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2013年全上海各区数学一模

2013年全上海各区数学一模


2013 学年普陀区九年级期终调研数学试卷
(测试时间:100 分钟,满分:150 分)
考生注意: 1.本试卷含三个 大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草 稿纸、本试卷上答 题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主 要步骤. 3.本次测试可使用科学计算器. 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.用放大镜将图形放大,应该属于( ) C .对称变换; A .平移变换; B .相似变换; D .旋转变换. 2.在比例尺是 1:38000 的黄浦江交通游览图上,某隧道长约 7 cm ,它的实际长度约为( ) C .26.6 km ; A .0.266 km ; B .2.66 km ; D .266 km . 3.在△ ABC 中, tanA ? 1, cotB ? 3 ,那么△ ABC 是( )

A .钝角三角形;

B .直角三角形;

C .锐角三角形 ;


D .等腰三角形.

4.二次函数 y ? ax 2 ? 2 x ? 3 ? a ? 0 ? 的图像一定不经过(

A .第一象限;

B .第二象限;

C .第三象限;

D .第四象限.

5.下列 命题中,正确的是( ) A .如果一条直线截三角形两边的延 长线所得的对应线段成比例,那么这条直线一定平行于三 角形的第三边; B .不同向量的单位向量的长度都相等,方向也都相同; C .相似三角形的中线的比等于相似比; D .一般来说,一条线段的黄金分割点有两个. 6.在 Rt △ ABC 中, ?A ? 90°, AC ? a , ?ACB ? ? ,那么下面各式正确的是( ) A . AB ? a ? sin? ; B . AB ? a ? cos? ; C . AB ? a ? tan? ; D . AB ? a ? cot? . 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 1 7.如图,直线 AD ∥ BE ∥ CF , BC ? AC , DE ? 4 ,那么 EF 的值是 3 8.在一个陡坡上前进 5 米,水平高度升高了 3 米,则坡度 i ? 9.抛物线 y ? x 2 ? 1 关于 x 轴对称的抛物线的解析式是 . .
C

A

D


B E F

10 .请写出一个以直线 x ? ?2 为对称轴,且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式可以 是 . ??? ? ? ??? ? ? ??? ? 11.如果 E 、 F 是△ ABC 的边 AB 和 AC 的中点, AB ? a , AC ? b ,那么 EF ? . 12.如图,在边长为 1 的 正方形网格中有点 P 、 A 、 B 、 C ,则图中所形成的三角形中,相似的三 角形是 A . 13.若 ? 为一锐角,且 cos? ? sin 60°,则 ? ? .
P B C

14.已知 ? 为一锐角,化简:

? sin? ? 1?

2

? sin? ?



[来源:学科网 ZXXK]

15.如果直角三角形的斜边长为 12,那么它的重心与外心之间的距离为



16.已知二次函数的顶点坐标为 ? ?2,3? ,并且经过平移后能与抛物线 y ? ?2 x 2 重合,那么这个二次 函数的解析式是 . 17.若一个三角形的边长均满足方程 x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,则此三角形的周长为 . 18.已知梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AB ? 15 , CD ? 13 , AD ? 8 , ?B 是锐角, ?B 的正弦值为 4 ,那么 BC 的长为 . 5 三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.(本题满分 10 分) 计算:

sin60? ? 3tan30? ? cos 60? . ?1 ? 2cot 45? ? ? cot 30?

20.(本题满分 10 分) 已知:如图,△ ABC 中,点 D 是 AC 边上的一点,且 AD : DC ? 2:1.

A

? ? ? ? 3 ?? ??? ? ? ??? ? ? (1)设 BA ? a , BC ? b ,先化简,再求作: ?2a ? b ? ? ?3a ? b ? ; 2 ? ?

?

?

D B C

? ? ??? ? (2)用 xa ? yb ( x 、 y 为实数)的形式表示 BD .

[来源:Z_xx_k.Com]

21.(本题满分 10 分) 如图, 在△ ABC 中, 点 P 是△ ABC 内一点, 且 ?APB ? ?APC ? 135? . ?ACB ? 90? ,AC ? BC , A (1)求证:△ CPA ∽△ APB ; (2)试求 tan?PCB 的值.
P C B

22.(本题满分 10 分) 如图,浦西对岸的高楼 AB ,在 C 处测得楼顶 A 的仰角为 30°,向高楼前进 100 米到达 D 处, A 在 D 处测得 A 的仰角为 45°,求高楼 AB 的高.

C

D

B

23.(本题满分 12 分,其中第(1)小题 3 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 4 分) 如图, 已知 CD 是△ ABC 中 ?ACB 的角平分线, 且 CD2 ? BC ? CE , AD ? 6 , E 是 AC 上的一点, A . AE ? 4 E (1)求证:△ BCD ∽△ DCE ; (2)求证:△ ADE ∽△ ACD ; D (3)求 CE 的长.
[来源:学科网 ZXXK]

B

C

24.(本题满分 12 分,其中第(1)小题 3 分,第(2)小题 9 分)

3? 2 ? 如图,抛物线 y ? ax 2 ? 2ax ? b 经过点 C ? 0, ? ? ,且与 x 轴交于点 A 、点 B ,若 tan ? ACO ? . 2? 3 ?
(1)求此抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为 M ,点 P 是线段 OB 上一动点(不与点 B 重合), ?MPQ ? 45? ,射线 PQ 与线段 BM 交于点 Q ,当△ MPQ 为等腰三角形时,求点 P 的坐标.
y

P A O Q C M B

x

25.(本题满分 14 分,其中第(1 )小题 5 分,第(2)小题 7 分,第(3)小题 2 分) 如图,在正方形 ABCD 中, AB ? 2 ,点 P 是边 BC 上的任意一点, E 是 BC 延长线上一点,联 结 AP ,作 PF ? AP 交 ?DCE 的平分线 CF 上一点 F ,联结 AF 交边 CD 于点 G . (1)求证: AP ? PF ; (2) 设点 P 到点 B 的距离为 x , 线段 DG 的长为 y , 试求 y 关于 x 的函数关系式, 并写出自变量 x 的 取值范围; (3)当点 P 是线段 BC 延长线上一动点,那么(2)式中 y 与 x 的函数关系式保持不变吗?如改变,
[来源:学科网 ZXXK]

试直接写出函数关系式.

