DE=DB.∴DE· BC=DE· 2DB=2DE2. ∵AC=2OD,AB=2OF, ∴ DM · AC + DM· AB = DM· (AC + AB) = DM· (2OD + 2OF) = 2DM· DF.∵DE 是圆 O 的切线, DF 是圆 O 的割线, ∴DE2=DM· DF, ∴DE·BC=DM· AC+DM· AB.

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第21讲

几何证明选讲

例 3(配听课例 3 使用)如图,CD 为△ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC· AE=DC· AF,B,E,F,C 四点共圆.

(1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与 △ABC 外接圆面积的比值.

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第21讲

几何证明选讲

解:(1)证明:因为 CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB BC DC =∠A,由题设知 FA =EA ,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC =∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA =∠CFE=90°, 所以∠CBA=90°,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径.

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第21讲

几何证明选讲

变式题

π (1) 设 a = sin(2015 π - 6 ) , 函 数 f(x) = )

? ?ax,x>0, 1 ? 则 f(log26)的值等于( ? ?f(-x),x<0,

1 A.4 B.4 1 C.6 D.6 a 1 (2)已知函数 f(x)=lg(1-2x)的定义域是(2,+∞),则实 数 a 的值为________.
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核 心 知 识 聚 焦

第22讲 坐标系与参数方程

考 点 考 向 探 究

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第22讲

坐标系与参数方程

核 心 知 识 聚 焦

1.[2014· 辽宁卷改编] 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标 保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C,则 C 的 参数方程为________.
[答案]
? ?x=cos t, ? (t ? y = 2 sin t ?

为参数)

[解析] 设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为 C 上的
? ?x=x1, 点(x,y).依题意,得? 由 ? ?y=2y1,
2 y 1,即曲线 C 的方程为 x2+ 4 =1. 2 x2 + y 1 1=1

得x

2

?y?2 +?2? = ? ?

故C

? ?x=cos t, 的参数方程为? (t ? ?y=2sin t

为参数).
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第22讲

坐标系与参数方程

核 心 知 识 聚 焦

2.[2015· 全国卷Ⅰ改编] 在直角坐标系 xOy 中,直线 C:x =-2,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,则直线 C 的极坐标方程为________.

[答案] ρcos θ=-2

[解析] 因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以直线 C 的极 坐标方程为 ρcos θ=-2.

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第22讲

坐标系与参数方程

核 心 知 识 聚 焦

3.[2015· 广东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为 极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C1 的极坐标 方程为 ρ (cos θ + sin θ ) =- 2 ,曲线 C2 的参数方程为
2 ? ?x=t , ? (t 为参数), 则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. ? y = 2 2t ?

[答案] (2,-4)

[解析] 曲线 C1 的直角坐标方程为 x+y=-2,曲线 C2 的 普通方程为
? ? x + y =- 2 , ? ?x=2, 2 ? y =8x,由 2 得? 所以 ? ? ?y =8x, ?y=-4,

C1

与 C2 交点的直角坐标为(2,-4).

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第22讲

坐标系与参数方程

核 心 知 识 聚 焦

4.[2014· 新课标全国卷Ⅰ改编] 直线 的普通方程为________.

? ?x=2+t, l:? (t ? ?y=2-2t

为参数)

[答案] 2x+y-6=0

[解析] 消去参数 t,可得直线 l 的普通方程为 2x+y-6= 0.

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第22讲

坐标系与参数方程
2 ? ?x=t , 圆锥曲线? (t ? ?y=2t

核 心 知 识 聚 焦

5.[2013· 陕西卷] ________.

为参数)的焦点坐标是

[答案]

(1,0)

[解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为 y2=4x, 为抛物线,其焦点坐标为(1,0).

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第22讲

坐标系与参数方程

核 心 知 识 聚 焦

6.[2013· 广东卷] 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ . 以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲 线 C 的参数方程为________.
? ?x=1+cos ? ? ?y=sin θ

[答案]

θ, (θ 为参数)

[解析] 将曲线 C 的极坐标方程 ρ=2cos θ化为普通方程 为(x-1) +y 参数).
2 2

? ?x=1+cos =1,则其参数方程为? ? ?y=sin θ

θ,

(θ 为

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第22讲

坐标系与参数方程
? π ? 2ρsin?θ- 4 ? ? ? ?= ?

