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上海市闵行区2016届高三质量调研考试(二模)数学(理)试卷 Word版含解析

上海市闵行区2016届高三质量调研考试(二模)数学(理)试卷 Word版含解析


闵行区 2015-2016 学年第二学期高三年级质量调研考试 数 学 理试 卷 考生注意: 1.本试卷共 4 页,23 道试题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.本考试分设试卷和答题纸。试卷包括三大题,第一大题为填空题,第二大题为选择题,第三大题为解答题。 3.答卷前,务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。 4.作答必须涂或写在答题纸上,在试卷上作答一律不得分。第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域,第一、 第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空 格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? log 3 ( x ?1) 的定义域是 2.集合 A ? x | x 2 ? 3 x ? 0 , B ? x x ? 2 ,则 A ? B 等于 3.若复数 .

?

?

?

?

. .

1? i 1 ? b ( i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 b 的值为 1? i 2 log3 x 1 4.已知函数 f ( x) ? ,则 f ?1 (0) ? . 2 1
5.若一个圆锥的母线长是底面半径的 3 倍,则该圆锥的侧面积是底面积的

? ? ? ? ? ? 6.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ? , a ? 1 , b ? (3,0) ,则 2a ? b ?
?
6

倍. . .

7.已知 △ ABC 的周长为 4 ,且 sin A ? sin B ? 3sin C ,则 AB 边的长为 8.若 ? x ?

1 ? 3 ? 的展开式中的 x 项大于 15 ,且 x 为等比数列 ?an ? 的公比, x? ? a ? a2 ? ? ? an 则 lim 1 . ? n ?? a ? a ? ? ? a 3 4 n t 1 9.若 m ? 0 , n ? 0 , m ? n ? 1 ,且 ? ( t ? 0 )的最小值为 9 ,则 t ? . m n 10 .若以 x 轴正方向为始边,曲线上的点与圆心的连线为终边的角 ? 为参数,则圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的参数方程 ? x ? 1 ? cos ? 为 .? ( 0 ? ? ? 2? ) ? y ? sin ? ??? ? ??? ? 2 2 11.若 AB 是圆 x ? ( y ? 3) ? 1的任意一条直径, O 为坐标原点,则 OA ? OB 的值为 . ? 12.在极坐标系中,从四条曲线 C1 : ? ? 1 , C2 : ? ? ( ? ? 0 ) , C3 : ? ? c o s ? , C4 : ? sin ? ? 1中随机选择两 ? 条,记它们的交点个数为随机变量 ? ,则随机变量 ? 的数学期望 E? = .
* 13.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn = n2 + 2a | n - 2016 | ( a ? 0 ) ,则使得 an ? an?1( n ? N )恒成立的 a 的

最大值为

. .

14. (理科)若两函数 y ? x ? a 与 y ? 1 ? 2 x 2 的图像有两个交点 A 、 B , O 是坐标原点, △OAB 是锐角三角 形,则实数 a 的取值范围是 二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表 答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.如果 a ? b ,那么下列不等式中正确的是( (A) ).

1 1 ? a b

(B) a ? b
2

2

(C) lg a ? 1 ? lg b ? 1

?

?

?

?

(D) 2 ? 2
a

b

16.若 l、 m 是两条直线, m ? 平面 ? ,则“ l ? m ”是“ l // ? ”的( (A) 充要条件 (C) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (D) 既非充分又非必要条件

).

E P 17. 如图, 在正方体 ABCD ? A 设 PD1、PE 与底面 ABCD 1 的中点, 为底面 ABCD 内一动点, 1B 1C1D 1 中, 是 AA
所成的角分别为 ?1、?2 ( ?1、?2 均不为 0 ) .若 ?1 ? ?2 ,则动点 P 的轨迹为哪种曲线的一部分( (A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线 ).

