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0705平面及其方程_图文

0705平面及其方程_图文

第五节 平面及其方程

一、平面的点法式方程和一般方程 z

◆法线向量(简称为法向量):

垂直于平面的非零向量.

M0

◆法线向量的特征:

o x

垂直于平面内的任一向量.

n?
M y

◆问题:已知 1.平面的一个 n ??(A 法 ,B,C 线 ), 向 2.平面上 M 0 一 (x0,y 定 0,z0)点 ,
求此平面的方程.
解:设M(x, y, z)是平面上任意, 一 必有点M0M?n ?,

解:设M(x, y, z)是平面上任意, 一 必有点M0M?n?, ? M0M?(x ? x 0 ,y ? y 0 ,z? z 0 )n ? ,? (A ,B ,C ),

? A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0 , ( 1 )
又?不在平面上的 不点 满的 足坐 上标 ,述方程 -------点法式方程
◆可以看出: 法线 n ??(A 向 ,B ,C )量 定 , (x0 点 ,y0,z0).

z

n?

M0

M

o

y

x

例1 求过 A (2,? 三 1,4)B ,点 (? 1,3,? 2)C ,(0,2,3)的平.面
解. AB ?(?3,4,?6), AC ?(?2,3,?1), ??? i jk
取法线n?向 ?A量 B?AC? ? 3 4 ? 6 ?(14, 9 ,?1), ?2 3 ?1
取点 A(2,?1,4)为平面上一 , 得定 所求点平面方程为:
1 ( x ? 2 4 ) ? 9 ( y ? 1 ) ? ( z ? 4 ) ? 0 , 化简得: 1 x ? 4 9 y ? z ? 1? 0 5 .

平面的一般方程

任何一个三元一次方程

A ? B ? x C ? y D ? 0 z( 2 ) 平面的一般方程

(A 2?B 2? C 2?0 ) 平面方程

法n ?? 向(量A ,:B ,C ).

证(

) 由 ( 1 )令 ,D ? ? ( A 0 ? B x 0 ? C y 0 ) z

则(1)可写(2成 ).

(

) 任取 (2)的 满一 足 x0,组 y0,z0,解 则

A 0? x B 0? C y0? D z? 0 .3 ( )

(2)式减去 (3)式, 便可化为(4).

A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0 ( 4 )

例2 求过 (1,1,点 1)且 , 垂直x于 ?y?平 z?7和 面 3(x?1)?2y?1(2z?2)?0的平面 . 方程
解 两平面的法线向量分为别: n ? 1? (1 ,? 1 ,1 ),n ? 2? (3 ,2 ,? 1)2 , ?? ? ij k
取法n ?线 ?n ?1?n ? 向 2? 1 量 ? 1 1 ?(1,0 1,5 5), 3 2 ? 12
所求平面方程为:
1 ( x ? 1 0 ) ? 1 ( y ? 1 5 ) ? 5 ( z ? 1 ) ? 0 ,
即 2 ( x ? 1 ) ? 3 ( y ? 1 ) ? ( z ? 1 ) ? 0 , 化简得: 2 x ? 3 y ? z? 6 ? 0 .

练习求(4 过 ,0 ,? 1 )且 点与 3 x? 5 y 平 ? 9 z? 2 面 ? 0 平 行 的平 . 面方程
解. 因为所求平 3x?面 5y?与 9z?平 2?0面 平,行 所以 ,可取所求平面 量n?的 ?(3法 ,5,?线 9),向 又因为所求平面(4过 ,0,?点 1), 由平面的点法 ,得式 所方 求程 平面的 : 方程
3 ( x ? 4 ) ? 5 ( y ? 0 ) ? 9 ( z ? 1 ) ? 0 .

一些特殊平面方程

(1) 平面?通过坐标原点;

由 O ( 0 ,0 ,0 ) 满 ( 2 )得 ,足 D ? 0 ,

? ? :A ? B x ? C ? y 0 z (2) 平面?平行于坐标轴;
若平 ?面 //x轴,则 ? 法 n ??i??0 n ? ,向 ? A (A ?,B 0,C 量 )? i??(1 ,0 ,0 ) ? ? :B ? C ? y D ? z 0(缺少x项)

即A?0,

?D

? ?

D

? ?

0, 0,

平面通过 x轴; 平面平行于 x轴;

类似地,可讨论平面平行于y 轴、z 轴的情形.