7. [2015· 广东卷] 已知直线 l 的极坐标方程为
核 心 知 识 聚 焦

2,点 A 的极坐标为 离为________.
[答案] 5 2 2

? A? ?2 ?

7π ? ? 2, 4 ?,则点 A 到直线 l 的距 ?

[解析] 直线 l 的极坐标方程 标方程为 x-y+1=0,点
? 坐标为? ?2 ?

? π? ? 2ρsin?θ- ? = 4? ? ?

2化为直角坐

? A?2 ?

7 ? 2,4π?在直角坐标系中的 ?

7π 7π ? ? 2cos 4 ,2 2sin 4 ?,即 A(2,-2),故点 A 到 ? |1× 2-1× (-2)+1| 5 直线 l 的距离为 =2 2. 2
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第22讲

坐标系与参数方程

核 心 知 识 聚 焦

8. [2015· 湖南卷] 在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程 为ρ =2sin θ ,则曲线 C 的直角坐标方程为________.

[答案]

x2+y2-2y=0

[解析] 将曲线 C 的极坐标方程 ρ=2sin θ两边同时乘 ρ, 得 ρ2=2ρsin θ,即 x2+y2=2y,故曲线 C 的直角坐标方 程为 x2+y2-2y=0.

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第22讲

坐标系与参数方程

—— 基础知识必备 ——

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第22讲

坐标系与参数方程

? 考点一

极坐标系与简单曲线的极坐标方程

题型:解答 分值:5~10 分 难度: 中等 热点: 极坐标与直角坐标的互化

考 点 考 向 探 究

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第22讲

坐标系与参数方程

例 1 [2015·全国卷Ⅰ改编] 在直角坐标系 xOy 中,圆 2 2 C1:(x-1) +(y-2) =1,以坐标原点为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1 的极坐标方程; (2)若直线 C2 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R),设 C1 与 C2 4 的交点为 M,N,求△C1MN 的面积.
考 点 考 向 探 究

π

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第22讲

坐标系与参数方程

解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以 C1 的极坐标方程 为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. (2)将 θ= 4 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0, 得ρ2-3 2ρ +4=0, 解得 ρ1=2 2, ρ2= 2, 故 ρ1-ρ2= 2, 即|MN|= 2.

π

考 点 考 向 探 究

π 1 由于圆 C1 的半径为 1,所以△C1MN 的面积为2× 2× 1× sin 4 = 1 2.

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第22讲

坐标系与参数方程

[小结] 处理极坐标问题时, 主要是依据 x=ρcos θ, y=ρsin θ,ρ2=x2+y2 进行极坐标与直角坐标的互化,而当对极 坐标问题不熟悉时,可考虑转化为直角坐标方程后使用直 角坐标方法解决.

考 点 考 向 探 究

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第22讲

坐标系与参数方程

变式题 直角坐标系 xOy 的原点和极坐标系的极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,单位长度相同.曲线 C 的直角坐标方 x2 y2 π π 程为 + =1, 若曲线 C 与射线 θ = 和射线 θ =- 分别 16 4 4 4 交于 A,B 两点,求△AOB 的面积.

考 点 考 向 探 究

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第22讲

坐标系与参数方程

考 点 考 向 探 究

ρ2cos2θ 解: 将曲线 C 的直角坐标方程化为极坐标方程为 16 + ρ2sin2θ 4 =1, π π 32 2 2 2 分别代入 θ= 4 和 θ=- 4 ,得 ρ =|OA| =|OB| = 5 , π 1 16 因为∠AOB= 2 ,所以△AOB 的面积 S=2|OA|· |OB|= 5 .

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第22讲

坐标系与参数方程

?

