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aaa全称量词与存在量词课件

aaa全称量词与存在量词课件


全称量词与存在量词

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与 (4)之间有什么关系? (3)(4) 不是 (1)x>3 全称命题 (2)2x+1是整数 不是 (3)对所有的x?R,x>3 是 (4)对任意一个x ?Z,2x+1是整数 是

关系: (3)在(1)的基础上,用量词“所有的”对变
量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定. 全称量词

一、全称命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通 常叫作全称量词,并用符号“ ? ”表示.
含有全称量词的命题,叫全称命题。 基本形式为: ?x ? M , p( x)

读作:对任意x属于M,有p(x)成立.
例如:命题(1)对任意的n? Z,2n+1是奇数;

(2)所有的正方形都是矩形
都是全称命题。

常见的全称量词:“所有的”、“每一 个”、“任何”、“任意一个”、“一切”、 “任给”.
注意:有的时候,全称量词有时可以省略. 如: ①末位数字是偶数的整数能被 2 整除.

②正方形是矩形.
③球面是曲面.

例1.用量词“ ? ”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式; ?x R,x能写成小数形式

(2)凸多边形的外角和等于2 π ?x {x|x是凸n边形},x的外角和等于2 ?

?

?

(3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数 (-1)= -x ?x? R,x· (4)对任意实数x,都有x3>x2
?

x ? R,x3>x2

(5)对任意角 ? ,都有sin2 ? +cos2 ? =1 sin2 ? +cos2 ? =1 ? ? ?{角},

例2.设集合S={四边形},P(x):内角和为3600 . 试用不同表述写出全称命题“ ? X ?S,P(x) ”

解:对所有的四边形x,x的内角和为360o
对一切四边形x,x的内角和为360o
每一个四边形x的内角和为360o 任一个四边形x的内角和为360o 凡是四边形x,它的内角和为360o

全称量词与全称命题 例3.判断下列命题的真假 (1)所有的素数都是奇数 (2)?x∈R,x2+1≥0 (3)对每一个无理数x,x2也是无理数

解:(1)假命题;(2)真命题;(3)假命题

小 结:
判断全称命题是真命题的方法

反例否定

——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立 判断全称命题“?x∈M, p(x) ”是假命题的方法 ——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 不成立即可(举反例)

课本 23页 练习 1

下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4) 之间有什么关系? 存在量词 (1)2x+1=3 不是 (3)(4) (2)x能被2和3整除; 不是 特称命题 (3)存在一个x∈R,使2x+1=3; 是 (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 是 关系:(3)在(1)的基础上,用短语“存在一 个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成 了可以判断真假的语句; (4)在(2)的基础上,用“至少有一个” 对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了 可以判断真假的语句.

二.特称命题
1. 存在量词及表示: 定义: 短语“存在一个”、“至少有一个”、 “有些”、“有一个”、“对某个”、 “有的”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示:用符号“ ?”表示, 2.特称命题及表示: 定义: 含有存在量词的命题,叫做特称命题. 表示: 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 可用符号简记为 ? x∈M,p(x). 读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.

例如:命题(1)有的平行四边形是菱形; (2)有一个素数不是奇数 都是特称命题. 例4 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写 出特称命题“ ? x∈R,q(x)” 解: 存在实数x,使x2=x成立 至少有一个x∈R,使x2=x成立 对有些实数x,使x2=x成立 有一个x∈R,使x2=x成立 对某个x∈R,使x2=x成立

例5 判断下列特称命题的真假 (1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0 ; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数.
解:(1)假命题; (2)假命题; (3)真命题。

小 结:
判断特称命题是真命题的方法

特例肯 定

——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 成 立即可 (举例说明). 判断特称命题是假命题的方法

——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.

课本 23页 练习 2

练:下列语句是不是全称或特称命题
(1) 有一个实数a,a不能取对数 特称命题 (2) 所有不等式的解集A,都是A含于R 全称命题 (3) 三角函数都是周期函数吗? 不是命题 (4) 有的向量方向不定 特称命题

巩固练习
1.指出下列命题是全称命题还是特称命题并判断它们
的真假. (1)所有的抛物线与x轴都有两个交点; (2)存在函数既是奇函数又是偶函数; (3)每个矩形的对角线都相等; 全称,假 特称,真

全称,真

(4)至少有一个锐角?,可使sin?=0; 特称,假 2. 试用文字语言的形式表达下列命题,并判断 真假 特称,真 (1)?x ? R, x 2 ? x ?x ? R, x 2 ? x 全称,假 (2) 2 全称,假 ? (3) x ?{x / x是无理数}, x 是无理数 特称,真 (4) x0 ?{x / x是无理数}, x 2是无理数 ?

三.含有量词的命题的应用 2 例 3 已知函数 f(x)=x -2x+5. (1)是否存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈ R 恒成立,并说明理由. (2)若至少存在一个实数 x0,使不等式 m-f(x0)>0 成立, 求实数 m 的取值范围.
[分析] 有关一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成 立的问题,一是转化为二次函数的图象运用数形结合求 解,二是分离参数法求解.前者主要运用Δ=b2-4ac的 符号,转化为不等式或不等式组,后者常常转化为求函 数的最大(小)值.

