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2018-2019年人教版高二数学必修5课件:2.3等差数列的前n项和第二课时 PPT课件_图文

2018-2019年人教版高二数学必修5课件:2.3等差数列的前n项和第二课时 PPT课件_图文

第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 性质与应用 学习目标与知识要点 1.掌握由Sn求等差数列{an}的通项公式的方法 2.掌握求等差数列前n项和的最值的方法 3.学会从前n项和的公式判断数列是否等差 温故知新 ? 等差数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d 其前n项和的公式为 n (a1 ? an ) Sn= 2 = na1 ? n( n ? 1) d 2 = d 2 ? d? n ? ? a1 ? ? n 2 2? ? 新课引入 前面我们已经学习了如何根据等差数列{an}的通项公式求其前n 项和Sn,那现在若是知道一个数列的前n项和,反过来求它的通项 公式,你会吗? 本节课我们就从这个问题入手,进而研究等差数列前n项和的 其他性质与应用。 新课讲授 ? 例1.已知数列{an}的前n项和为Sn=3n -2,则数列的通项公式为? 解:∵ n=1时,a1=S1=1 n≥2时,an=Sn-Sn-1 =3n -2-(3n-1 -2) =3n -3n-1 ∴ n=1 ?1 , an ? ? n n ?1 n?2 ?3 ? 3 新课讲授 ? 例2.已知等差数列21,18,15,12· · · 的前项和为Sn,求使得Sn最 大的序号n的值. 解 由题可得 等差数列an=24-3n 令an≥0,解得n≤8 (n=8时,an=0) 故 Sn最大时序号n=7或8 ? 练习3:设等差数列{an}的前 n项和Sn,已知a3=12,且S12>0,S13<0. ? (1)求公差d的取值范围; ? (2)问前几项的和最大?并说明理由。 【解析】(1)∵S12>0,S13<0,a3=12. ?12a1 ? 66d ? 0 ? ∴ ?13a1 ? 78d ? 0 ? a ? 2d ? 12 ? 1 (2) 解得 ? 24 ? d ? ?3 7 ∴ 13(a1 ? a13 ) ? S ? ? 13a7 ? 0 ? 13 2 ? ? S12 ? 6(a1 ? a12 ) ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 ? a6 ? 0, a7 ? 0 ∴前6项和最大 新课讲授 Sn=An2+Bn+C,{an}为等差数列 ?C=0 ? 例3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1,求这个数列的通项公式, 这个数列是不是等差数列? 解 n=1时,a1=S1=3 n≥2时,an=Sn-Sn-1 ? n2 ? n ? 1 ? [(n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 1] ? 2n ∴ ? 3, n ? 1 an ? ? ? 2n, n ? 2 a2 ? a1 ? 1 ? a3 ? a2 ? 2 ∴数列{an}不是等差数列 知识拓展 ? 若数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,证明: ? (1)若Sm=Sp(m≠p),则Sm+p=0 ? (2)若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= -(m+p) (1)∵ Sm m ? m ? 1? ? ma1 ? d 2 p( p ? 1) S p ? pa1 ? d 2 p ? p ? 1? m( m ? 1) Sm ? S p ? ma1 ? d ? pa1 ? d ?0 2 2 m( m ? 1) ? p( p ? 1) ( m ? p)a1 ? d ?0 2 ( m ? p)( m ? p ? 1) ( m ? p)a1 ? d ?0 2 m ? p?1 ∴ a1 ? ? d 2 ( m ? p)( m ? p ? 1) Sm ? p ? ( m ? p)a1 ? d 将a1代入 2 Sm ? p ? 0 (2)∵ Sm ∴ p ? p ? 1? m( m ? 1) Sm ? S p ? ma1 ? d ? pa1 ? d ? p?m 2 2 ( m ? p)( m ? p ? 1) ( m ? p)a1 ? d ? p?m 2 m ? p ?1 d ?1 ∴ a1 ? ? 2 ( m ? p)( m ? p ? 1) Sm ? p ? ( m ? p)a1 ? d 2 m ? m ? 1? Sm ? ma1 ? d?p 2 ? p, S p ? m p( p ? 1) S p ? pa1 ? d?m 2 将a1代入 Sm? p ? ?(m ? p) 知识小结 ? (1)已知数列的前n项和求an,若直接写成an=Sn -Sn-1的形式,必须要有n≥2的条件,而求a1 时必须按照a1=S1求解.若求出的a1与由an=Sn -Sn-1(n≥2)所求出的an中当n=1时所得到的a1一 致,则写成统一的式子,否则应写成 分段 的形式. ? (2)在等差数列{an}中 ? 若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正 项(或0),将这些项相加即得{Sn}的最大 值. ? 若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负 项(或0),将这些项相加即得{Sn}的最小 值. ? 特别的,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}最小 值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最 大 值. ? (3)若数列{an}的前n项和的公式Sn=An2+Bn+C,则{an}为等差数列的充要条件是 C=0 .

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