A

D G F

B

P

C

E

参考答案 一、选择题: ⑴ B ⑵ B ⑶ A

⑷ A ⑸ D ( A 正确的是:如果果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边 B 正确的是:不同向量的单位向量的长度不一定相等,方向也不一定相同 C 正确的是:相似三角形的对应中线的比等于相似比)

⑹ C

[来源:Z,xx,k.Com]

二、填空题 ⑺ 2

5
⑻ i = 1:
4 3

3 4

3 4 i= =1: 4 3

⑼ y = - x2 +1 (由于关于 x 轴对称,则 x 不变, y 变为 - y 代入) ⑽ y = - ( x + 2) 等 (满足①直线 x ? ?2 为对称轴 ②开口向下即可) ⑾
1? 1? b- a 2 2
2

⑿ △PBA ∽△PAC ⒀ 30? ( cos? = sin 60? ? ? ⒁
30? )

1(

? sin? ? 1?

2

? sin? ? 1 ? sin ? ? sin ? ? 1 )

⒂ 2 ⒃ y = - 2 ( x + 2) + 3 (平移重合与 y = - 2 x 2 重合,说明 a 是相同的,根据顶点式即可) ⒄ 6 或 10 或 12 (若一个三角形的边长均满足,①2,2,2, ②4,4,4 ③4,4,2) ⒅ 22 或 12 ( ?C 是锐角或是钝角,需要分类讨论)
2

三、解答题 19、

sin60? ? 3tan30? ? cos 60? ?1 ? 2cot 45? ? ? cot 30?

3 3 1 ? 3? ? 2 3 2 ? ?1 ? 2 ? 1?? 3 3 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ?1

20、⑴

3 ? 3 1 ? ?2a ? b ? ? ? ? ?3a ? b ? ? ?2a ? b ? 3a ? b ? a ? b 2 ? 2 2 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ? ? ? ??? ? 2 ? ? ⑵ CA = b - a ? DA b- a 3

(

)

??? ? ??? ? ??? ? ? 2 ? ? ? ? ?2 5? 2 5 BD = BA - DA = a b - a = a - b = a + (- b ) 3 3 3 3 3

(

)

21、解:(1)∵在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , AC ? BC,

?

∴ ?BAC ? 45 ? ,即 ?PAC ? ?PAB ? 45 ? ,-------- ---(1 分) 又在 ?APB 中, ?APB ? 135 ? , ∴ ?PBA ? ?PAB ? 45 ? ,------------ --------------(1 分) ∴ ?PAC ? ?PBA ,------ -------------------------(1 分) 又 ?APB ? ?APC ,--------------------------------(1 分) ∴ ?CPA ∽ ?APB .---------------------------------(2 分) (2)∵ ?ABC 是等腰直角三角形, ,-------------(1 分)又∵ ?CPA ∽ ?APB , 2 PA CA 1 ,-------------------------(2 分) ? ? PB AB 2 令 CP ? k ,则 PA ? 2k , PB ? 2k ,------------------(1 分) 又在 ?BCP 中, ?BPC ? 360 ? ? ?APC ? ?BPC ? 90 ? ,(1 分) PB ∴ tan ?PCB ? ? 2 .-------------- --------------( 1 分) PC ∴ 22、

CA ? AB CP ∴ ? PA

1

23、

24、

25、 九年级方法:(三垂直全等+比例线段)

八年级方法:

24、

25、

九年级数学学科期末练习卷(2014 年 1 月)
(考试时间:100 分钟,满分:150 分) 考生注意: 1、本试卷含三个大题,共 25 题; 2、答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试 卷上答题一律无 效; 3、除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置 上写出证明或计算 的主要步骤. 一、 选择题(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的 相应位置上.】 1.对一个图形进行放缩时,下列说法中正确的是???????????????( ▲ ) A.图形中线段的长度与角的大小都会改变; B.图形中线段的长度与角的大小都保持不变; C.图形中线段的长度保持不变、角的大小可以 改变; D.图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变. 2.已知点 C 是线段 AB 上的一个点,且满足 AC ? BC ? AB ,则下列式子成立的是??( ▲ )
2

A.

AC 5 ?1 AC 5 ?1 ? ? ; B. ; BC 2 AB 2

C.

BC 5 ?1 ? ; AB 2

D.

CB 5 ?1 ? . AC 2

3.下列关于抛物线 y ?

1 2 1 x 和 y ? ? x 2 的关系说法中,正确的是 ????????( ▲ ) 3 3 A.它们的形状相同,开口也相同; B.它们都关于 y 轴对称;
C.它们的顶点不相同; D.点( ?3 , 3 )既在抛物线 y ?

1 2 1 x 上也在 y ? ? x 2 上. 3 3

4.下列关于向量的说法中,不正确 的是 ???????????????????( ▲ ) ... A. 2(a ? b) ? 2a ? 2b ;

? ?
?

?

?

B. 2a ? 2 a ;

?

?

C.若 a ? 2 b ,则 a ? 2b 或 a ? ?2b ; D. m(na ) ? (mn) a . 5.已知 ? 、 ? 都是锐角,如果 sin ? ? cos ? ,那么 ? 与 ? 之间满足的关系是 ??( ▲ ) A. ? ? ? ; B. ? ? ? ? 90 °; C. ? ? ? ? 90 °;D. ? ? ? ? 90 °.

?

?

?

?

?

?

?

6.如图 1,平行四边形 ABCD 中,F 是 CD 上一点,BF 交 AD 的 延长线于 G,则图中的相似三角形对数共有??????( ▲ ) A.8 对; B. 6 对; C.4 对; D.2 对.
B

A E C

D F
图1

G

二、填空题(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.已知 a : b ? 3: 2 ,则 (a ? b) : a ?
A D E

▲ .
C l1

B

8.如图 2,已知 AD∥BE∥CF,它们依次交直线 l1 、 l 2 于 点 A、B、C 和点 D、E、F,如果 DE:EF=3:5,AC=24, 则 BC= ▲ .

F l2

图2

9.在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中,∠ C=∠ F=90°,当 AC=3,AB=5,DE=10,EF=8 时, Rt△ABC 和 Rt△DEF 是 ▲ 的.(填“相似”或者“不相似”)

10.如果两个相似三角形的对应边上的高之比是 2:3,则它们的周长比是 ▲ . 11.化简: CD ? AB ? BC ?

??? ? ??? ? ??? ?

▲ .

P

12.如图 3,某人在塔顶的 P 处观测地平面上点 C 处,经测量∠ P=35°, 则他从 P 处观察 C 处的俯角是 ▲ 度. 13.将二次函数 y ? x ? 2 x ? m 的图像向下平移 1 个单位后,它的顶点
2
D C

图3

恰好落在 x 轴上,则 m ?

▲ . .

