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70[1].应用函数与方程思想解题(张慧敏)_图文

70[1].应用函数与方程思想解题(张慧敏)_图文

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■山东 张慧敏

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所谓函数思想,是指用函数的概念和性质去iJ',N问题、转化问题和解 决问题.所N;Y程思想,是指从题目中的数量关系人手,运用数学语言将 题目中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组), 然后通过解方程(组)或不等式(组)使问题获解.有时,还要实现函数与方 程的互相转化,从而达到解决问题的目的. 设8>o,n≠1,试求使方程lo&(z一口忌)一lo&:(1-z一。z)有实 数解的k的取值范围.
由换底公式进行换底,再进行等价转化,构建方程组,分离 分 橱参数后分析式子特点,从而选用三角换元法,利用三角函数的值 域求解.

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设詈一csc口,OE(一号,o)U(o,号),则是一厂(臼)=CSC 0一I 当OE(一号,o)时,厂(口)

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CSC臼+c。t口一c。‘虿0<一1,则是<一1.

当OE(o,号)时,厂(口)一csc O--c。t臼一tan导∈(o,1),则o<愚<1.
综上所述,是的取值范围为(一c>o,一1)U(0,1). 注:本题是求参数取值范围的问题,分离参数后变成求函数值域的问 题,观察所求函数式,引入新的变量,转化为求三角函数值域的问题.在进 行三角换元时,要注意新的变量的范围.一般地,此种思路可解决有关不 等式、方程、最大值和最小值、参数取值范围等问题.本题还用到了分离参 数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想和方法.另一种解题思路是 直接解出方程的根,然后对方程的根进行讨论.具体过程是原方程等价变

万方数据  

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)m一( 一)< 解:原问题可变换为关于m的一次不等式(z 2 2 在区 N [一,]上恒成立.设 I f (m)一(z2—1)m一(2z一),则 0

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函数,因此可利用函数思想来解决数列问题.也可利用方程的思想,设出 未知量,建立方程,从而解决问题.由此可见,利用函数与方程的思想解决 问题,要求灵活地运用和巧妙地结合.本题第(2)问的另一种解题思路是 寻求使a。>0、a州<o成立的”.由矗<0知a1>a 2>…>a13.由S13—13a7 <o,得a7<o.由S1 2—6(a 6+a 7)>0,得a6>0.故在S】,S2,…,S】2中,S6 的值最大.

侧卑

如图,AB是圆0的直径,PA垂直于圆0

所在平面,C是该圆圆周上任一点,设么BAC一臼,PA —AB一2r,求异面直线PB和AC的距离.
分 异面直线PB和AC的距离可看成直线



祈PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而
可设定变量,建立目标函数求函数最小值.

,,一’爪



不等

A?
、b、C

再利

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易得n一8,b一“6,C一4/3十4.
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注:本题的解答关键是利用“在△ABC中,tan A+tan B+tan C— A?tan B?tan C”这一条性质得到tan A+tan C,从而设立方程求出

tanA和tan C的值,使问题得到解决.

弱藉艄銎兰菜兰然≯62。4“钏枷扎毗联想
倒6若(z—z)2—4(z—y)(y—z)一0,求证:z,y,z成等差数列.
证明:当z—y时,可得z—z,此时z,Y,z成等差数列.

一t2,并易知t一1是方程的根,则t。?t2一_一1,即2y—z+z,故z,y,
z成等差数列. 综上所述,z,y,z成等差数列.

当z≠y时,设方程(z—y)t2+(z一217)t+(y一2)一0.由△一0,得£?

注:一般地,题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备“z。+ z。一a、z,?z。一b”的形式,则可利用根与系数的关系构造方程;如果具备 “b2—4ac≥0或b2—4ac≤0”的形式,则可利用根的判别式构造一元二次 方程.这种方法使得非方程问题可用方程思想来解决,体现了一定的技巧 性,这也是解题基本方法中的“构造法”. (责任编辑 刘钟华) 4444444444444胡44臼4444444胡444臼44胡4稍

上期《错在哪里》参考答案



1.骺[提示:不等式I

z,一l‰I l≤动+z。l中等号成立的条件为z。与z:反

向,即可设z。一kz。(女<o),则z+3+4i=k(1一z)+2ki,解得k一2,与k<O矛盾,故 等号不成立.可设z。一z+3+4i,z。一z一1+2i,则{Y I一|1 z。l—I
zz

l≤l z-一zz}一

lz+3+4i—z+1—2iI—I 4+2il一2√5.等号成立时,令2。一kz。(女>o),则z+3+4i

一女(z一1)+2ki,解得z一5,k一2>0.故y的最大值为幺/5] 2.AE提示:设车的质量为M,车的初速度为VO,两次抛出物体后车的速度为。7,
由动量守恒定律知:

第一次抛出物体时有(M+2m)VO—m'u-4-(M+m)×÷W0. 第二次抛出物体时有(M+m)_o VO—m口+My7.

解以上两式得芸一等,而等<丢,即要<÷.所以选项A
合,不易燃烧;KMnO。由于具有强氧化性,和酒精混合容易燃烧]

iENi]

3.A[提示:NaCl和(NH。)。SO。既不能燃烧,也不能助燃,可直接排除; CH。COOH虽为有机物,可参照教材所学酯化反应实验,知道CH。COOH和酒精混

万方数据  

惟杜鹅黝翻嘭删张滑到删。一哪蛳。。@Ⅲ.…渺圈


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