考点二

简单曲线的参数方程 题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:直线的参数方程

考 点 考 向 探 究

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第22讲

坐标系与参数方程

π 例 2 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α= 6 . (1)写出直线 l 的参数方程; ? ?x=2cos θ , (2)设 l 与圆? (θ 为参数)相交于 A,B 两点, ? ?y=2sin θ 求点 P 到 A,B 两点的距离之积.
考 点 考 向 探 究

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第22讲

坐标系与参数方程

3 ? x = 1 + ? 2 t, 解:(1)直线 l 的参数方程是? (t 是参数). 1 ?y=1+ t 2 ? (2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设点 A,B 对应的参 数分别为 t1 和 t2,将直线 l 的参数方程代入圆的普通方程 x2+y2=4 中,整理得 t2+( 3+1)t-2=0.①
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因为 t1 和 t2 是方程①的解,从而 t1t2=-2, 所以|PA|· |PB|=|t1t2|=2.

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第22讲

坐标系与参数方程

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[小结] 曲线的参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵 坐标分别用同一个参数表示出来, 所以处理有关曲线上点的 坐标问题时用参数方程非常方便.熟悉直线、圆、椭圆、抛 物线的参数方程的形式及参数的几何意义, 是解决参数问题 的前提.

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第22讲

坐标系与参数方程

变式题

x2 y2 已知椭圆 C: 4 + 3 =1,直线 l: 为参数).

? ?x=-3+ 3t, ? (t ? 3+t ?y=2

(1)写出椭圆 C 的参数方程及直线 l 的普通方程; (2)设 A(1, 0), 若椭圆 C 上的点 P 满足到点 A 的距离与其 到直线 l 的距离相等,求点 P 的坐标.
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第22讲

坐标系与参数方程
? ?x=2cos θ, C:? (θ ? y = 3 sin θ ?

解:(1)椭圆 +9=0. (2) 设

为参数),直线 l:x- 3y

P(2cos

θ ,

3 sin

θ ) , 则 |AP| =

(2cos θ-1)2+( 3sin θ)2=2-cos θ,
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|2cos θ-3sin θ+9| P 到 直 线 l 的 距 离 d = = 2 2cos θ-3sin θ+9 . 2 由|AP|=d 得 3sin θ-4cos θ=5,又 sin2θ+cos2θ=1, 3 4 8 3 3 得 sin θ=5,cos θ=-5.故 P(-5, 5 ).
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第22讲

坐标系与参数方程

?

考点三

极坐标与参数方程的综合

题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等偏难 热点:极坐标与参数方程的综合

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第22讲

坐标系与参数方程

[2015·陕西卷] 在直角坐标系 xOy 中, 直线 l ? ?x=3+1t, 2 ? 的参数方程为? (t 为参数).以原点为极点,x 3 ? y= t ? 2 ? 轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为 ρ =
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例3

2 3sin θ . (1)写出⊙C 的直角坐标方程; (2)P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

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第22讲

坐标系与参数方程

解:(1)由 ρ=2 3sin θ,得 ρ2=2 3ρsin θ, 从而有 x2+y2=2 3y,所以⊙C 的直角坐标方程为 x2+(y - 3)2=3. 1 3 (2)设 P(3+2t, 2 t),又 C(0, 3), 1 2 3 则|PC|= (3+2t) +( 2 t- 3)2= t2+12, 故当 t=0 时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).

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第22讲

坐标系与参数方程

[ 小结 ] 极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是立足公 式 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ进行,而参数方程 化为普通方程则是消去参数方程中的参数即可.
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第22讲

坐标系与参数方程

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变式题 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =4cos θ .以 极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建 立平面直角坐标系 ,直线 l 的参数方程是 ? ?x=1+tcos α , ? (t 是参数). ? ?y=tsin α (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,且|AB|= 14, 求直线的倾斜角α 的值.

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第22讲

坐标系与参数方程

解:(1)由 ρ=4cos θ得(x-2)2+y2=4.
? ?x=1+tcos α, (2) 将 ? 代 入 圆 的 方 程 得 (tcos ? y = t sin α, ?

α - 1)2 +

(tsin α)2=4, 化简得 t2-2tcos α-3=0. 设 A, B 两点对应的参数分别为
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? ?t1+t2=2cos t1, t2, 则? ? ?t1t2=-3,

α,

∴ |AB| = |t1 - t2| = (t1+t2)2-4t1t2 = 4cos2α+12 = 14,

π 3π 2 ∴4cos α=2,cos α=± 2 ,α= 4 或 4 .
2

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第22讲

坐标系与参数方程

—— 教师备用例题 ——
[ 备选理由 ] 例 1 考查将圆的极坐标方程化为直角坐标方 程.例 2 考查椭圆的参数方程、伸缩变换以及轨迹问题.例 3 是极坐标与参数方程的综合题,并涉及直线参数方程的应 用.