14.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CD⊥AB 于点 D,若 AD=9,BD=4,则 AC= ▲ 15.一个边长为 3 厘米的正方形,若它的边长增加 x 厘米,面积随之增加

y 平方厘米,则 y 关于 x 的函数解析式是

▲ .(不写定义域)
A D G

16.如图 4,在平行四边形 ABCD 中,AB=12,AD=18, ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E,交 DC 的延长线于点 F,
B E F C

图4

BG⊥AE,垂足为 G,BG= 8 2 ,则△CEF 的周长是 ▲ . 17.如图 5,点 G 是 Rt△AB C 的重心,过点 G 作矩形 GECF, 当 GF:GE=1:2 时,则∠ B 的正切值为 ▲ . 18.如图 6,已知等腰△ABC,AD 是底边 BC 上的 高, AD:DC=1:3,将△ADC 绕着点 D 旋转,得△DEF,
A

A G B F

E C

图5

点 A、C 分别与点 E、F 对应,且 EF 与直线 AB 重合, 设 AC 与 DF 相交于点 O,则 S?AOF : S?DOC = ▲ .
B D C 图6

三、解答题(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.(本题满分 10 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 4 分,第(3)小题满分 2 分) 已知:抛物线 y ? ? x 2 ? b x ? c 经过 A( ?1 ,0)、B(5,0)两点,顶点为 P. 求:(1)求 b,c 的值; (2)求△ABP 的面积; (3)若点 C( x1 , y1 )和点 D( x2 , y2 )在该抛物线上,则当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, 请写出 y1 与 y2 的大小关系.

20.(本题满分 10 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分)

??? ? ? ??? ? ? 已知:如图 7, EF 是△ABC 的中位线,设 AF ? a , BC ? b . ? ??? ? ??? ? ? (1)求向量 EF 、 EA (用向量 a 、 b 表示);
??? ? ??? ? ???? (2)在图中求作向量 EF 在 AB 、 AC 方向上的分向量.

A E F C
图7

B

(不要求写作法,但要指出所作图中表示结 论的向量)

21.(本题满分 10 分) 如图 8,在夕阳西下的傍晚,某人看见高压 电线的铁 塔在阳光的照射下,铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡 上,为了测得铁塔的高度,他测得铁塔底部 B 到小山坡脚 D 的距离为 2 米,铁塔在小山斜坡上的影长 DC 为 3.4 米, N 斜坡的坡度 i ? 1:1.875 ,同时他测得自己的影长 NH﹦336cm, 而他的身长 MN 为 168cm,求铁塔的高度. H B
图8

A C M

D

22.(本题满分 10 分,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 5 分) 已知:如图 9,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 上,联结 AD, 使得 ?CAD ? ?B ,DC=3 且 S?ACD : S?ADB ﹦1﹕2. (1)求 AC 的值; (2)若将△ADC 沿着直线 AD 翻折,使点 C 落点 E 处,
E B F D C A

图9

AE 交边 BC 于点 F,且 AB∥DE,求

S ?EFD 的值. S ?ADC

23.(本题满分 12 分,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 7 分) 小华同学学习了第二十五章《锐角三角比》后,对求三角形 的面积方法进行了研究,得到了新的结论: (1)如图 10,已知锐角△ABC.求证: S?ABC ?

A

1 AB?AC ? sin A ; 2

B

C 图 10

A

(2)根据题(1)得到的信息,请完成下题:如图 11,在等腰 △ABC 中,AB=AC=12 厘米,点 P 从 A 点出发,沿着边 AB 移动, 点 Q 从 C 点出发沿着边 CA 移动,点 Q 的速度是 1 厘米/秒,点 P 的速度是点 Q 速度的 2 倍,若它们同时出发,设移动时间为 t 秒, 问:当 t 为何值时,

B

C

图 11

S?APQ S?ABC

?

3 ? 8

24.(本题满分 12 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分)

4 2 已知:如图 12,抛物线 y ? ? x ? mx ? 4 与 y 轴交于点 C, 5
与 x 轴交于点 A、B,(点 A 在点 B 的左侧)且满足 OC=4OA. 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M: (1)求抛物线的解析式及点 M 的坐标; (2)联接 CM,点 Q 是射线 CM 上的一个动点,当 △QMB 与△COM 相似时,求直线 AQ 的解析式. A C

y

B O
图 12

x

25.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 4 分,第(3)小题满分 4 分) 已知:如图 13,在等腰直角△ ABC 中, AC = BC,斜边 AB 的长为 4,过点 C 作射线 CP//AB, D 为射线 CP 上一点,E 在边 BC 上(不与 B、C 重合),且∠DAE=45° ,AC 与 DE 交于点 O. (1)求证:△ADE∽△ACB; (2)设 CD=x, tan? BAE = y,求 y 关于 x 的函数 解析式,并写出它的定义域;
D P O C E
图 13

A

(3)如果△COD 与△BEA 相似,求 CD 的值.

B

2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三年级数学学科
(满分 150 分,考试时间 100 分钟) 考生注意: 1. 本试卷含 3 个大题,共 25 题; 2. 答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答 题一 律无效; 3. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤。 一、 选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并 填涂在 答题纸的相应位置上】 1. 在比例尺为 1:2000 的地图上测得 A、B 两地间的图上距离为 5cm,则 A、B 两地间 的实际距离为( (A) 10m; 2.
5 13

2014.1

) (B) 25m;
12 13

(C) 100m;
5 12

(D) 10000m. ) (D)
13 5

在△ABC 中,∠C=90°,AB=13,BC=5,则 sinA 的值是( (A) (B) (C) ) (C)

3.

抛物线 y ? (A)

1 2 ? x ? 2 ? ? 3 的顶点坐标是( 2

? 2, 3?

(B)

? 2, ?3?

? ?2,3?

(D)

? ?2, ?3?

4.

已知抛物线 y ? ax 2 ? 3x ? ? a ? 2 ? ,a 是常数且 a<0,下列选项中可能是它大致图像的

是( 5.

) )
? ? ? ? (B) 2 a ? b ? 2a ? 2b

下列命题中是假命题的是( ? ? ? ? ? ? (A) 若 a ? b, b ? c ,则 a ? c .

?

?

? ? ? 1? (C) 若 a ? ? b ,则 a∥b . 2

? ? ? ? (D) 若 a ? b ,则 a ? b

6.

已知△ABC 和△DEF 相似,且△ABC 的三边长为 3、4、5,如果△DEF 的周长为 6, 那么下列不可能是△DEF 一边长的是( (A) 1.5; (B) 2; ) (C) 2.5; (D) 3.

二、 填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 8. 9.
a 3 2a 的值为__________. ? ,则 b 4 a?b ?? ? ?? ? 计算: 2 m ? n ? 3 m ? n =___________.

已知

?