(3) 平面?平行于坐标面;
平面?平行于 xoy坐标面:
n ? 法 ? C k ? ? n ? 向 ( 0 ? , ( 0 A , C ,B ) ,C 量 ( C )/? 0 k /?) ? (? 0 ,0 ,A 1 )? B ? 0 , ? ? :C ? D z ? 0 ,或z?c. 类似地,可讨论平面平行于其他坐标面的情形.
? A x + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面;
? B y + D =0 表示平行于 zox 面 的平面.

例3 设平面(6 过 ,?3,2)原 且 , 点 与 4x及 ? 平 y?2点 z面 ?8 垂,求 直此平 . 面方程
解(1) 取平面的法线向量为: n ? ? ( 6 , ? 3 , ( 2 ) ? ( 0 , 0 , 0 ) ? ( 4 , ? ) 1 , 2 ) ??? i jk ? 6 ? 3 2 ?(?4,?4,6), 4 ?1 2
∴所求平面方程为:
? 4 ( x ? 0 ) ? 4 ( y ? 0 ) ? 6 ( z ? 0 ) ? 0 ,
即 2 x ? 2 y? 3 z? 0 .

例3 设平面(6 过 ,?3,2)原 且 , 点 与 4x及 ? 平 y?2点 z面 ?8 垂,求 直此平 . 面方程
解(2) 设平面方程为: A ? B x ? C y ? D z ? 0 ,
由平面过原点知: D?0,

由平面 (6,? 过 3,2)点 知: 6 A ? 3 B ? 2 C ? 0 ,

又 ? ( A ,B ,C )? ( 4 ,? 1 ,2 )? ,4 A ? B ? 2 C ? 0 ,

?A?B??2C? 0, D?0, ∴所求平面方程为: 3

?2C? x2C? yC? z0, 33

即 2 x ? 2 y? 3 z? 0 .

练习 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A?D?0 设所求平面方程为 By?Cz?0 代入已知点 (4,?3,?1)得 C??3B 化简,得所求平面方程 y?3z?0

例4 设平x,面 y,z三 与轴分P(别 a,0,0)交 Q ,(0,于 b,0), R(0,0,c)其 , a中 b?c0,求此平. 面方程

解 设平面方程为: A ? B x ? C y ? D z ? 0 ,

A? ?D,

? aA ? D ? 0 ,

a

将三点坐标代入得:?? bB ? D ? 0 , ?B ? ? D ,

?? cC ? D ? 0 ,

b

C ? ?D,

∴平面方程为 ?Dx?Dy?Dz?D?0,c

abc

即x?y?z?1, a bc

------平面的截距式方程.

例5 求平行于6平 x?面 y?6z?5?0而与三个坐标 在第一卦限内所 四围 面成 体的 体积为一 的个
平面方. 程
解 设平面方程为: x? y?z ?1, z a bc

由题知:

1? 1abc?1,

o

y

32

x

111

111

a ? b ? c, 令a? b? c?t,

616

616

?a?1,b?1,c?1, 6t t 6t

1 ? 63 t 3

? 1,

?t ? 1, 6

?a?1,b?1,c?1, 6t t 6t

?

1 63t

3

? 1,

?t ? 1, 6

? a ? 1 ,b ? 6 ,c ? 1 ,

?所求平面方程: 为

x? y?z ?1, 1 61 即 6 x ? y ? 6 z? 6 ? 0 .

二、两平面的夹角

定义 两平面法线向量之间的夹角称为两平面 的夹角,称为两平面的夹角(. 通常取锐角)

n?2 n?1

? 1 : A 1 x ? B 1 y ? C 1 z ? D 1 ? 0 ,
? 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 z ? D 2 ? 0 , n ? 1 ? (A 1 ,B 1 ,C 1 ),

?2

n ? 2 ? ( A 2 ,B 2 ,C 2 ),

? n?1

◆按照两向量夹角余弦公式有:

?1

? co ? cs n ? o 1 ,n ? 2 ) s ? nn??( 11 ?nn??22

◆按照两向量夹角余弦公式有:
? co ? c sn o ? 1 ,n ? 2 s )? ( nn??11 ?nn??22
? |A 1 A 2?B 1 B 2? C 1 C 2| A 1 2?B 1 2? C 1 2? A 2 2?B 2 2? C 2 2 -----两平面夹角余弦公式.