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第22讲

坐标系与参数方程

例 1(配听课例 1 使用)[2015· 江苏卷] 已知圆 C 的极坐标方程 ? π? ? 2 为 ρ +2 2ρsin?θ- ? ?-4=0,求圆 C 的半径. 4 ? ?

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第22讲

坐标系与参数方程

解: 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系 xOy. ? 2 ? 2 2 圆 C 的极坐标方程为 ρ +2 2ρ? sin θ - cos θ ?-4= 2 ? 2 ? 0,化简得 ρ2+2ρsin θ -2ρcos θ -4=0, 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圆 C 的半径为 6.

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第22讲

坐标系与参数方程

例 2( 配 听 课 例 2 使 用 ) 已 知 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
? ?x=3cos ? ? ?y=2sin

θ , (θ 为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲 θ

1 ? ?x′=3x, 线 C 上的点按坐标变换? 得到曲线 C′. ?y′=1y 2 ? (1)求曲线 C′的普通方程; (2)若点 A 在曲线 C′上,点 B(3,0),当点 A 在曲线 C′上运 动时,求 AB 的中点 P 的轨迹方程.

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第22讲

坐标系与参数方程

1 ? ? ?x′=3x, ?x=3cos θ , 解:(1)将? 代入? 得 C′的参数方程为 ? 1 ?y=2sin θ ?y′= y, 2 ?
? ?x′=cos θ , ? (θ ? y ′= sin θ ?

为参数),

所以曲线 C′的普通方程为 x′2+y′2=1. (2)设 P(x,y),A(x0,y0),又 B(3,0),且 AB 的中点为 P,
? ?x0=2x-3, 所以有? ① ? y = 2y. ? 0
2 又点 A(x0,y0)在曲线 C′上,所以 x2 + y 0 0=1,将①式代入得 (2x-3)2+(2y)2=1, 3 1 所以点 P 的轨迹方程为(x-2)2+y2=4.

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第22讲

坐标系与参数方程

1 ? ?x=1+2t, 例 3(配听课例 3 使用)直线 l 的参数方程为? (t 为 ? y= 3 t 2 ? 参数),曲线 C 的极坐标方程为(1+sin2θ )ρ 2=2. (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,若点 P 为(1,0), 1 1 求|AP|2+|BP|2.

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第22讲

坐标系与参数方程

解:(1)消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 3x-y- 3=0, 曲线 C 的极坐标方程 ρ2+ρ2sin2θ =2 化成直角坐标方程为 x2 2 2 x +2y =2,即 2 +y2=1. (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C:x2+2y2=2,得 7t2+4t -4=0. 设 A,B 两点在直线 l 的参数方程中对应的参数分别为 t1, t2, 4 4 则 t1+t2=-7,t1t2=-7,
2 2 2 1 1 1 1 t1+t2 (t1+t2) -2t1t2 9 ∴|AP|2+|BP|2=|t |2+|t |2= 2 2= =2. 2 t · t ( t t ) 1 2 1 2 1 2

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第23讲 不等式选讲

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第23讲

不等式选讲

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1. [2015· 陕西卷改编] 已知关于 x 的不等式|x+a|<b 的解 集为{x|2<x<4},则实数 a,b 的值分别为________.

[答案] -3 1

[解析] 由|x+a|<b,得 -b-a<x<b-a,
? ? ?-b-a=2, ?a=-3, 则? 解得? ? ? ?b-a=4, ?b=1.

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第23讲

不等式选讲

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2.[2013· 陕西卷] 设 a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数 x 的不等式|x-a|+|x-b|>2 的解集是________.

[答案]

(-∞,+∞)

[解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x-a|+|x-b|≥|(x- a)-(x-b)|=|b-a|=|a-b|.又由|a-b|>2 恒成立,故不等 式的解集为(-∞,+∞).