? ?

?

如图,△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,CD 平分∠ ACB,DE∥BC,若 AC=10,AE=4,则 BC=________ .

10. 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 CD 上一点, 联结 AE、BD,且 AE、BD 交于 点 F,若 DE : EC ? 2 : 3 ,则 S? DEF : S? ABF =_________. 11. 如图,已知抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 的对称轴为直线 x=1,点 A,B 均在抛物线上,且
? 3? AB 与 x 轴平行,若点 A 的坐标为 ? 0, ? ,则点 B 的坐 标为 ? 2?
A D E

___________.

[来源 :

D

E F

C

学*科*网]

B
第 9题

C

A
第10题

B

12. 如果抛物线 y ? ? x ? 3? ? 1 经过点 A ?1, y1 ? 和点 B ? 3, y2 ? ,那么 y1 与 y2 的大小关系是
2

y1 ___ y2 (填写“>”或“<”或“=”).

13. 如图,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,且 AD⊥BD,若 CD=1,BC=3,那 么∠A 的正切值为________. 14. 在高位 100 米的楼顶得得地面上某十字路口的俯角为 ,那么娄底到这个十字路口 的水平距离是____________米(用含 的代数式表示).
D C

D

C

A

B

A

P

B

??? ? ? ? ??? ? ? ???? ? 第 13 题 第用 18 a 题 15. △ABC 中,AD 是中线,G 是重心, AB ? a, AD ? b ,那么 BG =_______( 、 b 表示).

16. △ABC 中,AB=A C=5,BC=8,那么 sinB=__________. 17. 将二次函数 y ? 3 x 2 的图像向左平移 2 个 单位再向下平移 4 个单位, 所得函数表 达式 是 y ? 3 ? x ? 2 ? ? 4 ,我们来解释一下其中的原因:不妨设平移前图像上任意一点 P
2

经过平移后得到点 P’,且点 P’的坐标为 ? x, y ? ,那么 P’点反之向右平移 2 个单位, 再向上平移 4 个单位得到点 P ? x ? 2, y ? 4 ? , 由于点 P 是二次函数 y ? 3 x 2 的图像上的 点, 于是把点 P(x+2,y+4)的坐标 代入 y ? 3 x 2 再进行整理就得到 y ? 3 ? x ? 2 ? ? 4 .类似
2

的,我们对函数 y ?

1 的图像进行平移:先向右平移 1 个单位,再向上平移 3 x ? x ? 1?

个单位,所得图像的函数表达式为_____. 18. 如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=9,点 P 在 BC 边上,CP=3,点 Q 为线段 AP 上 的动点, 射线 BQ 与矩形 ABCD 的一边交于点 R, 且 AP=BR, 则 三、 解答题:(本大题共 7 分,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分)
QR =____________. BQ

2sin 2 30?+tan60?? tan30?+sin 2 60? 计算: cos 2 45?+cot60?? cos30?

20. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 如图,点 D、E 分别在△ABC 的边 BA、CA 的延长线上,且 DE∥BC, AE ? F 为 AC 的中点. ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ??? ? (1) 设 BF ? a , AC ? b ,试用 xa ? yb 的形式表示 AB 、 ED ; (x、y 为实数)
1 AC , 2
D

E

A F B C

? ??? ? ??? ? ??? (2) 作出 BF 在 BA 、 BC 上的分向量.

(保留作图痕迹,不写作法,写出结论)

21. (本题满分 10 分) 某商场为了方便顾客使用购物车,将滚动电梯由坡角 30° 的坡面改为坡度为 1:2.4 的 坡面。如图,BD 表示水平面,AD 表示电梯的铅直高度,如果改动后电梯的坡面 AC 长为 13 米,求改动后电梯水平宽度增加部分 BC 的长(结果保留根号).

22. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 已知: 如图, △ABC 中, 点 D、 E 是边 AB 上的点, CD 平分∠ECB, 且B C2? B DB A ? (1) 求证:△CED∽△ACD; (2) 求证:
AB CE . ? BC ED
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

.

C

A

E

D

B

23. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 8 分) 在△ABC 中,D 是 BC 的中点,且 AD=AC,DE⊥BC,与 AB 相交于点 E,EC 与 AD 相交于点 F. (1) 求证:△ABC∽△FCD; (2) 若 DE=3,BC=8,求△FCD 的面积.

A E F

B

D

C

24. (本题满分 12 分,每小题各 6 分) 如图,直线 y ? x ? 3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、C,经过 A、C 两点的抛物线
y ? ax 2 ? bx ? c 与 x 轴的负半轴上另一交点为 B,且 tan

∠CBO=3. (1) 求该抛物线的解析式及抛物线的顶点 D 的坐标; (2) 若点 P 是射线 BD 上一点,且以点 P、A、B 为顶点 的三角形与△ABC 相似,求点 P 的坐标.

25. (本题满分 14 分,其中第(1)小题 3 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 5 分) 如图,△ABC 中,AB=5,BC=11, cos B ?
3 ,点 P 是 BC 边上的一个动点,联结 5

AP,取 AP 的中点 M,将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90° 得到线段 PN,联结 AN, NC. (1) 当点 N 恰好落在 BC 边上时,求 NC 的长; (2) 若点 N 在△ABC 内部(不含边界),设 BP=x,CN=y,求 y 关于 x 的函数关系式, 并求出函数的定义域; (3) 若△PNC 是等腰三角形,求 BP 的长.

[来源:学科网 ZXXK]

2013 年第一学期徐汇区初三数学答案(2014.1)
1、C 7、 2、A 3、B 9、15 4、B 5、D 6、D
? 3? 11、 ? 2, ? ? 2?

6 7
13、

?? ? 8、 5m ? n

10、 4 : 25

12、<

1 3

14、

100 tan ?

2? ? 15、 b ? a 3

16、

3 5

17、 y ?

1 ?3 x ? x ? 1?

18、1 或

4 ? 19 8

1 3 ?1? 4?9 19、原式= 2 1 1 4 ? 2 2

E

D

??? ? ??? ? ??? ? 1 ? ? ??? ? 1 ??? ? 1?? 1 ?? 1 ? 1 ? 20、(1) AB ? AF ? FB ? b ? a ; ED ? BC ? ? a ? b ? ? a ? b 2 2? 2 ? 2 4 2
???? ? ???? (2) 向量 BM 、 BN 为所求分向量。
B

A M F C

N

21、解:∵斜坡 AC 的坡度为 1:2.4 ∴ tan C ?

