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最新完美版 华约自主招生数学试题

最新完美版 华约自主招生数学试题

2017-11 2015 年华约自主招生数学试题 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 5 1. 设复数 z 满足 z ? 1 且 z ? ? ,则 z ? ( ) z 2 A、 4 5 B、 3 4 C、 2 3 D、 1 2 2. 在正四棱锥 P-ABCD 中,M,N 分别为 PA,PB 的中点,且侧面与地面所成二面角的正切值为 2 .则 异面直线 DM 与 AN 所成交角的余弦值为( A、 ) C、 1 3 B、 1 6 1 8 D、 1 12 3. 过点 ? ?1,1? 的直线 l 与曲线 y ? x3 ? x2 ? 2x ? 1 相切,且 ? ?1,1? 不是切点,则直线 l 的斜率是( A、2 若 A? B ? A、 1 ? B 、1 C、 ?1 ) 1 2 D、 ,1 ? 2 2 ) D、 ?2 4. 2? ,则 cos2 A ? cos 2 B 的最小值和最大值分别为( 3 1 3 B、 , 2 2 C、 1 ? 3 3 ,1 ? 2 2 3 3 , 2 2 5. 如图,⊙ O1 和⊙ O2 外切于点 C,⊙ O1 ,⊙ O2 又都和⊙O 内切, 切点分别为 A,B. ?AOB ? ? , ?ACB ? ? ,则( A、 cos ? ? sin B、 sin ? ? cos ) A C O1 O O2 B ? 2 ?0 ?0 ? 2 C、 sin 2? ? sin ? ? 0 D、 sin 2? ? sin ? ? 0 6. 已知异面直线 a , b 所成 60 ° 角,A 为空间中一点,则过 A 与 a , b 都 成 45 ° 角的平面( ) A、有且只有一个 B、有且只有两个 C、有且只有三个 D、有且只有四个 7. ? ? 3 1? 3 1? 2 2 2 已知向量 a ? ? 0,1? , b ? ? , ? , ? c ? ? ? ? 2 ? ? 2 ,? 2 ? ? , xa ? yb ? zc ? ?1,1? .则 x ? y ? z 的最小值为 2 ? ? ? ? ( A、1 ) B、 4 3 C、 3 2 D、2 8. AB 为过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且 ?OFA ? 135° ,C 为抛物线准线与 x 轴的交点, 1 2017-11 则 ?ACB 的正切值为( A、 2 2 ) 4 2 5 B、 C、 4 2 3 D、 2 2 3 9. 如图,已知 △ ABC 的面积为 2, D,E 分别为边 AB, 边 AC 上的点, A D F E AD AE DF ? x, ? y, ? z ,且 y ? z ? x ? 1 , AB AC DE 则 △ BDF 面积的最大值为( ) F 为线段 DE 上一点,设 A、 C、 8 27 14 27 B、 D、 10 27 16 27 B C 10. 将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,这些对角线在正 11 边形内两两不相交,则( A、存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B、存在某种分法,所分出的三角形恰有 2 个是锐角三角形 C、存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D、任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 11. (本小题满分 14 分) 已知 △ ABC 不是直角三角形. (Ⅰ)证明: tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ; (Ⅱ)若 3 tan C ?1 ? ) tan B ? tan C A?C ,且 sin 2 A,sin 2 B,sin 2C 的倒数成等差数列,求 cos 的值. tan A 2 12. (本小题满分 14 分) 已知圆柱形水杯质量为 a 克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且水杯直立放 置) .质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处. (Ⅰ)若 b ? 2a ,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (Ⅱ)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么? 13. (本小题满分 14 分) 2x 已知函数 f ( x) ? , f (1) ? 1 , ax ? b (Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式; (Ⅱ)证明: x1 x2 … xn ? 1 ?1? 2 f ? ? ? ,令 x1 ? , xn ?1 ? f ( xn ) . 2 ?2? 3 1 . 2e 14. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C : x2 y 2 , F1 , F2 分别为 C 的左、右焦点,P 为 C 右支上一点,且使 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2 ,又 △F1PF2 的面积为 3 3a 2 . 3 (Ⅰ)求 C 的离心率 e; ?F1PF2 ? ? 2 2017-11 (Ⅱ)设 A 为 C 的左顶点,Q 为第一象限内 C 上的任意一点,问是否存在常数 ? (? ? 0) ,使得 ?QF2 A ? ??QAF2 恒成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 15. (本小题满分 14 分) 将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率. (Ⅰ)求 p1 , p2 , p3 和 p4 ; (Ⅱ)探究数列 { pn } 的递推公式,并给出证明; (Ⅲ)讨论数列 { pn } 的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义. 3

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