18.将函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图像向右平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后得到函数 g ( x) 的图像

. 若 对 满 足

? ). f ( x1 ) ? g( x2 ) ? 4 的 x1、x2 ,有 x1 ? x2 的最小值为 .则 ? ? ( ? ? ? ? ?? ? ?? (A) (B) (C) 或 (D) 或 ? ? ? ? ? ?
三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的 步骤. 19.(本题满分 12 分)复数 z1 ? sin 2 x ? i ? cos2 x , z2 ? sin 2 x ? i ? cos x (其中 x ? R ,i 为虚数单位). 在复平面上, 复数 z1 、 z2 能否表示同一个点,若能,指出该点表示的复数;若不能,说明理由. 20.(本题满分 14 分)如图,在直角梯形 PBCD 中, PB // DC , DC ? BC , PB ? BC ? 2CD ? 2 ,点 A 是 PB 的中点,现沿 AD 将平面 PAD 折起,设 ?PAB ? ? . (1)当 ? 为直角时,求异面直线 PC 与 BD 所成角的大小; (2)当 ? 为多少时,三棱锥 P ? ABD 的体积为

2 . 6

P P A D A B C B D B P A C
*

D

21. (本题满分 14 分)为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型 (n ? N ) :

? 200 ? n ? 2000, (1 ? n ? 8) ? n ?8 ? 以 f (n) ? ?360 ? 3 12 ? 3000, (9 ? n ? 32) 表示第 n 个时刻进入园区的人数; ?32400 ? 720 ? n, (33 ? n ? 45) ? ? 0, (1 ? n ? 18) ? ? 以 g (n) ? ?500 ? n ? 9000, (19 ? n ? 32) 表示第 n 个时刻离开园区的人数. ? 8800, (33 ? n ? 45) ?
设定以 15 分钟为一个计算单位,上午 9 点 15 分作为第 1 个计算人数单位,即 n ? 1 ;9 点 30 分作为第 2 个计算单位,

即 n ? 2 ;依次类推,把一天内从上午 9 点到晚上 8 点 15 分分成 45 个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数) . (1)试计算当天 14 点至 15 点这一小时内,进入园区的游客人数 f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24) 、离开园区的游客 人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24) 各为多少? (2)从 13 点 45 分(即 n ? 19 )开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻,并说 明理由.

22. (本题满分 16 分)已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点与短轴两端点构成一个面积 a 2 b2

为 2 的等腰直角三角形, O 为坐标原点. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)设点 A 在椭圆 ? 上,点 B 在直线 y ? 2 上,且 OA ? OB ,

1 1 ? 为定值; 2 OA OB 2 (3) 设点 C 在椭圆 ? 上运动,OC ? OD , 且点 O 到直线 CD 的距离为常数 d ? 0 ? d ? 2? , 求动点 D 的轨迹方程.
求证:
* 23. (本题满分 18 分)已知 n ? N ,数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足: an?1 ? an ? 1 , bn ?1 ? bn ?

(1)若 a1 ? 1 , b1 ? 0 ,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:数列 ?cn ? 是等差数列;
*

1 an ,记 cn ? an 2 ? 4bn . 2

(3)定义 fn ( x) ? x2 ? an x ? bn ,证明:若存在 k ? N ,使得 ak 、 bk 为整数,且 fk ( x) 有两个整数零点,则必有 无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.

参考答案与评分标准 一、填空题(第 1 题至第 14 题)每题正确得 4 分,否则一律得 0 分. 1. ?1, ?? ? ; 4. 9 ; 7. 1 ; 10. ? 13. 2. ? ?2,3? ; 5. 3 ; 8. 1 ; 3. 2 ; 6. 19 ; 9. 4 ; 12. 1

? x ? 1 ? cos ? ( 0 ? ? ? 2? ) 、 11. 8 ; ? y ? sin ?
1 2016
14. ?