5 5 ,易知 sin C ? 12 13

[来源:Z§xx§k.Com]

∵AC=13,∴AD=5,CD=12 ∵∠B=30°,∴BD= 5 3 ∴BC= 12 ? 5 3 答句略。 22、(1)证明:∵ BC 2 ? BD ? BA ∴

BA BC ? ∵∠B=∠B ∴△BCD∽△BAC BC BD

∴∠BCD=∠A ∵CD 平分∠ECB ∴∠BCD=∠ECD ∴∠A=∠ECD ∴∠EDC=∠CDA ∴△CED∽△ACD (2)证明:∵△BCD∽△BAC ∴

AB BC ? ∵CD 平分∠ECB BC BD



BC CE AB CE BC S? BCD BD ? ? ∴ ∴ ? ? CE S? CED DE BD DE BC DE

23、(1)证明:∵AD=AC ∴∠ADC=∠ACD ∵DE⊥BC,BD=CD ∴BE=CE ∴∠EBC= ∠ECB ∴△ABC ∽△FCD (2)解:过 A 作 AH⊥BC,垂足 H。 ∵△ABC∽△FCD
S ? BC ? ∴ ? ABC ? ? ? ?4 S? FCD ? CD ?
2

A E F

B

D

H

C

∵BD=CD 且 BC=8, ∴BD=CD=4, ∵AD=AC,AH⊥CD ∴DH=2 ∴

DE BD 2 ? ? AH BH 3
∴ S? FCD ?

1 ∵DE=3 ∴AH=4.5 ∴ S? ABC ? ? 8 ? 4.5 ? 18 2
24、(1)∵直线 y=x+3 与 x 轴、y 轴交于点 A、C ∵ tan ?CBO ? 3 ∴BO=1, B ? ?1, 0 ?

9 2

∴ A ? ?3, 0 ? , C ? 0,3? , CO ? 3

将 A、B、C 三点代入抛物线,可得: y ? x 2 ? 4 x ? 3 ,顶点 D ? ?2, ?1? (2)由 B、D 坐标,得直线 BD 解析式为 y ? x ? 1 ∵BD∥AC ∴∠CAB=∠ABD=45° 若△ACB∽△BAP,则

AB AC 2 ? 5 2? ? 2 ,P ,AB=2, AC ? 3 2 , BP ? 1?? ,? ? BP AB 3 ? 3 3? AB AC ? ,AB=2, AC ? 3 2 , BP ? 3 2 , P2 ? ?4, ?3? AB BP
A

若△ACB∽△BPA,则

25、(1) ∵∠APN=90° ∴AP⊥BN
3 BP ∴ cos B ? ? ∵AB=5, ∴BP=3, AP ? AB 2 ? BP 2 ? 4 5 AB 1 ∵ PN ? MP ? AP ∴PN=2 ∴NC=11-3-2=6 2 B

M P
A M N

(2) 过 A、N 作 BC 的垂线,垂足分别为 H、G。 易知:PH=x-3,AH=4, 通过“一线三直角”模型,可知△APH∽△PGN
B

N

C

H

P

G

C

AP AH PH ? ? ? 2, PN PG NG x?3 ∴PG=2,NG= ,CG=11-x-2=9-x 2

相似比

5 x 2 ? 78 x ? 333 2 ? x?3? ? 9 ? x ? 在 Rt△NCG 中,由勾股定理,得: y ? ? ? ? ? 2 ? 2 ?

2

定义域为 3 ? x ? 6 (极限情况见右图)
[来源:学科网]

A

A M

M B P N C
B H

N C

P

G

(3) 第一种情况:当 PN=NC 时: 此时 PG=CG,即 9-x=2,x=7 第二种情况:PN=PC 时:
1 1 PN ? AP ? 2 2
B

A M N

H

P

G

C

? x ? 3?

2

? 16 ,PC=11-x

A M N

? x ? 3?

2

? 16 ? 4 ?11 ? x ? ,整理得 3x2 ? 82 x ? 459 ? 0
2

? ? 1216 , x1 ?

41 ? 4 19 41 ? 4 19 ? 11 (舍) x2 ? 3 3

B

H

P

G

C

第三种情况:当 NC=PC 时:
A

5 x ? 78 x ? 333 2 ? x?3? NC ? ? ,PC=11-x ? ? ?9 ? x ? ? 2 ? 2 ?
2

2

N M

5 x 2 ? 78 x ? 333 ? 11 ? x ,整理得: x 2 ? 10 x ? 151 ? 0 2

B

H

P

G

C

? ? 704 , x1 ? ?5 ? 4 11 (舍去) x2 ? ?5 ? 4 11

综上,BP=7 或

41 ? 4 19 或 x2 ? ?5 ? 4 11 时,△PNC 等腰。 3

浦东、闵行、静安、杨浦、松江、青浦六区联考

2013 学年度第一学期期末质量测试初三数学
2014 年 1 月 8 日 一、选择题 1、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,如果∠A=α,BC=a,那么 AC 等于( (A)a·ta nα; (B)a·cotα; (C) )

a a ; (D) cos ? sin ?


2、如果抛物线 y=mx?+(m-3)x-m+2 经过原点,那么 m 的值等于( (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.

3、如图,已知在平行四边形 ABCD 中,向量 BD 在向量 AB 、 BC 方向上的分向量分别是(

??? ?

??? ?

??? ?



? ??? ? ??? BC AB 、 (A)

(B) AB 、— BC

??? ?

??? ?

(C)— AB 、 BC

??? ?

??? ?

(D)— AB 、— BC

??? ?

??? ?

4、抛 物 线 y=-(x-2) ? +1 经 过 平 移 后 与 抛 物 线 y=-(x+1)?-2 重合, 那么平移的方向可以是 ( )

(A)向左平移 3 个单位后再向下平移 3 个单位; (B)向左平移 3 个单位后再向上平移 3 个单位; (C)向右平移 3 个单位后再向下平移 3 个单位; (D)向右平移 3 个单位后再向上平移 3 个单位。

5、在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,如果 AD=1,BD=2,那么由下列条件能够判断 DE∥BC 的 是( (A) )

DE 1 ? ; BC 2

(B)

DE 1 ? ; BC 3

(C)

AE 1 ? ; AC 2

(D)

AE 1 ? 。 AC 3

6、如图,已知 AB、CD 分别表示两幢相距 30m 的大楼,小明的大楼 AB 的底部点 B 处观察,当仰角增 大到 30 度时,恰好能够通过大楼 CD 的玻璃幕墙看到大楼 AB 的顶部点 A 的像,那么大楼 AB 的高度 为( ) (A) 10 3米 ; (B) 20 3米 ; (C) 30 3米 ; (D)60 米。