例6 求平2面 x?2y?z?5?0与各坐标面的 . 解 平面的法线向量为: n ??(2 ,? 2 ,1 ),

?xo面 y,yo面 z,zo面 x 的方程分 : 别为

z?0, x?0, y?0,

分别取其一个法线向量为: n ?1?(0,0,1 ),n ?2?(1 ,0 ,0 ),n ?3?(0,1,0),

?平面与三坐标余 面弦 的分 夹别 :角为

co?s1

?| |

n? n?

? ||

n?n?11

| |

?

|2?0?2?0?1?1| ?
22?(?2)2?12 02?02?12

1 ,
3

cos?2

?

2 3

,

cos?3

?

2. 3

例7 设 P 0 (点 x 0 ,y 0 ,z0 )是A 平 ? B x? 面 C y? D z? 0 外,一
求 P 0 到平.面的距离 解 n ?? (A ,B ,C )? ,P 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 )? ? ,d ?|Prn?jP1P0|, 而Prn ?P j1P0?P1 Pn?0 ? n? ,

P 1 P 0 ? ( x 0 ? x 1 ,y 0 ? y 1 ,z 0 ? z 1 ),

?d ? | P1|Pn?0 |? n?| ? |A (x 0? x 1 )? B (y |0 n ?? |y 1 )? C (z0 n ? ? (o z1 ) .? r |n ?)
? P0

? |A 0? x B 0? y C 0? z D ? | .

A2?B2?C2

P1 ?

N

练习已知一平面的为 一 3x般 ?2y方 ?z程 ?1, 求其点法式方式 程方 、 .程 截距
解 平面的法线向量为: n ?? (3 ,? 2 ,1 ), 令 x?0,y?0, 得z?1, ?平面过 (0,0点 ,1), ∴所求平面的点法式方程为:
3 ( x ? 0 ) ? 2 ( y ? 0 ) ? ( z ? 1 ) ? 0 ;
或x? 令 1 ,y?? 1 ,得z??4,?平面(过 1,?1,? 点 4),
∴所求平面的点法式方程为: 3 ( x ? 1 ) ? 2 ( y ? 1 ) ? ( z ? 4 ) ? 0 .

习题
? 1 .设 x ? k? y 2 z? 0 与 2 x ? 3 y? z? 0 的夹 ,求 k .角 4 2.设平面过(原 0,1,0点 )且 , 和 x与o点 的 y
夹角?,为 求此平.面方程
3 3.利用点到平 式 ,面 求 xo 的 平 y 距 面离 上 P0(x公 的 0,y0)点
到 xo平 y 面上A的 ? xB直 ? yC? 线 0的距 d. 离
? 1.解: ? co?s |1 ? 2 ? k ? (? 3 )? 2 ? 1 | , 4 1 2? k 2? (? 2 )2? 2 2? (? 3 )2? 1 2

1? 2

3|k| ,
5?k2? 14

2k2 ?35, ?k ? ?

35 .
2

2.设平面过 (0,1原 ,0)且 ,点 x与 和 o的 y点 夹?角 , 为
3 求此平. 面方程

解: 设平面方程为: A ? B x ? C y ? D z ? 0 ,

?平面过原点和 (0,1点 ,0),? D ? 0 ,B ? 0 ,
又 ?所求平 xo面 面 y 的 与夹 ?, 角为
3 xo面 y 的一个n ?法 ?(0,0 线 ,1),向量

?
?cos? 3

A2|?CC |2?1,即12?

|C| , ?A?? 3C,
A2 ?C2

故所求平面方程为: 3 x ? z ? 0 或 ? 3 x ? z ? 0 .

3.利用点到平 式 ,面 求 xo 的 平 y 距 面离 上 P0(x公 的 0,y0)点 到 xo平 y 面上A的 ? xB直 ? yC? 线 0的距 d. 离
解 ?d?P1(x0, y0,0)到平面 Ax?By?0z?C?0的距, 离
?d?|A0x?B0y?0?0?C| A2?B2?02
?| A0x?B0y?C|. A2?B2

三、小结与教学基本要求:

◆掌握:

?点法式方程. ◆平面的方程 ? ?一般方程.

三 种 方 程

? ?截距式方程.

的 互



◆两平面的夹角.

◆点到平面的距离公式.

习题 7-5 ( P 330): 6, 7, 8(3), 9


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