? 6 2 3? ? 3 , 3 ? ?、 ? ?
17.B; 18. C

二. 选择题(第 15 题至 18 题)每题正确得 5 分,否则一律得 0 分. 15.D; 16.C; 三、解答题(第 19 题至 23 题) 19.(本题满分 12 分) 解:设复数 z1 , z2 能表示同一个点,则 cos 2 x ? cos x 解得 cos x ? 1 或 cos x ? ? ……………………3 分

1 , ………………………………7 分 2 2 当 cos x ? 1 时,得 sin x ? 0 ,此时 z1 ? z2 ? i ; ……………9 分 3 1 1 3 2 当 cos x ? ? 时,得 sin x ? ,此时 z1 ? z2 ? ? i ; ……………11 分 4 2 2 4 3 1 综上,复平面上该点表示的复数为 i 或 ? i . ……………12 分 4 2
20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 解:理:(1)当 ? 为直角时,即 AB, AD, AP 两两互相垂直,以点 A 为坐标原点, AB, AD, AP 为坐标轴建立空间直 角坐标系,………………1 分 则 B(1,0,0) C (1,2,0) D(0,2,0) P(0,0,1) , PC ? (1,2, ?1) , BD ? (?1,2,0) ……3 分

??? ?

??? ?

z P D y C

??? ? ??? ? PC ? BD 30 设异面直线 PC 与 BD 所成角为 ? ,则 cos ? ? ??? ………5 分 ? ??? ? ? 10 PC ? BD

A B x P A B C

30 故异面直线 PC 与 BD 所成角为 arccos .…7 分 10 ( 2 ) ? 沿 AD 将 平 面 PAD 折 起 的 过 程 中 , 始 终 有 PA ? AD , AB ? AD , ? AD ? 面PAB ,由 VP? ABD ? VD? PAB 得………9 分
1 1 2 1 2 ? ? ? S△ PAB ? DA ? ? 2 ? ?1?1? sin ? ,? sin ? ? 3 2 6 3 2 ? 3? ?? ? 或 .…………………………14 分 4 4
……………………12 分

D

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 解: (1)当天 14 点至 15 点这一小时内进入园区人数为 f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24)
13 12 14 12 15 12 16 12

? 360 ? [3 ? 3 ? 3 ? 3 ] ? 3000 ? 4 ? 17460 (人)
离开园区的人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24)=9000 (人)
n?8

…………………3 分 ………………6 分

(2) (理)当 f (n) ? g (n) ? 0 时,园内游客人数递增;当 f (n) ? g (n) ? 0 时,园内游客人数递减.…………7 分 ①当 19 ? n ? 32 时,由 f (n) ? g (n) ? 360 ? 3 12 ? 500n ? 12000 ? 0 ,可得: 当 19 ? n ? 28 时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多;…9 分

当 29 ? n ? 32 时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少; ……11 分 ( f (28) ? g (28) ? 246.49 ? 0 ; f (29) ? g (29) ? ?38.13 ? 0 ) ②当 33 ? n ? 45 时,由 f (n) ? g (n) ? ?720n ? 23600 递减,且其值恒为负数. 进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少. ………………13 分 综上,当天下午 16 点时( n ? 28 )园区内的游客人数最多,此时计算可知园区大约共有 77264 人.……14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)(2)小题满分各 5 分,第(3)小题满分 6 分. 解: (1)由条件可得 b ? c ? 椭圆 ? 的方程为
2 2

2 , a ? 2 ,………………………3 分

x y ? ? 1 .…………………………5 分 4 2

(2)设 A( x0 , y0 ) ,则 OB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 0 ,由 y ? 2 得 B(?

2 y0 , 2) …7 分 x0

?

4 ? x0 2 4 ? x0 2 1 1 1 1 1 ? .…10 分 ? = ? = ? 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 4( x0 ? y0 ) 4 y0 OA OB x0 ? y0 4( x0 2 ? 2 ? 0 ) ?4 2 2 x0


(3)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0

x0 2 y0 2 ? ?1 ② 4 2 4 y2 4 x2 2 2 联立①②可得 x0 ? , y0 ? 2 2 x2 ? y 2 2x ? y2
又 C 点在椭圆上得:



…………………………12 分

1 1 1 ? ? ,………14 分 2 2 d OC OD 2 1 1 1 1 1 1 1 2 x2 ? y 2 ? 4 将③代入得: 2 ? , ? ? ? ? ? ? 4 x2 4 y2 d OC 2 OD 2 x0 2 ? y0 2 x 2 ? y 2 x2 ? y 2 4( x 2 ? y 2 ) ? 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2 1 1 2 1 1 2 化简得 D 点轨迹方程为: ( 2 ? ) x ? ( 2 ? ) y ? 1 .…………………………16 分 d 2 d 4
由 OC ? OD 得 OC ? OD =CD ? d ,即 OC 2 ? OD2 =(OC 2 +OD2 ) ? d 2 ,可得 23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 7 分. 解: (1) an ? n ,…………………………2 分

1 n ? bn ?1 ? bn ? an ? bn ? , 2 2 …………………4 分 ? 由累加法得 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ???? ? (bn ? bn?1 ) 1 n(n ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? .……………………………………6 分 2 4 (2) cn?1 ? cn ? an?12 ? 4bn?1 ? (an 2 ? 4bn ) ……………………………………………8 分 1 ? (an ? 1) 2 ? 4( an ? bn ) ? (an 2 ? 4bn ) ? 1 2 ? ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.……………………………………………………11 分

?an ? cn ?ak ? ck ,由条件, f k ( x) ? 0 两根 x ? 为整数, 2 2 2 则 ? ? ck 必为完全平方数,不妨设 ck ? m (m ? N) , …………12 分
(3)由解方程得: x ?

?ak ? ck ?ak ? m 为整数,? ak 和 m 具有相同的奇偶性,………13 分 ? 2 2 由(2)知 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,取 n ? k ? 2m ? 1
此时 x ?

? ck ? 2 m ?1 ? ck ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1?

2

………………………………15 分

?ak ?2m?1 ? ck ?2m?1 ?(ak ? 2m ? 1) ? (m ? 1) ? 2 2 ? ak 和 m 具有相同的奇偶性,? ak ? 2m ? 1和 m ? 1 具有相同的奇偶性, …17 分
此时 x ? 所以函数 f k ?2m?1 ( x) 有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.………………………………18 分 2016 年闵行区高考数学二模卷答案详解 一、填空题 1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】 (1, ??) 【试题分析】依题意可知, x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 ,所以函数 y ? log3 ( x ?1) 的定义域为 (1, ??) ,故答案为 [1, ??) . 2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集,并集,补集;方程与代数/不等式/一元二次不等式(组)的解法、含 有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】 (?2,3) 【试题分析】集合 A ? {x | x ? 3x ? 0} ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x || x |? 2} ? {x | ?2 ? x ? 2} ,
2

所以 A ? B ? {x | ?2 ? x ? 3},故答案为 (?2,3) . 3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2 【试题分析】 复数 故答案为 2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数;方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】9 【试题分析】函数 f ( x) ? 系可知 f
?1

1 1? i 1 (1 ? i)2 1 1 ? b? ? b ? i ? b ,因为复数的实部与虚部相等,则有 1 ? b ,解得 b ? 2 , 2 1? i 2 (1 ? i)(1 ? i) 2 2

log3 x 1 ? log3 x ? 2 ,令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 9 .根据互为反函数的两个函数之间的关 2 1

(0) ? 9 ,故答案为 9.

5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象. 【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3
2 【试题分析】设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,依题意有, l ? 3r ,则圆锥的底面积为 S底 ? πr ,圆锥的侧面

积为 S侧 ?

S 1 3πr 2 ? l ? 2 πr ? 3πr 2 ,所以圆锥的侧面积与底面积的比为 侧 ? ? 3 ,故答案为 3. 2 S底 πr 2

6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. 【参考答案】 19 【试题分析】 因为 b ? (3,0) , 所以 | b |? 3 , 又因为 | a |? 1 , 所以 a ? b ?| a | ? | b | cos 60 ? | a | 与 | b | 的夹角为 60°,
?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

因为 | 2a ? b |2 ? 4a ? 4a ? b ? b ? 19 ,所以 | 2a ? b |? 19 ,故答案为 19 .

? ?

?2

? ? ?2

? ?

