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高等数学(2017高教五版)课件傅里叶级数习题课(工科类)_图文

高等数学(2017高教五版)课件傅里叶级数习题课(工科类)_图文

第九讲 傅里叶级数习题课

傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习

傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习

?傅里叶级数

a0 ? ? ? (a n cos nx ? bn sin nx ) 2 n ?1 定义在 [ ? π , π ] 上
周期延拓

以2π为周期 的三角级数

f ( x)

以2 π 为周期 奇函数

1 π a n ? 0 ? f ( x ) cos nx dx π ?π ( n ? 0 ,1, 2 ? ) 傅里叶级数 1 2 π b傅里叶系数 f ( x ) sin nx dx 正弦级数 n ? ? 0π π ? ( n ? 1, 2 ? )

?傅里叶级数

定义在 [ ? ? , ? ] 上

a0 ? ? ? (a n cos nx ? bn sin nx ) 2 n ?1

以2π为周期 的三角级数

f ( x)

1 2 ? a n ? ? f ( x ) cos nx dx 周期延拓 0? ? ? 以2? 为周期 ( n ? 0 ,1, 2 ? ) 傅里叶级数 1 ? f ( x ) sin nx dx 正弦级数 奇函数 (偶函数) bn ? 0 ? ? ?? (余弦级数) ( n ? 1, 2 ? )

?傅里叶级数

f ( x)

1 π a n ? ? f ( x ) cos nx dx 周期延拓 π ?π 以2 π 为周期 ( n ? 0 ,1 , 2 ? ) 傅里叶级数 周期延拓 1 π 奇函数 (偶函数) bn ? ?? π f ( x ) sin nx dx 正弦级数 π (余弦级数) 奇延拓 偶延拓 ( n ? 1, 2 ? ) 定义在 [ 0 , π ] 上

定义在 [ ? π , π ] 上

a0 ? ? ? (a n cos nx ? bn sin nx ) 2 n ?1

以2π为周期 的三角级数

?傅里叶级数

以2l为周期的 三角级数

a0 ? nπ x nπ x ? ? (a n cos ? bn sin ) 2 n ?1 l l
变 量 代 换

f ( x)

以 2l 为周期

1 l a n ? ? f ( x ) cos nπ x dx l ?l l ( n ? 0 ,1 , 2 ? ) 傅里叶级数 1 l nπ x bn ? ? f ( x ) sin d x l ?l l ( n ? 1, 2 ? )

?傅里叶展开

收敛定理 设f (x)是以2l 为周期的周期函数,如果它满足:
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,

(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点,
则f (x) 的傅里叶级数收敛,并且: 当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是f(x)的间断点时,级数收敛于

1 f (x? ) ? f (x? ) 2

?

?

傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习

傅里叶级数习题课 一、内容小结 二、题型练习

二、题型练习 (一)傅里叶级数的和函数 (二)傅里叶级数的展开

(三)傅里叶系数的特征

二、题型练习 (一)傅里叶级数的和函数 (二)傅里叶级数的展开

(三)傅里叶系数的特征

? ?1 ? π ? x ? 0 ?例1 设 f ( x ) ? ? 则其以 2 π 为周期的 2 ?1 ? x 0 ? x ? π
傅里叶级数在 x ? π 处收敛于何值.

?? 1 ? π ? x ? 0 在 [ ? π , π ] 上展开为 ?例2 函数 f ( x ) ? ? ? 1 0? x? π 傅里叶级数, 写出其和函数 s ( x ).
2 ?例3 设 f ( x ) ? π x ? x ( 0 ? x ? π), 又设 s ( x )是 f ( x ) 在 ( 0 , π )

内以 2 π 为周期的正弦级数展开式的和函数,求当

x ? ( π , 2 π) 时 s ( x ) 的表达式.

1 x 0? x? 2 ?例4 设 f ( x ) ? 1 2 ? 2x ? x?1 2 ? a0 s ( x ) ? ? ? a n cos n π x , ? ? ? x ? ?? , 2 n ?1
其中 a n ? 2

?

1

0

f ( x ) cos n π x d x , ( n ? 0 ,1,2 , ?) ,

? 5? 求 s? ? ?. ? 2? ? ?补1 设 f ( x ) ? x 2 ( 0 ? x ? 1 ), s ( x ) ? ? bn sin n π x , ? ? ? x ? ?? ,
其中 bn ? 2

?

1

n ?1

0

f ( x ) sin π x d x , ( n ? 1,2 , ?) ,

? 1? 求 s? ? ?. ? 2?

二、题型练习 (一)傅里叶级数的和函数 (二)傅里叶级数的展开

(三)傅里叶系数的特征

二、题型练习 (一)傅里叶级数的和函数 (二)傅里叶级数的展开

(三)傅里叶系数的特征

?例5 将f ( x ) ? 2 ? | x | ( ? 1 ? x ? 1 ) 展开成以2为周期的

1 傅里叶级数,并由此求级数 ? 2 的和. n ?1 n π? x ?补2 将 f ( x ) ? ?0 ? x ? 2 π ?展开为以2 π 为周期的 2 ? 1 n?1 傅里叶级数,并由此求级数 ? ( ? 1) 的和. 2n ? 1 n ?1
?例6 将 f ( x ) ? x 2 在 [ ? π , π ]上展开成傅里叶级数,

?

1 并由此求级数 ? 2 的和. n ? 1 ( 2 n ? 1) ?例7 将 f ( x ) ? sin ax ( a ? 0 )在 ( ? π , π )上展开成傅里叶级数.
?注 注意分情况讨论.

?

二、题型练习 (一)傅里叶级数的和函数 (二)傅里叶级数的展开

(三)傅里叶系数的特征

二、题型练习 (一)傅里叶级数的和函数 (二)傅里叶级数的展开

(三)傅里叶系数的特征

?例8 若 f ( x ) 在 [ ? π , π ] 上满足 f ( x ? π ) ? ? f ( x ) 试证 f ( x )的傅里叶系数 a 0 ? a 2 n ? b2 n ? 0 . ?补3 若 f ( x ) 在 [ ? π , π ] 上满足 f ( x ? π ) ? f ( x ) 试证 f ( x )的傅里叶系数 a 2 n ? 1 ? b2 n ? 1 ? 0 .

?π ? ?π ? [ ? π , π ] 上的偶函数,f ? ? x ? ? ? f ? ? x ? ?例9 设 f ( x ) 是 ?2 ? ?2 ? 试证 f ( x )的傅里叶系数bn ? 0 , a 2 n ? 0 .
?例10 若? ( x ) 和 ? ( x )为 [ ? π , π ] 上的连续函数, ? (? x ) ? ? ( x ) 问? ( x ) 的傅里叶系数 a n , bn 与? ( x ) 的傅里叶系数? n , ? n 有什么关系?


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