二、填空题 7、函数 y=(x+5)(2-x )图像的开口方向是________。 8、在 Rt△ABCz2,∠C=90°.如果∠A=45°,AB=12,那么 BC=_______. 9、已知线段 a=3cm,b=4cm,那么线段 a、b 的比例中项等于_______cm。 10、如果两个相似三角形周长的比是 2:3,那么它们面积的比是_______。 11、如图,在△ABC 与△ADE 中,

AB AE ,要使△ABC 与△ADE 相似,还需要添加一个条件,这 ? BC ED

个条件可以是_____________。 12、已知点 G 是△ABC 的重心,AB=AC=5,BC=8,那么 AG=_____。 13、已知向量 a 与单位向量 e 方向相反,且 a ? 3 ,那么 a =______(用向量 e 的式子表示) 14、如果在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 的坐标为(3,4),射线 OP 与 X 轴的正半轴所夹的角为 α, 那么 α 的余弦值等于______。 15、已知一条斜坡的长度是 10 米,高度是 6 米,那么坡脚的度数约为_____。(备用数据:tan31° =cot59°=0.6,sin37°=cos53°=0.6) 16、如果二次函数 y=x?+2kx+k-4 图像的对称轴是 x=3, 那么 k=____ _。 17、如图,小李投掷铅球,如果铅球运行时离地面的高度 y(米)关于水平距离 x(米)的函数解析 式y??

?

?

?

?

?

1 2 1 3 x ? x ? , 为什那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为什____米。 8 2 2

18、如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后 使这个角的一边与另一边重叠,再将旋转后的三 角形进行相似缩放,使重叠的两条边互相重合,我们称这样的图形变换为三角形转似,这个角的顶 点称为转似中心,所得的三角形称为原三角形的转似三角形。如图,在△ABC 中,AB=6,BC=7,AC=5, △ A1 B1C 是△ABC 以点 C 为转似中心的其中一个转似三角形,那么以点 C 为转似中心的另一个转似 三角形△ A 2 B2C (点 A 2、B2 分别与 A、B 对应)的边 A 2 B2 的长为_____。
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

[来源:学科网 ZXXK]

三、解 答 题 19、如图,已知在直角坐标平面中,点 A 在第二象 限内,点 B 和点 C 在 x 轴上,原点 O 为边 BC 的中点,BC=4,AO=AB ,tan∠AOB=3,求图像经过 A、B、C 三点的二次函数解析式。

20、如图,已知在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB 和 AC 上,DE∥ BC ,

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ?? 1? ? AD 2 ;(2)求作向量 a ? b (不 ? , 如果AB ? a, BC ? b ()求 .1 EA(用向量a、 b的式子表示) 2 DB 3

要求写作法,但要指出所作图中表示结论的向量)。

21、已知,如图,在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是边 BC、CD 上的点,且 E F∥BD,AE、AF 分别 交 BD 于点 G 和点 H,BD=12,EF=8。求:(1)

DF 的值。(2)线段 GH 的长。 AB

22、如图,已知某船向正东方向航行,在点 A 处测得某岛 C 在其北偏东 60°方向上,前进 8 海里到 达点 B 处,测得岛 C 在其北偏东 30 方向上,已知岛 C 周围 6 海里内有一暗礁,问:如果该船继续向 东航行,有无触礁危险?请说明你的理由。

[来源:学+科+网]

23、已知:r 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠BCD=90°.对角线 AC、BD 相交于点 E。且 AC⊥BD。 (1)求证:CD?=BC·AD;(2)点 F 是边 BC 上一点,连接 AF,与 BD 相交于点 G,如果∠BAF=∠DBF,

AG 2 BG ? 求证: AD 2 BD 。

[来源:学*科*网]

24、已知在平面直角坐标系 xoy 中,二次函数 y=-2x?+bx+c 的图像经过点 A(-3,0)和点 B(0,6)。 (1)求此二次函数的解析式;(2)将这个二次函数的图像向右平移 5 个单位后的顶点设为 C,直 线 BC 与 x 轴相交于点 D,求∠sin∠ABD;(3)在第(2)小题的条件下,连接 OC,试探究直线 AB 与 OC 的位置关系,并且说明理由。
[来源:学科网 ZXXK]

25、如图,已知在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,tanA=4/3,点 D 是斜边 AB 上的动点,连接 CD, 作 DE⊥CD,交射线 CB 于点 E,设 AD=x。(1)当点 D 是边 AB 的中点时,求线段 DE 的长;(2)当△ BED 是等腰三角形时,求 x 的值;(3)如果 y=DE/DB。求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义 域。

2013 学年第一学期期末质量检测 初三数学试卷
(测试时间:100 分钟,满分:150 分) 2014.01
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草 稿纸、本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主 要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题 ,每题 4 分,满分 24 分) 1.两个相似三角形的面积比为 1∶4,那么这两个三角形的周长比为( (A)1∶2; (B)1∶4; (C)1∶8; (D)1∶16. ) )

2.如果向量 a 与单位向量 e 方向相反,且长度为

?

?

1 ? ? ,那么向量 a 用单位向量 e 表示为( 2 ? 1? 2
(D) a ? ?2e .

(A) a ?

?

1? e; 2
2

(B) a ? 2e ;

?

?

(C) a ? ? e ;

?

?

3.将抛物线 y = x 向右平移 1 个单位,所得新抛物线的函数解析式是( (A) y = ( x +1) ; (C) y = x +1 ;
2 2



(B) y ? ( x ? 1) ;
2

(D) y ? x ? 1 .
2

4.在 Rt△ ABC 中,∠A=90° ,如果把这个直角三角形的各边长都扩大 2 倍,那么所得到的直角三角 形中,∠B 的正切值( ) (A)扩大 2 倍; (B)缩小 2 倍; (C)扩大 4 倍; (D)大小不变 . )

5.已知在 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,∠A= a ,BC=m,那么 AB 的长为( (A) m sin ? ; (B) m cos? ; (C)
2

m ; sin ?

(D)

m . cos ?

6.在平面直角坐标系中,抛物 线 y ? ? ? x ? 2 ? ? 1 的顶点是点 P,对称轴与 x 轴相交于点 Q,以点 P 为圆心,PQ 长为半径画⊙P,那么下列判断正确的是( ) (A)x 轴与⊙P相离; (B)x 轴与⊙P相切; (C)y 轴与⊙P与相切; (D)y 轴与⊙P相交. 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.如果 2 x ? 3 y ,那么

2x ? y = 2x ? y





AE 8. 已知在△ ABC 中, 点 D、 E 分别在边 AB 、 AC 上, DE//BC,DE ? 3 , 那么 的值等于 CE BC 5





? ? ? 9.计算: 2 a ? 2b ? 3b ?

