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2018届高三数学一轮复习: 热点探究训练5 平面解析几何中的高考热点问题

2018届高三数学一轮复习: 热点探究训练5 平面解析几何中的高考热点问题

热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题 x2 y2 1.设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一 点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. b2 ? b? a 3 (1)根据 c= a2-b2及题设知 M?c, a ?,2c=4,2b2=3ac.2 分 ? ? 2 [解] 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得a=2,a=-2(舍去). 1 故 C 的离心率为2.5 分 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 a =4,即 b2=4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.8 分 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ?x1=- c, ?2?-c-x1?=c, 2 ? 即? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 9c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1.② 将①及 c= a2-b2代入②得 9?a2-4a? 1 4a2 +4a=1. 10 分 解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7.12 分 1 x2 y2 2.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为 A,且|AF| =1. 图5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线 x=4 交 → → 于点 Q,问:是否存在一个定点 M(t,0),使得MP· MQ=0.若存在,求出点 M 的 坐标;若不存在,说明理由. 【导学号:01772351】 [解] (1)由 c=1,a-c=1,得 a=2,∴b= 3, x2 y2 故椭圆 C 的标准方程为 4 + 3 =1.5 分 ?y=kx+m, (2)由? 2 2 ?3x +4y =12, 消去 y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ∴Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0, 即 m2=3+4k2.8 分 4km 4k 设 P(xP,yP),则 xP=- 2=- , m 3+4k 4k2 3 ? 4k 3 ? yP=kxP+m=- m +m=m,即 P?- m ,m?. ? ? ∵M(t,0),Q(4,4k+m), 3? → → ? 4k ∴MP=?- m -t,m?,MQ=(4-t,4k+m),10 分 ? ? 3 4k → → ? 4k ? ∴MP· MQ=?- m -t?· (4-t)+m· (4k+m)=t2-4t+3+ m (t-1)=0 恒成立, ? ? ?t-1=0, 故? 2 即 t=1. ?t -4t+3=0, 2 ∴存在点 M(1,0)符合题意.12 分 3.如图 6,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点). 图6 (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1)中的 定直线相交于点 N2,证明:|MN2|2-|MN1|2 为定值,并求此定值. 【导学号:01772352】 [解] (1)证明:依题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x2=4y,得 x2=4(kx +2),即 x2-4kx-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8. y1 直线 AO 的方程为 y=x x;BD 的方程为 x=x2.2 分 1 x=x2, ? ? 解得交点 D 的坐标为? y1x2 y= x , ? ? 1 注意到 x1x2=-8 及 x2 1=4y1, y1x1x2 -8y1 则有 y= x2 = 4y =-2. 1 1 因此 D 点在定直线 y=-2 上(x≠0).5 分 (2)依题设, 切线 l 的斜率存在且不等于 0, 设切线 l 的方程为 y=ax+b(a≠0), 代入 x2=4y 得 x2=4(ax+b), 即 x2-4ax-4b=0.8 分 由 Δ=0 得(4a)2+16b=0,化简整理得 b=-a2. 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2. ?2 ? ? 2 ? 分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为 N1?a+a,2?,N2?-a+a,-2?, ? ? ? ? 3 10 分 ?2 ? ?2 ? 则|MN2|2-|MN1|2=?a-a?2+42-?a+a?2=8, ? ? ? ? 即|MN2|2-|MN1|2 为定值 8.12 分 x2 y2 4.(2016· 重庆模拟)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 y2 =-4x 的焦点相同,且椭圆 C 上一点与椭圆 C 的左、右焦点 F1,F2 构成的三角 形的周长为 2 2+2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k,m∈R)与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点, 5 → → △AOB 的重心 G 满足:F1G· F2G=-9,求实数 m 的取值范围. 【导学号:01772353】 [解] ?c=1, (1)依题意得?2a+2c=2 2+2, ?a2=b2+c2, 2 ?a =2, 即? 2 ?b =1, x2 ∴椭圆 C 的方程为 2 +y2=1.4 分 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). ?y=kx+m, 联立得方程组? 2 消去 y 并整理,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2 2 ?x +2y -2=0, -2=0,则 ? ?x +x

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