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高中数学旧人教版教时教案(广西专用):一元二次方程根的分布

高中数学旧人教版教时教案(广西专用):一元二次方程根的分布

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第十六教时

教材: 一元二次方程根的分布

目的: 介绍符号“f(x)”,并要求学生理解一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a?0)的根的分

布与系数 a,b,c 之间的关系,并能处理有关问题。

过程:

一、为了本课教学内容的需要与方便,先介绍函数符号“f(x)”。 如:二次函数

记作 f(x)= ax2+bx+c (a?0)

x=1 时的函数值记作 f(1) 即 f(1)=a+b+c

二、 例一 已知关于 x 的方程 (k?2)x2?(3k+6)x+6k=0 有两个负根,求 k 的取

值范围。

?

?? ? ?3k ? 6?2 ? 4?k ? 2?? 6k ? 0

解:

?? ?

?

?

??

3k ? 6 ? 0 k ?2 6k ? 0 k ?2

?

? ? ? ?

? ?

2
5 2

? ?

k k

? ?

6 2

???k ? 0或k ? 2

??2 ?k ?0 5

此题主要依靠 ? 及韦达定理求解,但此法有时不大奏效。

例二 实数 a 在什么范围内取值时,关于 x 的方程 3x2?5x+a=0 的一根大

于?2 而小于 0,另一根大于 1 而小于 3。

y
解:
f(-2)
-2 O 1

f(3) x
3

? f (?2) ? 3? ?? 2?2 ? 5? ?? 2?? a ? 0
? ? f (0) ? a ? 0 ? ? f (1) ? 3 ? 5 ? a ? 0 ?? f (3) ? 3? 32 ? 5? 3 ? a ? 0
? ?12<a<0

f(1)
此题利用函数图象及函数值来“控制”一元二次方程根的分布。
例三 已知关于 x 的方程 x2?2tx+t2?1=0 的两个实根介于?2 和 4 之间, 求实数 t 的取值。 y

解:

-2 O

? f (?2) ? t 2 ? 4t ? 3 ? 0

? ??

f (4) ? t 2 ? 8t ?15 ? 0

?? ? 4t 2 ? 4(t 2 ?1) ? 4 ? 0

? ?1? t ? 3

4

x? ? ??

?2?? b ?t ?4 2a

此题既利用了函数值,还利用了 ? 及顶点坐标来解题。 三、作业题(补充)

*1. 关于 x 的方程 x2+ax+a?1=0,有异号的两个实根,求 a 的取值范围。

(a<1)

*2. 如果方程 x2+2(a+3)x+(2a?3)=0 的两个实根中一根大于 3,另一根小

于 3,求实数 a 的取值范围。

(a<?3)

*3. 若方程 8x2+(m+1)x+m?7=0 有两个负根,求实数 m 的取值范围。

(m>7) *4. 关于 x 的方程 x2?ax+a2?4=0 有两个正根,求实数 a 的取值范围。

(注:上述题目当堂巩固使用)

(a>2)

5.设关于 x 的方程 4x2?4(m+n)x+m2+n2=0 有一个实根大于?1,另一

个实根小于?1,则 m,n 必须满足什么关系。 ((m+2)2+(n+2)2<4)

6.关于 x 的方程 2kx2?2x?3k?2=0 有两个实根,一根大于 1 另一个实

根小于 1,求 k 的取值范围。

(k<?4 或 k>0)

7.实数 m 为何值时关于 x 的方程 7x2?(m+13)x+m2?m?2=0 的两个实

根 x1,x2 满足 0<x1<x2<2。

(?2<m<?1 或 3<m<4)

8.已知方程 x2+ (a2?9)x+a2?5a+6=0 的一根小于 0,另一根大于 2,求

实数 a 的取值范围。

(2<a<8/3)

9.关于 x 的二次方程 2x2+3x?5m=0 有两个小于 1 的实根,求实数 m

的取值范围。

(?9/40≤m<1)

10.已知方程 x2?mx+4=0 在?1≤x≤1 上有解,求实数 m 的取值范围。

? ? ? m2 ?16 ? 0

?

解:如果在?1≤x≤1

上有两个解,则

?? ? ?

2

? x1 ? x2
f ?1? ? 0

?

2

?? f ??1? ? 0

? m??

如果有一个解,则 f(1)? f(?1)≤0 得 m≤?5 或 m≥5

(附:作业补充题)

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作 业 题(补充)

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作 业 题(补充)

*1. 关于 x 的方程 x2+ax+a?1=0,有异号的两个实根,求 a 的取值范围。 *2. 如果方程 x2+2(a+3)x+(2a?3)=0 的两个实根中一根大于 3,另一根小于 3,求实
数 a 的取值范围。 *3. 若方程 8x2+(m+1)x+m?7=0 有两个负根,求实数 m 的取值范围。 *4. 关于 x 的方程 x2?ax+a2?4=0 有两个正根,求实数 a 的取值范围。 (注:上述题目当堂巩固使用) 5.设关于 x 的方程 4x2?4(m+n)x+m2+n2=0 有一个实根大于?1,另一个实根小
于?1,则 m,n 必须满足什么关系。 6.关于 x 的方程 2kx2?2x?3k?2=0 有两个实根,一根大于 1 另一个实根小于 1,
求 k 的取值范围。 7.实数 m 为何值时关于 x 的方程 7x2?(m+13)x+m2?m?2=0 的两个实根 x1,x2 满
足 0<x1<x2<2。 8.已知方程 x2+ (a2?9)x+a2?5a+6=0 的一根小于 0,另一根大于 2,求实数 a 的
取值范围。 9.关于 x 的二次方程 2x2+3x?5m=0 有两个小于 1 的实根,求实数 m 的取值范
围。 10.已知方程 x2?mx+4=0 在?1≤x≤1 上有解,求实数 m 的取值范围。

*1. 关于 x 的方程 x2+ax+a?1=0,有异号的两个实根,求 a 的取值范围。 *2. 如果方程 x2+2(a+3)x+(2a?3)=0 的两个实根中一根大于 3,另一根小于 3,求实
数 a 的取值范围。 *3. 若方程 8x2+(m+1)x+m?7=0 有两个负根,求实数 m 的取值范围。 *4. 关于 x 的方程 x2?ax+a2?4=0 有两个正根,求实数 a 的取值范围。 (注:上述题目当堂巩固使用) 5.设关于 x 的方程 4x2?4(m+n)x+m2+n2=0 有一个实根大于?1,另一个实根小
于?1,则 m,n 必须满足什么关系。 6.关于 x 的方程 2kx2?2x?3k?2=0 有两个实根,一根大于 1 另一个实根小于 1,
求 k 的取值范围。 7.实数 m 为何值时关于 x 的方程 7x2?(m+13)x+m2?m?2=0 的两个实根 x1,x2 满
足 0<x1<x2<2。 8.已知方程 x2+ (a2?9)x+a2?5a+6=0 的一根小于 0,另一根大于 2,求实数 a 的
取值范围。 9.关于 x 的二次方程 2x2+3x?5m=0 有两个小于 1 的实根,求实数 m 的取值范
围。 10.已知方程 x2?mx+4=0 在?1≤x≤1 上有解,求实数 m 的取值范围。

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