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不等式选讲

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3.[2015· 江苏卷改编] 不等式 x+|2x+3|≥2 的解集为 ________.
? ? 1? ?x?x≤-5或x≥- ? 3? ? ?

[答案]

3 3 ? ? ?x<- , ?x≥- , 2 2 [解析] 原不等式可化为 ? 或? 解得 x≤ ? ?-x-3≥2 ? ?3x+3≥2, 1 -5 或 x≥-3. ? ? 1? ? ? 综上,原不等式的解集是 x x≤-5或x≥-3?. ? ? ?
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第23讲

不等式选讲
? 1? ? f(x)= x+a ?+|x ? ?

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4. [2014· 新课标全国卷Ⅱ改编] 设函数

-a|(a>0).则 f(x)与 2 的大小关系为________.

[答案]

f(x)≥2
? 1? ?x+ ? a? ?

[ 解 析 ] 由 a>0 , 有 f(x) =
? ? 1 1 ?x+ -(x-a)?= +a≥2,所以 a ? ? a

+ |x - a| ≥

f(x)≥2.

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不等式选讲

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5.[2014· 江西卷改编] x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y- 1|≤2,则 x+y 的取值范围为________.

[答案]

[0,2]
? ?|x|+|x-1|≥1, ? ?|x| +|y| +|x-1|+|y-1|≥2?|x| +|y| ? ?|y|+|y-1|≥1

[解析]

? ?|x|+|x-1|=1, ? ?0≤x≤1, +|x-1| +|y-1| =2?? ?? ?0 ≤x+ ? ? ?|y|+|y-1|=1 ?0≤y≤1

y≤2.

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不等式选讲

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1 1 6.[2014· 新课标全国卷Ⅰ改编] 若 a>0,b>0,且a +b= ab,则 a3+b3 的最小值为________.
[答案] 4 2

1 1 2 [解析] 由 ab=a +b≥ ,得 ab≥2,当且仅当 a=b= 2时 ab 等号成立. 故 a3+b3≥2 a3b3≥4 2, 当且仅当 a=b= 2时等号成立. 所以 a3+b3 的最小值为 4 2.

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不等式选讲

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7.[2013· 新课标全国卷Ⅱ改编] 设 a,b,c 均为正数,a+b 1 +c=1,则 ab+bc+ca________3(填“>,<,≥,≤”).
[答案] ≤

[解析] 由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得 a2+b2 1 2 +c ≥ab+bc+ca,当且仅当 a=b=c=3时等号成立. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤3.
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不等式选讲

核 心 知 识 聚 焦

8.[2014· 江苏卷改编] 已知 x>0,y>0,则(1+x+y2)(1+x2 +y)________9xy(填“>,<,≥,≤”).
[答案] ≥

[解析] 因为 x>0,y>0, 3 3 所以 1+x+y2≥3 xy2>0,1+x2+y≥3 x2y>0,当且仅当 x =y=1 时等号成立. 故(1+x+y )(1+x +y)≥3 xy ·3 x2y=9xy.
2 2

3

2

3

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第23讲

不等式选讲

—— 基础知识必备 ——

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第23讲

不等式选讲

? 考点一

含绝对值的不等式的解法

题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等 热点:解绝对值不等式

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第23讲

不等式选讲

例1

已知函数 f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.

(1)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x); (2)若存在 x∈R,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值 范围.

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第23讲

不等式选讲

考 点 考 向 探 究

解: (1)当 a=0 时, 由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|, 两边平方整理得 3x2 +4x+1≥0, 1 解得 x≤-1 或 x≥-3, 1 ∴原不等式的解集为(-∞,-1]∪[-3,+∞). (2)由 f(x)≤g(x)得 a≥|2x+1|-|x|,令 h(x)=|2x+1|-|x|,即 h(x)= 1 ? ?-x-1,x≤-2, ? 1 ? ?3x+1,-2<x<0, ? ?x+1,x≥0, 1 1 1 故 h(x)min=h(-2)=-2, 故所求实数 a 的取值范围为(-2, +∞).
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第23讲

不等式选讲

[小结] 解含有绝对值的不等式的基本方法是分段去绝对值 符号后,转化为求几个不等式组的解,最后求并集得出原 不等式的解集.