3 . 2

7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1 【 试 题 分 析 】 因 为 sin A ? sin B ? 3sin C , 所 以 a ? b ? 3 c , 又 △ABC 的 周 长 为 4 , 即 a ? b ? c ? 4 , 所 以

4 ? c ? 3, A B ? c ? 1 .
8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1
3 6? r ? 1 ? 3 r 6? r ? 1 ? r 2 T ? C x ? ? C x 【试题分析】 ? x ? 的展开式中第 项为 ,令 6 ? r ? 3 得 r ? 2 ,所以展开 r ? r ?1 6 6 ? ? 2 x? ? x? ? 2 式 的 第 2 项 为 C6 , 5 x ? 1 , 因 为 x 为 等 比 数 列 {an } 的 公 比 , 所 以 x 3 ? 1x 5?3 1 6 r

? a1 (1 ? x n ) ? a1 ? a2 ? …+an 1? x 1 ? xn lim ? lim ? ? 2 ? = lim n ?? a ? a ? …+a n ?? ? a1 x (1 ? x n ? 2 ) ? n?? x 2 ? x n 3 4 n ? 1? x
? x2 ?1 ? ? 1. = lim ?1 ? n 2 ? n ?? ? x ?x ?
9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4 【试题分析】因为 m ? n ? 1 ,所以

t 1 t 1 nt m ? ? ( ? )(m ? n) ? t ? 1 ? ? ≥t ? 1 ? m n m n m n t 1 nt m 2 ? ? t ? 1 ? 2 t ? ( t ? 1)2 ,当 m2 ? nt 2 时,取等号,又因为 ? 的最小值为 9,即 ( t ?1) 2 ?9 ,所以 m n m n t ? 4 ,故答案为 4.

10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】 ?

? x ? 1 ? cos ? (0≤? ≤2π) ? y ? sin ? ? x ? 1 ? c o?s , ,? s i, n (0 ) ≤? ≤2π) , 所 以 圆 的 参 数 方 程 为 ? ( ? 为 参 数 ), 故 答 案 为 n ?y ? s i ?

【试题分析】圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 化为标准方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,所以圆心(1,0),半径为 1,所以圆上的点的坐

? co ?s 标 为 (1

? x ? 1 ? cos ? (0≤? ≤2π) . ? ? y ? sin ?

11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8 【试题分析】由圆的标准方程知,圆的圆心在 y 轴上且圆心坐标为(0,3) ,半径为 1, 因 为 AB 是 圆的 任 意 一条 直 径 , 不 妨 假设 AB 是 位 于 y 轴 上 的 一 条 直径 , 则 A(0, y1 ) , B(0, y2 ) , 所 以

??? ? ??? ? x ? 0 时, y1 ? 2, y2 ? 4 , OA?OB? (0, y ) ? (0, y ) y 2 ? 1 y 2,又因为当 ??? ? ??? ? 1 所以 OA? OB ? y1 y2 ? 8 ,故答案为 8.

12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.

【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标: 数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1 【 试 题 分 析 】 曲 线 C1 , C2 , C3 , C4 的 极 坐 标 方 程 化 为 普 通 方 程 分 别 为 x 2 ? y 2 ? 1 , y ? 3x ( x≥0) ,

1 1 ( x ? )2 ? y 2 ? , y ? 1 , 从 四 条 曲 线 中 随 机 选 取 两 条 , 可 能 的 结 果 及 它 们 的 交 点 个 数 为 : 2 4 1 ? 1 ? 1 ? ?1 ? 1 ?1. (C1 , C2 ) ,1; (C1 , C3 ) ,1; (C1 , C4 ) ,1; (C2 , C3 ) ,1; (C2 , C4 ) ,1; (C3 , C4 ) ,1;所以 E? ? 6
13.【测量目标】运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】

1 2016
2

?n 2 ? 2an ? 4032a,1≤n≤2016 ? 【试题分析】因为 S n ? n ? 2a | n ? 2016 |? ? 2 , ? ?n ? 2an ? 4032a, n≥2017 ?(n ? 1) 2 ? 2a(n ? 1) ? 4032a, 2≤n≤2017 ? 所以 S n ?1 ? ? , 2 ? ?(n ? 1) ? 2a(n ? 1) ? 4032a, n≥2018

?2n ? 1 ? 2a, 2≤n≤2016, ? 所以 an ? Sn ? Sn?1 ? ? 4033+2a, n ? 2017, , a1 ? S1 ? 4030a ? 1 ,因为 an ≤an +1 恒成立, ?2n ? 1 ? 2a, n≤2018 ?

