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2017_2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1-3平均值不等式一训练北师大版选修4_5

2017_2018学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1-3平均值不等式一训练北师大版选修4_5

邴原少孤 ,数岁 时,过 书舍而 泣。师 曰:“ 童子何 泣?” 原曰: “孤者 易伤, 贫者易 感。夫 书者, 凡得学 者,有 亲也。 一则愿 其不孤 ,二则 羡其得 学,中 心伤感 ,故泣 耳。” 师恻然 曰:“ 欲书可 耳!” 原曰: “无钱 资。” 师曰: “童子 苟有志, 吾徒相 教,不 求资也 。”于 是遂就 书。 一冬之间 ,诵《 孝经》 《论语》 。 1.3 平均值不等式(一) 一、选择题 1.若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( A.6+2 3 C.6+4 3 ) B.7+2 3 D.7+4 3 解析 先判断 a,b 的符号,再将已知的式子转化为关于 a,b 的方程,最后根据基本不等 式求解. ? ab>0, ? ?a>0, 由题意得?ab≥0, 所以? ?b>0. ?3a+4b>0, ? 又 log4(3a+4b)=log2 ab,所以 log4(3a+4b)=log4ab, 4 3 所以 3a+4b=ab,故 + =1. a b 3a 4 b ?4 3? 所以 a+b=(a+b)? + ?=7+ + ≥7+2 ?a b? b a 3a 4b · =7+4 3, b a 3a 4b 当且仅当 = 时取等号,故选 D. b a 答案 D 2.要制作一个容积为 4 m ,高为 1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是( A.80 元 C.160 元 B.120 元 D.240 元 ) 3 解析 设底面矩形的一条边长是 xm,总造价是 y 元,把 y 与 x 的函数关系式表示出来, 再利用均值(基本)不等式求最小值. 由题意知,体积 V=4 m ,高 h=1 m,所以底面积 S=4 m ,设底面矩形的一条边长是 xm, 8? 4 ? 则另一条边长是 m, 又设总造价是 y 元, 则 y=20×4+10×?2x+ ?≥80+20 3 2 x ? x? 8 2x· = x 8 160,当且仅当 2x= ,即 x=2 时取得等号. x 答案 C 3.函数 y=log2?x+ A.-3 C.4 解析 x>1,x-1>0, ? ? 1 x-1 +5? ?(x>1)的最小值为( ? ) B.3 D.-4 邴原少孤 ,数岁 时,过 书舍而 泣。师 曰:“ 童子何 泣?” 原曰: “孤者 易伤, 贫者易 感。夫 书者, 凡得学 者,有 亲也。 一则愿 其不孤 ,二则 羡其得 学,中 心伤感 ,故泣 耳。” 师恻然 曰:“ 欲书可 耳!” 原曰: “无钱 资。” 师曰: “童子 苟有志, 吾徒相 教,不 求资也 。”于 是遂就 书。 一冬之间 ,诵《 孝经》 《论语》 。 +5?=log2?x-1+ +6 y=log2?x+ x-1 ? ? x-1 ? ? ? ≥log2(2+6)=log28=3. 答案 B 4.若 a,b,c>0 且 a(a+b+c)+bc=4-2 A. C.2 3-1 3+2 3 3. 3,则 2a+b+c 的最小值为( B. 3+1 D.2 3-2 ) ? 1 ? ? 1 ? 解析 a(a+b+c)+bc=4-2 ? a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-2 而 2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 =2 4-2 3=2 3-2. (a+b)(a+c) 当且仅当 a+b=a+c,即 b=c 时等号成立. 答案 D 5.若不等式 x +2x+a≥-y -2y 对任意实数 x、y 都成立,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 C.a≥2 2 2 2 2 ) B.a≥1 D.a≥3 解析 x +2x+a≥-y -2y,对任意实数 x、y 都成立, 则 a≥-y -2y-x -2x=2-(x+1) -(y+1) 恒成立,而 2-(x+1) -(y+1) ≤2,∴a ≥2. 答案 C 6.在下列函数中,最小值是 2 的是( ) 2 2 2 2 2 2 x 5 A.y= + (x∈R 且 x≠0) 5 x 1 B.y=lg x+ (1<x<10) lg x C.y=3 +3 (x∈R) D.y=sin x+ π 1 ? 0<x< ? ? ? 2? sin x? x -x x 5 1 解析 A 中的函数式, 与 都不一定是正数,故可排除 A;B 中的函数式,lg x 与 都 5 x lg x 1 是正数且乘积为定值,运用基本不等式取等号的条件是 lg x= ,即 x=10 与 1<x<10 lg x 1 1 x -x x 矛盾,故排除 B;C 中 3 >0,3 = x>0,∴运用基本不等式取等号的条件是 3 = x,而 x 3 3 π 1 1 =0 成立,故选 C.D 中,∵0<x< ,∴sin x∈(0,1),而 >1,sin x≠ . 2 sin x sin x 邴原少孤 ,数岁 时,过 书舍而 泣。师 曰:“ 童子何 泣?” 原曰: “孤者 易伤, 贫者易 感。夫 书者, 凡得学 者,有 亲也。 一则愿 其不孤 ,二则 羡其得 学,中 心伤感 ,故泣 耳。” 师恻然 曰:“ 欲书可 耳!” 原曰: “无钱 资。” 师曰: “童子 苟有志, 吾徒相 教,不 求资也 。”于 是遂就 书。 一冬之间 ,诵《 孝经》 《论语》 。 答案 C 2ab 7.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 的最大值为( |a|+2|b| A. C. 2 5 15 5 5 2 2 ) B. D. 2 4 2 2 解析 由题意得 a =(1+2b)(1-2b)=1-4b . 即 a +4b =1. 1 1 2 2 2 2 ∵a +4b ≥2 4a b ,得|ab|≤ 且 ≥4, 4 |ab| 2ab ∴ = |a|+2|b| = 4 1 + 4 4a b = a2+4

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