[解] 解法一:(1)不等式 m+f(x)>0 可化为 m>-f(x), 即 m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 2 要使 m>-(x-1) -4 对于任意 x∈R 恒成立,只需 m> -4 即可. 故存在实数 m 使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成 立,此时需 m>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0,可化为m>f(x0),若 至少存在一个实数x0使不等式m>f(x0)成立, 只需m>f(x)min. 又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4,∴m>4. 所以所求实数m的取值范围是(4,+∞).

解法二:(1)要使不等式 m+f(x)>0 对?x∈R 恒成立, 即 x2-2x+5+m>0 对?x∈R 恒成立, 2 ∴Δ=(-2) -4(5+m)<0,解得 m>-4, ∴当 m>-4 时,m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立. (2)若至少存在一个实数 x0, m-f(x0)>0 成立, x2- 使 即 0 2x0+5-m<0 成立. 只需 Δ=(-2)2-4(5-m)>0 即可,解得 m>4. 所以实数 m 的取值范围是(4,+∞).

自我检测:
下列说法正确吗? 对 ?x ? M , p( x) ? ?x ? M , p( x), 反之则不

成立.

正确

想一想?

写出下列命题的否定 1)所有的矩形都是平行四边形; ?x ? M,p(x)

2)每一个素数都是奇数; 2 3)?x ? R, x ? 2x ? 1 ? 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数;

?x ? M,p(x) ?x ? M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形;?x ? M,?p(x)

?x ? M,?p(x)
?x ? M,?p(x)

3)?x ? R, x ? 2x ?1 ? 0
2

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

含有一个全称量词命题的否定,有下面的结论 命题

p : ?x ? M,p(x)

它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)

例1 写出下列全称命题的否定: (1)p:所有能被3整除的整数都是奇数 (2)p:每一个四边形的四个顶点共圆 (3)p:?x∈Z,x2的个位数字不等于3.

(1)﹁p:存在一个能被3整除的整数不 是奇数; (2)﹁p:存在一个四边形,其四个顶 点不共圆; (3)﹁p: ?x0∈Z,x02的个位数字等于3.

练:你能写出下列命题的否定吗? (1)本教室内所有学生都是男生; (2)所有的平行四边形都是矩形; (3)每一个素数都是奇数; (4) ?x∈R,x2-2x+1≥0. (1)本教室内至少有一名学生不是男生 (2)有的平行四边形不是矩形 (3)存在一个素数不是奇数 (4) ? x0∈R,x02-2x0+1<0.

想一想?

写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数;

?x ? M,p(x)

2)某些平行四边形是菱形; 3)?x ? R, x2 ? 1 ? 0
否定:
1)所有实数的绝对值都不是正数;

?x ? M,p(x)
?x ? M,p(x)

?x ? M,?p(x)

2)每一个平行四边形都不是菱形;
3) ?x ? R, x2 ? 1 ? 0

?x ? M,?p(x)
?x ? M,?p(x)

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?

含有一个存在量词命题的否定,有下面的结论

p : ?x ? M,p(x) 它的否定 ?p : ?x ? M,?p(x)
命题

例2 写出下列特称命题的否定: (1)p: ? x0∈R,x02+2x0+2≤0; (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:有一个素数含有三个正因数.
(1)﹁p:? x∈R,x2+2x+2>0;
(2)﹁p:所有的三角形都不是等边三角形
(3)﹁p:每一个素数都不含三个正因数.

练:1.写出下列命题的否定,并判断 其真假: (1)p:任意两个等边三角形都相似 (2)p: ? x0∈R,x02+2x0+2=0;
(1)﹁p:存在两个等边三角形,它们 不相似; 假命题

(2)﹁p:? x∈R,x2+2x+2≠0; 真命题

(3)p: ? a∈R,直线(2a+3)x-(3a- 4)y+a-7=0经过某定点; (4)p: ? k∈R,原点到直线kx+2y -1=0的距离为1. (3)﹁p: ? 0∈R,直线(2a0+3)x- a (3a0-4)y+a0-7=0不经过该定点; 假命题 ? (4)﹁p:? k∈R,原点到直线kx+2y -1=0的距离不为1. 真命题

熟能生巧

2.“至多有三个”的否定为(
A.至少有三个 C.有三个

B



B.至少有四个 D.有四个

熟能生巧

3.三个数a,b,c不全为0的否定是(
A.a,b,c都不是0 B.a,b,c至多一个是0

D)

C.a,b,c至少有一个为0
D.a,b,c都为0

正面 等于 词语

大于(>) 小于 (<)



都是

P或q

否定 不等于 不大于 不小 不 (《) 于 是 (》) 正面 至多有 至少有 任意 词语 一个 一个 的 否定 至少有 一个也 某个 两个 没有 所 有 的 某 些

不都 是 至多 有n个 到少 有 n+1 个

非p 且非 q P且q
任意 两个

非P 或非 某两 Q 个

同一全称命题、特称命题,由于自然语言的不 同,可能有不同的表述方法:
命题 全称命题 ?x ? M , p( x) ①所有的x∈M,p(x)成立 ②对一切x∈M,p(x)成立 ③对每一个x∈M,p(x)成 立 ④任选一个x∈M,p(x)成 立 ⑤凡x∈M,都有p(x)成立 特称命题 ?x ? M , p( x) 0 ①存在x0∈M,使p(x)成立 ②至少有一个x0∈M,使 p(x)成立 ③对有些x0∈M,使p(x)成 立 ④对某个x0∈M,使p(x)成 立 ⑤有一个x0∈M,使p(x)成 立

表 述 方 法


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