1 ? ?a1≤a2 , ? 4030a ? 1≤3 ? 2a, a ≤ , ? ? ? ? 2016 所以 ? a2016 ≤a2017 , 即 ? 4031 ? 2a≤4033+2a, 解得 ? , 1 ?a ≤a , ? 4033+2a≤4035 ? 2a ?a≥- , ? 2018 ? 2017 ? ? 2 1 1 又 a ? 0 ,所以 0 ? a≤ ,故答案为 . 2016 2016
14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策 略,解决有关数学问题. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【参考答案】 (

6 2 3 , ) 3 3
? 2 2 ? y ? x ? a, 值域为 [0, ??) , 联立两函数的方程 ? 消去 x , ], 2 2 2 y ? 1 ? 2 x ? ?

【试题分析】 函数 y ? 1 ? 2 x 2 的定义域为 [? 得 3 y 2 ? 4ay ? 2a2 ?1 ? 0 , y ?

2a ? 3 ? 2a 2 , 3 ? ?? ? (4a ) 2 ? 4 ? 3(2a 2 ? 1) ? 0, ? 2 2 6 ≥0, 因为两函数的图像有两个交点,所以 ? 2a ? 1 ,解得 [ , , ) 2 2 ? ?4a ?? ?0 ? 2?3 4a 2a 2 ? 1 a2 ?1 2 y ? y = 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 1 , y1 y2 ? , x1 x2 ? ( y1 ? a)( y2 ? a) ? y1 y2 ? a ( y1 ? y2 ) ? a = , 2 3 3 3 ??? ? ??? ? ? ?OA ? OB ? 0, ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ?? 2 因为 △OAB 是锐角三角形,所以 ? ??? ? ??? ? 2 ?OA ? BA ? 0 ? x1 ? x1 x2 ? y1 ? y1 y2 ? 0, ?

? 3a 2 ? 2 ? 0, ? 3 ? 即? 2 2 ? ? 2 ? 3a ? 1 ? ? a ? 3 ? 2a ? 3 ? 3 ? ?
所以 a 的取值范围为 ( 二、填空题

? ? ? ?

2

,解得

6 2 3 , ?a? 3 3

6 2 3 6 2 3 , ) ,故答案为 ( , ). 3 3 3 3

15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. 【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D

1 2 2 , 所以 A 不正确; 选项 B 中, 若 a>0>b , 且| a 则 a <b , | < | |b , b a b 所以 B 不正确;同理选项 C 也不正确,选项 D 中,函数是 R 上的增函数,所以有 2 >2 ,所以 D 正确.
【试题分析】 选项 A 中, 若 a>b>1 , 则有 < 16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件,必要条件,充分必要条件. 【正确选项】C 【试题分析】因为 m ? 平面 ? ,若 l ? m ,则 l ∥ ? 或 l ? ? ,所以充分性不成立,若 l ∥ ? ,则有 l ? m ,必要 性成立,所以“ l ? m ”是“ l ∥ ? ”的必要不充分条件,故答案为 C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B

1 a

ABCD , D1D ∥ A1 A ,所以 ?1 ? ?DPD1,? 2 ? ? EPD, 【试题分析】在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, D 1 D ? 平面

DP AE D1 D ? 2 ,设正方体边长 ? ,因为 E 为 A 1 A 的中点,所以 AP AP DP DP ? 2, 为 2, 以 DA 方向为 x 轴, 线段 DA 的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的坐标系, 则 D(?1, 0), A(1, 0) ,因为 AP 5 2 25 2 2 2 2 2 所以 ( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1) ? y ,化简得 ( x ? ) ? y ? ,所以动点 P 的轨迹为圆的一部分. 3 9
因为 ?1 ? ?2 ,所以 tan ?DPD1 ? tan ?EPD ,即

第 17 题图 apnn2 18.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力. 【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C 【试题分析】函数 f ( x) ? 2sin 2 x 的图像向右平移 ? 个单位得到函数 g ( x) ? 2sin 2( x ? ? ) 的图像, 则 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2sin 2x1 ? 2sin 2( x2 ? ?) = 4cos( x1 ? x2 ? ?)sin(?x1 ? x2 ? ?)) =4 , 所以 sin(?x1 ? x2 ? ?) =1 , 因为 | x1 ? x2 |?