?

?



. ▲ . ▲ ▲ . .

10.抛物线 y ? x 2 ? 2 x 的对称轴是

11.二次函数 y = 2 x 2 + t 的图像向下平移 2 个单位后经过点(1,3),那么 t ? 12.已知在△ ABC 中,∠C=90° ,AB=12,点 G 为△ ABC 的重心,那么 CG= 13.已知在 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,BC= 3 AC,那么∠A= ▲ 度. .

14.已知在 Rt△ ABC 中,∠C=90° , cot B ? ,BC=3,那么 AC= ▲

1 3

15.已知内切两圆的圆心距为 6,其中一个圆的半径为 4,那么另一个圆的半径为 ▲ . 16.如果正 n 边形的每一个内角都等于 144° ,那么 n= ▲ . ▲ A D B' .

17.正六边形的边长为 a ,面积为 S ,那么 S 关于 a 的函数关系式是 18.在 Rt△ ABC 中,∠C=90° , cos B ?

3 , 5

把这个直角三角形绕顶点 C 旋转后得到 Rt△ A'B'C,其中点 B' 正好落在 AB 上, A'B'与 AC 相交于点 D,那么

B?D ? CD





A' C B

三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.(本题满 分 10 分) 计算:

第 18 题图

2sin 2 60? ? cos 2 45? tan 60? ? cos 30? ? tan 30? cot 45?

20.(本题满分 10 分, 其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 已知一个二次函数 y ? x 2 ? b x ? c 的图像经过点(4,1)和( ?1 ,6). (1)求这个二次函数的解析式; (2)求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴. 21.(本题满分 10 分) 如图,已知 AB 是⊙O 的弦,点 C 在线段 AB 上, OC=AC=4,CB=8. 求⊙O 的半径. 22.(本题满分 10 分) 如图,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,右图是侧面 A C

O

B 示意图。

已知自动扶梯 AB 的坡度为 1:2.4,AB 的长度是 13 米,MN 是二楼楼顶,MN∥PQ,C 是 MN 上 处在自动扶梯顶端 B 点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端 A 处测得 C 点的仰角为 42° , 求二楼的层高 BC(精确到 0.1 米). (参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90) C

M

N

B Q

P

A

23.(本题满分 12 分,每小题各 6 分) 如图, 在□ABCD 中, E 是 AB 的中点, ED 和 AC 相交于点 F, 过点 F 作 FG∥AB, 交 AD 于点 G. (1)求证:AB=3FG; (2)若 AB : AC= 2 : 3 ,求证: DF 2 ? DG ? DA . G A D E B F

C

24.(本题满分 12 分,每小题各 4 分) 已知,二次函数 y = ax 2 +bx 的图像经过 点 A (?5, 0) 和点 B,其中点 B 在第一 象限,且 OA=OB,cot∠BAO=2. (1)求点 B 的坐标; (2)求二次函数的解析式; (3)过点 B 作直线 BC 平行于 x 轴, 直 线 BC 与二次函数图像的另一个交点 为 C,联结 AC,如果点 P 在 x 轴上, 且△ ABC 和△ PAB 相似,求点 P 的坐标. A 1 -1 O -1 1 x

y

B

25.(本题满分 14 分,其中第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分)

如图,Rt△ ABC 中,∠ACB=90° ,AC=4,BC=3,P 是斜边 AB 上的一个动点(点 P 与点 A、B 不重合),以点 P 为圆心,PA 为半径的⊙P 与射线 AC 的另一个交点为 D,射线 PD 交射线 BC 于 点 E. (1)如图 1,若点 E 在线段 BC 的延长线上,设 AP=x,CE=y, ① 求 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ② 当以 BE 为直径的圆和⊙P 外切时,求 AP 的长; (2)设线段 BE 的中点为 Q,射线 PQ 与⊙P 相交于点 I,若 CI=AP,求 AP 的长. A P D A

E

C 图1

B

C

B

参考答案和评分标准
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.A; 2.C; 3.B; 4.D; 5.C; 二.填空题:(本大题共 12 题,满分 48 分) 7.2; 8. 6.B.

3 ; 2

9. 2a ? b ;

?

?

10.直线 x ? ?1 ; 17. S ?

11.3;

12.4;

13.60° ;

14.9;

15.10;

16.10;

3 3 2 a ; 2

18.

7 . 20

三、(本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 分, 满分 78 分)

? 3? ? 2? 2?? ? ?? ? 2 2 ? 3 ? ? ? 19. 解:原式 ? ……………………………………(6 分) ? 1 3 3 ? 2 3
?
分)

2

2

6 ? 3 . …………………………………………………………… ( 4 3

? 3 .……………………………………………………………(4 分)
20.解:(1)由题意,得
2 ? ? 4 ? b ? 4 ? c ? 1. ………………………………………………(2 分) ? 2 ? 1 ? b ? ? 1 ? c ? 6 . ? ? ? ? ? ?

解这个方程组,得 ?

?b ? ?4. …………………………………………(3 分) ? c ? 1.
2

∴所求二次函数的解析式是 y ? x ? 4 x ? 1 .………………………(1 分) (2)顶点坐标是(2,-3).…………………………………………(2 分) 对称轴是直线 x ? 2 .……………………………………………(2 分) 21.解:联结 OA, 过 点 O 作 OD⊥AB, 垂足为点 D.…………………(1 分) ∵AC=4,CB=8,∴AB=12. ∵OD⊥AB,∴AD=DB=6,…………………………………………(3 分) ∴CH=2.………………………………………………………………(1 分) 在 Rt ?CHO 中, ?CHO ? 90? ,OC=4 ,CH=2, ∴ OH ? 2 3 .…………………………………………………………(2 分) 在 Rt ?AHO 中, ?AHO ? 90? ,

OA ? 4 3 .…………………………………………………… ………(2 分)
∴⊙O 的半径是 OA ? 4 3 .…………………………………………(1 分) 22.解:延长 CB 交 PQ 于点 D.…………………………………………………(1 分) ∵MN∥PQ, BC⊥MN,∴BC⊥PQ.……………………………………(1 分)

BD 1 5 ? ? .…………………(1 分) AD 2.4 12 设 BD ? 5k 米, AD ? 12k 米,则 AB ? 13k 米. ∵AB=13 米,∴ k ? 1 ,∴ BD ? 5 米, AD ? 12 米.…………………(3 分) 在 Rt ?CHO 中, ?CHO ? 90? , ?CAD ? 42? ,
∵自动扶梯 AB 的坡度为 1:2.4,∴ ∴ CD ? AD ? tan ?CAD ? 12 ? 0.90 ? 10.8 米,…………………………(3 分) ∴ BC ? 5.8 米.………………………………………………………………(1 分) 答:二楼的层高 BC 约为 5.8 米. 23.证明:(1)在□ ABCD 中,AB∥CD,AB=CD,AD∥BC, 又∵E 是 AB 的中点,∴ ∵FG∥AB, ∴

AF EF 1 ? ? ,………………………………(2 分) FC ED 2 FG AF 1 ∴FG∥CD, ∴ ? ? ,……………………(2 分) CD AC 3

FG 1 ? , ∴AB=3FG.…………………………………………… …(2 分) AB 3 (2)设 AB ? 2k , AC ? 3k ,
则 AE ?