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第23讲

不等式选讲

变式题 已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

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第23讲

不等式选讲

考 点 考 向 探 究

?-2x+5,x≤2, ? 解:(1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ? 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1, 2]时, |x-4|-|x-2|≥|x+a|?(4-x)-(2-x)≥|x +a|?-2-a≤x≤2-a, 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,解得-3≤a≤0, 故满足条件的实数 a 的取值范围为[-3,0].

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第23讲

不等式选讲

? 考点二

不等式的证明

题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等偏难 热点:不等式的证明

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第23讲

不等式选讲

例 2 [2015· 全国卷Ⅱ] 设 a,b,c,d 均为正数,且 a +b=c+d.证明: (1)若 ab>cd,则 a+ b> c+ d; (2) a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.

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第23讲

不等式选讲

证明:(1)因为( a+ b)2=a+b+2 ab, ( c+ d)2=c+d+2 cd, 由题设 a+b=c+d,ab>cd, 得( a+ b)2>( c+ d)2,因此 a+ b> c+ d. (2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即 (a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd.
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由(1)得 a+ b> c+ d.

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第23讲

不等式选讲

(ii)若 a+ b> c+ d, 则( a+ b)2>( c+ d)2, 即 a+b+2 ab>c+d+2 cd. 因为 a+b=c+d,所以 ab>cd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2, 因此|a-b|<|c-d|.
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综上, a+ b> c+ d是|a-b|<|c-d|的充要条件.

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第23讲

不等式选讲

[小结] 证明不等式的基本方法有综合法、 分析法、 反证法、 放缩法等.对含有绝对值的不等式,可以考虑使用分析法 进行证明.

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第23讲

不等式选讲

变式题 已知 a2+b2=1,c2+d2=1. (1)求证:ab+cd≤1; (2)求 a+ 3b 的取值范围.

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第23讲

不等式选讲

解:(1)证明:∵a2+b2≥2ab,c2+d2≥2cd, 2 ∴a +b +c +d ≥2(ab+cd), 当且仅当 a=b=c=d= 2 时取 等号. 又∵a2+b2=1,c2+d2=1, ∴2(ab+cd)≤2,∴ab+cd≤1.
2 2 2 2

(2)设 m=(a,b),n=(1, 3),
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∵|m· n|≤|m|· |n|,∴|a+ 3b|≤2 a2+b2=2, ∴-2≤a+ 3b≤2,即 a+ 3b 的取值范围为[-2,2].

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第23讲

不等式选讲

考点三

绝对值不等式的综合

题型:解答 分值:5~10 分 难度:中等偏难 热点:不等式的求解、证明,或与函数的综合

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第23讲

不等式选讲

例 5 [2015·全国卷Ⅰ] 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x- a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

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第23讲

不等式选讲

解:(1)当 a=1 时,f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当 x≤-1 时,不等式化为 x-4>0,无解; 2 当-1<x<1 时,不等式化为 3x-2>0,解得3<x<1; 当 x≥1 时,不等式化为-x+2>0,解得 1≤x<2. ? 2 ? ? 所以 f(x)>1 的解集为 x|3<x<2?. ? ?
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第23讲

不等式选讲

考 点 考 向 探 究

?x-1-2a,x<-1, ? (2)由题设可得 f(x)=?3x+1-2a,-1≤x≤a, ?-x+1+2a,x>a, ? 所以函数 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ?2a-1 ? 2 ? ? A? ,0?,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为3 ? 3 ? (a+1)2. 2 由题设得3(a+1)2>6,又 a>0,故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2,+∞).

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第23讲

不等式选讲

[小结] 在绝对值不等式的综合问题中,多表现为题中出现含 绝对值且含参量的函数,一般会涉及解绝对值不等式,绝对 值不等式恒成立问题,以及由函数性质或图像引起的最值问 题、范围问题、求参数问题等.
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第23讲

不等式选讲

变式题 已知函数 f(x)=|x|,g(x)=-|x-4|+m. (1)解关于 x 的不等式 g[f(x)]+2-m>0; (2)若函数 f(x)的图像恒在函数 g(x)图像的上方,求实 数 m 的取值范围.

