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浙江大学2007-2008学年春夏学期《线性代数》期末试卷[1]

浙江大学2007-2008学年春夏学期《线性代数》期末试卷[1]


浙江大学 2007-2008 学年春夏学期《线性代数》期末试卷 一、 填空题(每空 3 分)
a11 a12 a13

a11 ? a12 x

a11 x ? a12

a13 a23 ? ( a33

1.设 a21 a22 a23 ? a ,则 a21 ? a22 x a21 x ? a22 a31 ? a32 x a31 x ? a32 a31 a32 a33
?2 ? ?1 2.设 4 阶矩阵 A ? ? 1 ? ?1 ? 1 2 1 1 1 1 2 1 1? ? 1? * * 1 ? ,则 (A ) ? ( ? 2? ?

) 。

) 。

3.设 V 是实数域 ? 上的全体 4 ? 4 反对称矩阵所构成的线性空间,即
V ? {A ? (aij )4?4 | AT ? ? A, aij ? ?} 。

写出 V 的一组基 ( e12 ? e21 , e13 ? e31 , e14 ? e41 , e23 ? e32 , e24 ? e42 , e34 ? e43 ) V 的维数 。
2 ? 0 ? ?2 0 ) 。设 4 阶矩阵 A ? ? ??3 ? 4 ? ? ?1 2 ? 3 1 ? ? 4 ? 2? ,写出 A 在上面这组基下 0 ? 2? ? 2 0 ? ?

是(

的坐标(

) 。

4. A 是 3 阶矩阵, A ? 0, A11 ? 1, A22 ? 2, A33 ? ?4 , A* 的特征值是 ?1 ? 设 且 则 ( ) ?2 ? ( , ) ?3 ? ( , ) 。

二、 计算题。
25 ? 2 2 4 ? 2 23 ? 2 2 2 ? 2

1.

计算行列式 D4 ?

35 ? 3

34 ? 3

33 ? 3 32 ? 3

45 ? 4 4 4 ? 4 43 ? 4 4 2 ? 4 55 ? 5 44 ? 4 43 ? 4 42 ? 4

(12 分) 。

2.

? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? 已知齐次线性方程组 ? ax1 ? bx2 ? cx3 ? 0 ?a 2 x ? b 2 x ? c 2 x ? 0 2 3 ? 1

问(1) a,b,c 满足何种关系时,方程组仅有零解。 (2) a,b,c 满足何种关系时,方程组有无穷多解,并用基础解 系表示他的全部解。

3.

?0? ?a? ?b? ? ? ? ? ? ? 已 知 向 量 组 ?1 ? ? 1 ?, ? 2 ? ? 2 ?, ? 3 ? ?11? 与 向 量 组 ? ? 1? ? ? 1? ?0? ? ? ? ? ? ?

? 1 ? ? 3? ? 9 ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 2 ?,? 2 ? ? 0 ?,? 3 ? ? 6 ? 有相同的秩,且 ?3 可以由 ?1 , ? 2 , ?3 ? ? 3? ?1? ?? 7? ? ? ? ? ? ?

线性表示。求 a, b 的值,并写出 ?3 由 ?1 , ? 2 , ?3 线性表示的一个 表达式。 4. 设 A,B 都是 3 阶实可逆矩阵,A 的特征值是
?1 ?2 ?3
1 1 1 , , ,这里

?1, ?2 , ?3 是互不相同的正整数,若 B 的特征值是-5,1,7,
B ? ( A?1 )2 ? 6 A ,求 ?1, ?2 , ?3 ,并分别写出与 A, A?1 , B 相似的对角形

矩阵。 5.
2 2 已知二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? 3x12 ? 3x2 ? 4x3 ? 4x1x2 ? 8x1x3 ? 4x2 x3 。

(1) 写出二次型的矩阵。 (2) 用正交线性替换 X ? QY 化二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 为标准形。 (3) 求实对称矩阵 B 使得 A ? B 3 。 三、 证明题。

1.

设 A 是实对称矩阵,B 是正定矩阵。求证 AB 的特征值全

是实数。
2. 设

A 是 m? n 矩 阵 , B 是 m? t 矩 阵 , r(B)=t 。 令

C ? ( A, B)m?(n?t ) , X (1) , X (2) ,?, X (r ) 为齐次线性方程组 CX ? 0 的一个基础
解系, X 设 线性无关。
(i )

? X (i ) ? ? ? 0i ) ? ,这里 X (i ) 为 X (i ) 的前 n 个元素。求证 X (1) , X ( 2) ,?, X ( r ) 0 0 0 0 ?X( ? ? 1 ?


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