2 3 k , AF ? k. 2 3

3 2 k k 6 AE 6 AF ∴ , , ? 3 ? ? 2 ? AB 6 AC 6 2k 3k


AE AF 6 ? ? .…………………………………… ………………(1 分) AC AB 6

又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴∠AEF=∠ACB.…………(2 分) ∵FG∥AB,AD∥BC;∴∠AEF=∠DFG,∠ACB=∠DAF, ∴∠DFG=∠DAF. ………………………………………………………(1 分) 又∵∠FDG=∠ADF, ∴△FDG∽△ADF, ∴

DF DG , ? DA DF

∴ DF 2 ? DG ? DA .…………………………………(2 分)

24. 解:(1)过点 B 作 BD⊥x 轴,垂足为点 D 在 Rt ?ADB 中, ?ADB ? 90? ,

cot ? BAO

AD = 2 . ………………………………………………………(1 分) BD

设 BD=x,AD=2x,由题意,得 OA=0B=5,∴OD=2x-5.

2 2 2 在 Rt ?ODB 中, OD ? BD ? OB ,∴ ? 2 x ? 5 ? ? x ? 5 ,
2 2 2

解得 x1 ? 4 , x2 ? 0 (不合题意,舍去).…………………………………(2 分) ∴BD=4,OD=3, ∴点 B 的坐标是(3,4). (2)由题意,得 ? ……………………………(1 分)

? 25a ? 5b ? 0, ,………………………………………………(2 分) ?9a ? 3b ? 4.

1 ? a? , ? 6 …………………………………………(1 分) 解这个方程组,得 ? ? 5 ?b ? . ? 6 ?
∴二次函数的解析式是 y ?

1 2 5 x ? x .…………………………(1 分) 6 6

(3)∵直线 BC 平行于 x 轴,∴C 点的纵坐标为 4,设 C 点的坐标为(m,4). 由题意,得

1 2 5 m ? m ? 4 , 解得 m1 ? 3 (不合题意,舍去), m2 ? ?8 . 6 6
BC=11, AB= 4 5 .……………………………(1 分)

∴C 点的坐标为(-8,4), ∵ ?ABC ? ?BAP , ①如果 ?ABC ∽ ?BAP ,那么

AB AB , ? BC AP

∴AP=11,点 P 的坐标为(6,0).…………………………………………(1 分)

AB AP , ? BC AB 80 25 ∴AP= ,点 P 的坐标为( ,0).……………………………………(1 分) 11 11 25 综上所述,点 P 的坐标为(6,0)或( ,0).………………………(1 分) 11
②如果 ?ABC ∽ ?PAB ,那么 注:只写出答案没有解题过程得 2 分. 25.解:(1)①∵AP=DP,∴∠PAD=∠PDA. ∵∠PDA=∠CDE,∴∠PAD=∠CDE. ∵∠ACB=∠DCE=90 °,∴△ABC∽△DEC.…………………………………(1 分) ∴∠ABC=∠DEC,

BC DE . ? CE AB

∴PB=PE. Rt△ ABC 中,∠ABC=90° ,AC=4,BC=3,∴AB=5. 又 AP=x,∴PB=PE=5-x,DE=5-2x,

3 5 ? y 5 ? 2x 6 5 ∴ y ? 3 ? x ( 0 ? x ? ).……………………………………………………(3 分) 5 2


注:其中 x 取值范围 1 分. ②设 BE 的中点为 Q,联结 PQ. ∵PB=PE,∴PQ⊥BE,又∵∠ABC=90° ,∴PQ∥AC,

PQ PB BQ PQ 5 ? x BQ ,∴ , ? ? ? ? AC AB BC 4 5 4 4 3 ∴ PQ ? 4 ? x , BQ ? 3 ? x .……………………………………………(2 分) 5 5 4 3 当以 BE 为直径的圆和⊙P 外切时, 4 ? x ? x ? 3 ? x .……………(1 分) 5 5 5 5 解得 x ? ,即 AP 的长为 .……………………………………………(2 分) 6 6
∴ (2)如果点 E 在线段 BC 延长线上时, 由(1)②的结论可知 IQ ? PQ ? PI ? 4 ?

4 9 x ? x ? 4 ? x ,………(1 分) 5 5

3 ? 3 ? CQ ? BC ? BQ ? 3 ? ? 3 ? x ? ? x .…………………………………(1 分) 5 ? 5 ?
在 Rt△CQI 中,

9 ? 18 2 72 ?3 ? ? CI ? CQ ? QI ? ? x ? ? ? 4 ? x ? ? x ? x ? 16 .…(1 分) 5 ? 5 5 ?5 ? ?
2 2

2

2

∵CI=AP,∴ 解得 x1 ?

18 2 72 x ? x ? 16 ? x , 5 5

20 , x2 ? 4 (不合题意,舍去). 13 20 ∴AP 的长 为 .…………………………………………………………(1 分) 13
同理,如果点 E 在线段 BC 上时,

4 ? 9 ? IQ ? PI ? PQ ? x ? ? 4 ? x ? ? x ? 4 , 5 ? 5 ? 3 ? 3 ? CQ ? BC ? BQ ? 3 ? ? 3 ? x ? ? x . 5 ? 5 ?
在 Rt△CQI 中, CI ? CQ ? QI ?
2 2

18 2 72 ?3 ? ?9 ? x ? x ? 16 . ? x ? ? ? x ? 4? ? 5 5 ?5 ? ?5 ?

2

2

∵CI=AP, ∴

18 2 72 20 x ? x ? 16 ? x ,解得 x1 ? (不合题意,舍去), x2 ? 4 . 5 5 13

∴AP 的长为 4.……………………………………………………………(2 分) 综上所述,AP 的长为

20 或4. 13 20 得 1 分,写出 4 得 2 分. 13

注:1、只有答案没有过程时写出

2、有过程但没有进行分类讨论就得出

20 或 4 得 4 分. 13


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