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第23讲

不等式选讲

解:(1)由 g[f(x)]+2-m>0 得||x|-4|<2,∴-2<|x|-4<2, ∴2<|x|<6,∴-6≤x≤-2 或 2≤x≤6, 故原不等式的解集为[-6,-2]∪[2,6]. (2)∵函数 f(x)的图像恒在函数 g(x)图像的上方, ∴f(x)>g(x)恒成立,即 m<|x-4|+|x|恒成立. ∵|x-4|+|x|≥|(x-4)-x|=4, ∴m 的取值范围为 m<4.
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第23讲

不等式选讲

—— 教师备用例题 ——
[备选理由] 例 1 为求解不等式及不等式恒成立的问题,是对 听课例 1 的补充.例 2 考查不等式的证明,基本不等式以及 柯西不等式的应用,考查推理与计算能力.例 3 考查解绝对 值不等式以及函数与不等式的综合.

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第23讲

不等式选讲

例 1(配听课例 1 使用)已知 f(x)=|x+1|+|x-2|,g(x)=|x+ 1|-|x-a|+a(a∈R). (1)当 a=3 时,解不等式 g(x)≤5; (2)若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求 a 的取值范围.

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第23讲

不等式选讲

解:(1)原不等式等价于不等式组
? ? ? ?x<-1, ?-1≤x≤3, ?x>3, ? 或? 或? ? ?-x-1+x-3≤2 ? ?x+1+x-3≤2 ? ?x+1-x+3≤2,

解得 x≤2, 故不等式 f(x)≤5 的解集为(-∞,2]. (2)若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,即|x-2|+|x-a|≥a 恒成立. 而|x-2|+|x-a|≥|x-2-x+a|=|a-2|,则需满足|a-2|≥a, 解得 a≤1,故 a 的取值范围为(-∞,1].

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第23讲

不等式选讲
? 1? f(x)=?x-a?+|x+a|(a> ? ?

例 2(配听课例 2 使用)(1)设函数

0),证明:f(x)≥2; (2)若实数 x, y, z 满足 x2+4y2+z2=3, 求证: |x+2y+z|≤3.

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第23讲

不等式选讲

证明:(1)由 a>0,
? ? 1 1 1 ? 有 f(x)=|x- |+|x+a|≥?(x- )-(x+a)? ?=a+a ≥ a a ? ?

2,当且仅当 a=1 时取等号, 所以 f(x)≥2. (2)∵x +4y +z =3,由柯西不等式得[x +(2y) +z ](1 + x 2y z 1 +1 )≥(x+2y+z) (当且仅当 = = 时取等号), 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

整理得(x+2y+z)2≤9,即|x+2y+z|≤3.

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第23讲

不等式选讲

例 3(配听课例 3 使用)已知函数 f(x)=|x+2|-|2x-2|. (1)解不等式 f(x)≥-2; (2)设 g(x)=x-a, 对任意 x∈[a, +∞), 都有 g(x)≥f(x)成立, 求 a 的取值范围.

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第23讲

不等式选讲

解:(1)当 x≤-2 时,不等式化为 x-4≥-2,解得 x≥2,∴x ∈?; 2 2 当-2<x<1 时,不等式化为 3x≥-2,解得 x≥- ,∴- ≤x<1; 3 3 当 x≥1 时,不等式化为-x+4≥-2,解得 x≤6,∴1≤x≤6,
? ? 2 ? ? ? ? ? 综上,不等式的解集为 x?- ≤x≤6?. ? ? ? ? 3 ?

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第23讲

不等式选讲

?x-4,x≤-2, ? (2)f(x)=?3x,-2<x<1, ?-x+4,x≥1, ? 函数 f(x)的图像如图所示. ∵g(x)=x-a 的图像为一条直线,-a 表示直线的纵截距,当 直线过点(1,3)时,-a=2, ∴当-a≥2,即 a≤-2 时,g(x)≥f(x)成立; a 当-a<2,即 a>-2 时,令-x+4=x-a,得 x=2+ , 2 a ∴a≥2+ ,即 a≥4 时 g(x)≥f(x)成立. 2 综上,a 的取值范围为{a|a≤-2 或 a≥4}.
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