π π ,所以 x1 ? x2 ? ? , 6 6

π π 2 时, sin(? ? ) ? 1 , ? ? 2kπ ? π(k ? Z) , 6 6 3 2π π π 又因为 0 ? ? ? π ,所以 ? = ,同理,可得 x1 ? x2 ? ? 时, ? = , 3 6 3 2π π 所以 ? ? 或 ,故答案为 C. 3 3
当 x1 ? x2 ? 三、解答题 19.(本题满分 12 分) 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复平面;函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切. 【参考答案】设复数 z1 , z2 能表示同一个点,则 cos 2 x ? cos x , 解得 cos x ? 1 或 cos x ? ? ……………………3 分

1 . ………………………………7 分 2 2 当 cos x ? 1 时,得 sin x ? 0 ,此时 z1 ? z2 ? i . ……………9 分 3 1 1 3 2 当 cos x ? ? 时,得 sin x ? ,此时 z1 ? z2 ? ? i . ……………11 分 4 2 2 4
综上,复平面上该点表示的复数为 i 或

3 1 ? i. 4 2

……………12 分

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,每小题满分各 7 分. 【测量目标】 (1)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. (2)空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】 (1)图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. (2)图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】 (1)当 ? 为直角时,即 AB, AD, AP 两两互相垂直,以点 A 为坐标原点, AB, AD, AP 为坐标轴建立空 间直角坐标系, 设异面直线 PC 与 BD 所成角为 ? ,则 ………………1 分 则 B(1,0,0) C (1,2,0) D(0,2,0) P(0,0,1) , PC ? (1,2, ?1) , BD ? (?1,2,0)

??? ?

??? ?

……3 分

??? ? ??? ? PC ? BD 30 cos ? ? ??? ? ??? ? ? 10 PC ? BD

………………5 分

故异面直线 PC 与 BD 所成角为 arccos

30 .…7 分 10

MHLD1 第 19 题图(1) (2)? 沿 AD 将平面 PAD 折起的过程中,始终 有 PA ? AD , AB ? AD ,? AD ? 面PAB ,由

VP? ABD ? VD? PAB 得
?

……………………9 分 ……………………12 分

1 1 2 1 2 ? ? S△ PAB ? DA ? ? 2 ? ? 1? 1? sin ? ,? sin ? ? 3 2 6 3 2

?? ?

π 3π 或 . 4 4

……………………………14 分

MHLD2 第 19 题图(2) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 【测量目标】 (1)分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其他学科的 问题,并能解释其实际意义. (2)分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题,并能解 释其实际意义. 【知识内容】 (1)函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. (2)函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 【参考答案】 (1)当天 14 点至 15 点这一小时内进入园区人数为
13 14 15 16

f (21) ? f (22) ? f (23) ? f (24) ? 360 ? [312 ? 312 ? 312 ? 312 ] ? 3000 ? 4 ? 17460 (人)…………………3 分
离开园区的人数 g (21) ? g (22) ? g (23) ? g (24)=9000 (人) (2)当 f (n) ? g (n)≥0 时,园内游客人数递增; 当 f (n) ? g (n) ? 0 时,园内游客人数递减. ①当 19≤n≤32 时,由 f (n) ? g (n) ? 360 ? 3
n ?8 12

………………6 分

………………7 分

? 500n ? 12000≥0 ,可得:

当 19≤n≤28 时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多;…9 分 当 29≤n≤32 时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少; ……11 分 ( f (28) ? g (28) ? 246.49 ? 0 ; f (29) ? g (29) ? ?38.13 ? 0 ) ②当 33≤n≤45 时,由 f (n) ? g (n) ? ?720n ? 23600 递减,且其值恒为负数.进入园区游客人数少于离开游客人 数,总人数将变少. 人. ………………13 分 ………………14 分 综 上 , 当 天 下 午 16 点 时 ( n ? 28 ) 园 区 内 的 游 客 人 数 最 多 , 此 时 计 算 可 知 园 区 大 约 共 有 77264 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)(2)小题满分各 5 分,第(3)小题满分 6 分. 【测量目标】 (1)数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. (2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性. (3)分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略,解决有关数 学问题. 【知识内容】 (1)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (2)图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. (3)图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【参考答案】 (1)由条件可得 b ? c ? 椭圆 ? 的方程为
2 2

2,a ? 2,

…………………………3 分

x y ? ? 1 .………………………………………………………5 分 4 2 2y (2)设 A( x0 , y0 ) ,则 OB 的方程为 x0 x ? y0 y ? 0 ,由 y ? 2 得 B(? 0 , 2) ………7 分 x0

4 ? x0 2 4 ? x0 2 1 1 1 1 1 ? .…10 分 ? = ? = 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 x 2 4 y0 4( x0 ? y0 ) OA OB x0 ? y0 4( x0 2 ? 2 ? 0 ) ?4 2 2 x0
(3)设 C ( x0 , y0 ), D( x, y) ,由 OC ? OD 得 x0 x ? y0 y ? 0 又 C 点在椭圆上得: ①

x0 2 y0 2 ? ?1 ② 4 2 4 y2 4 x2 2 联立①②可得 x0 2 ? ③ …………………………12 分 , y ? 0 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2 由 OC ? OD 得 OC ? OD =CD ? d ,即 OC 2 ? OD2 =(OC 2 +OD2 ) ? d 2 1 1 1 ? 可得 2 ? , ………………………………………………………14 分 2 d OC OD 2 1 1 1 1 1 将③代入得: 2 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 d OC OD x0 ? y0 x ? y2

?

1 4 x2 4 y2 ? 2 x2 ? y 2 2x2 ? y 2

1 2 x2 ? y 2 ? 4 , ? 2 ? x ? y2 4( x 2 ? y 2 )
1 1 2 1 1 ? ) x ? ( 2 ? ) y 2 ? 1 .…………………………16 分 2 d 2 d 4

化简得 D 点轨迹方程为: (

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 7 分. 【测量目标】 (1)数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. (2)逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性. (3)数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法,对问题进行探究,寻求数学对象的规律和 联系;能正确地表述探究过程和结果,并予以证明. 【知识内容】 (1)方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. (2)方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列. (3)方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列;函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质. 【参考答案】 (1) an ? n , ………………………………………………………………2 分

1 n ? bn ?1 ? bn ? an ? bn ? , 2 2 …………………4 分 ? 由累加法得 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ???? ? (bn ? bn?1 ) 1 n(n ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? .……………………………………6 分 2 4 (2) cn?1 ? cn ? an?12 ? 4bn?1 ? (an 2 ? 4bn ) ……………………………………………8 分 1 ? (an ? 1) 2 ? 4( an ? bn ) ? (an 2 ? 4bn ) ? 1 2 ? ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.……………………………………………………11 分

?an ? cn ?ak ? ck ,由条件, f k ( x) ? 0 两根 x ? 为整数,则 ? ? ck 必为完全平方数, 2 2 不妨设 ck ? m2 (m ? N) , …………12 分
(3)由解方程得: x ?

?ak ? ck ?ak ? m 为整数,? ak 和 m 具有相同的奇偶性,………13 分 ? 2 2 由(2)知 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,取 n ? k ? 2m ? 1
此时 x ?

? ck ? 2 m ?1 ? ck ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1?

2

………………………………15 分

?ak ?2m?1 ? ck ?2m?1 ?(ak ? 2m ? 1) ? (m ? 1) ? 2 2 ? ak 和 m 具有相同的奇偶性,? ak ? 2m ? 1和 m ? 1 具有相同的奇偶性, …17 分
此时 x ? 所以函数 f k ?2m?1 ( x) 有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.………………………18 分


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