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复变函数课件6-4几个初等函数所构成的映射共23页PPT资料_图文

复变函数课件6-4几个初等函数所构成的映射共23页PPT资料_图文

第四节 几个初等函数所构成 的映射
一、幂函数 二、指数函数 三、小结与思考

一、幂函数 w?zn(n?2为自然 ) 数
该函数在 z平面内处处可导,导数 dw ? nzn?1 dz
(1)当 z?0时 : dw?0,则在 z平面内除原 , 点外 dz 由w?zn所构成的映射是形 处的 处 . 共
课件
2

(2)当 z?0时 :
令 z? ri?e ,w ??ei?,有 ??rn,??n?.

则: 1)圆周 z?r

圆周 w?rn

(特殊地: 单位圆周映射为单位圆周)

2) 射?线 ??0

射?线 ?n?0

(正实 ??轴 0映射成?正 ?0)实轴

课件
3

3)角形 0??域 ??0????2 n π???
(z )

角形 0??? 域 n ?0
(w)

?0 0

n? 0
0

即在 z?0处角形域的张角 射经 变过 为映 原 来的 n倍.
因,当 此 n?2时 ,映w 射 ?zn在 z?0处没有 .

课件
4

特殊地:
角形0域 ???2π
n (z)
2? n
0

角形 0??? 域 2 π
(w) 上岸

0

下岸

沿正实轴剪开的w平面

? ?0映射成正实轴的 ??上0 岸
? ?2π映射成正实轴?的 ?2π下岸
n 课件 5

映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原

点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
如果要把角形域映射成角形域,常利用幂级数.
例1 求把角 0?a形 rz? g?域 映射成单
4 w?1的一个映. 射

(z)

?

?

4
0

课件

(w) 0
6

解 (z)
? 4
0

? ? z4

因此所求映射为:

w

?

z4 z4

? ?

i i

(? )
0
w?? ?i ? ?i
(w)
0

课件
7

例2 求把下图 C 1与 中 C 2所 由 围 圆 成 弧 的
?的月牙域映 ?0? 射 arz成 g ??0角 ??的 形一 域
个映射.

(z )
?
C1 C2 0

(w)

?

?

?0 0

课件
8

解 (z) i C1
01
?i

?

?

?k?? ?

z?i z?i

?? ?

(? )

C2

?

0

C1与 C2的交i,点 ?i 为
z?i? ??0 , z?? i? ??? ,
实现此步的映射是分式线性函数:
??k???zz??ii??? 其中 k为待定的.复常数
课件
9

(z)
i. C1
01 ?i

?

?

?ik??
?

z?i z?i

?? ?

(? )

C2

?

0

此映射z将 ?1???k???1 1? ?ii?????ik.
取 k?i,使 ?? 1,则C1??平面上的正 . 实轴
根据保角性, 月牙域被映射成角形域: 0?ar ?? g?.

课件
10

(z)
i. C1
01 ?i

?

?

?i

??? zz

?i ?i

?? ?

(? )

C2

?

0

因此所求映射为:

逆时针旋?转 0 w?ei?0?

w?iei?0??z?i??

(w)

?z?i?

? ei(?0?π2)?? z ?i ?? ?z?i?

?
?0 0

课件

11

例3 求把R 具 z)e ? a 有 (,0? I割 m z)?h ( 的 痕上

半平面映射成上的半一平个面映 . 射

(z)

(w)

C(a.?ih)

?

BD

0a

0

分析: 关键点是将垂直于x轴的割痕的两侧跟x轴
之间的夹角展平. 可利 映w 用 射 ?z2
课件
12

解 如图所示:

(z)

(z1 )

C(a.?ih) z1?z?a

C. ih

BD 0a
( z3 )

BD 0
z2 ? z12 ( z2 )

. .

CD 0 Bh2

z3?z2?h2 ? h2 D C 0B

课件
13

解 如图所示: w?(z?a)2?h2?a

(z)

(w)

. .
. . . .

C(a.?ih) BD
0a

( z3 )
CD 0 Bh2

z4 ? z3

BC D 0 a?h a?h
w?z4?a
(z4 )
BC D ?h 0 ?h

课件
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二、指数函数 w?ez

因为 w ??(ez)??ez ?0, 所以w由 ?ez所构成的映射是 平一 面个 上全 的共形映 . 射
? 设 z? x ? i,y w ?e i?,那?末 ?ex,??y,

z平面

w?ez w平面 z?lnw

课件
15

1)

(z) 直线 x?常数

(w)
圆周 ??常数

0

0

2) (z) 直线 y?常数
0
课件

(w)
射线 ??常数
0
16

3 )带形 0?Im 域 z)?a ( (0?a?2?) ai ( z )

角形 0?a域 r w ? ga (w)

?

0

0

特殊地:

(z)

(w)

2?i

0 0

课件
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映射特点: 把水平的 0?I带 m z)? (形 a映域 射成 角形 0?a域 r w ? g a.

如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.

例4 求把带 0?I形 m z)? (域 π映射成单

w?1 的 一 个 映 射 . 解 0?Im z)?(?

w

?e ?e

z z

? ?

i i

w ?1

? ? ez

w?? ?i

上半I平 m ?)面 (?0

? ?i

课件
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例5 求把带a形 ?R域 ez)(?b映射成上
Imw()?0的一个映. 射



(z)

(w)

?i (z?a)
w? e? b?a

0a b

0

(? )

?i

? ? πi (z?a)

b?a

0

w?e?

课件
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三、小结与思考
本课我们学习了幂函数、指数函数的映射特 点, 将分式线性映射与初等函数相结合, 求一些 边界由圆周、圆弧、直线、直线段所围区域的 共形映射问题是本章的难点.
课件
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思考题
1.求把带形 a?I域 mz()?b映射成上半 Imw()?0的一个.映射
2.求把带形 a?I域 mz()?b映射成下半 Imw()?0的一个.映射 3.求把带形 a?I域 mz()?b映射成左半 R(ew)?0的一个.映射
课件
21

4.求把带形 a?域 Rez()?b映射成 带形c域 ?Imz()?d的一个映 . 射

课件

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22


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