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[推荐学习]2017_2018版高中数学第三章圆锥曲线与方程4.1曲线与方程二学案北师大版选修2_1

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生活的色彩就是学习

4.1
学习目标

曲线与方程(二)

1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点, 感受曲线的实际背景, 明确其

刻画现实世界和解决实际问题的作用.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问 题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法, 同时进一步加深理解“曲线的方程、 方程的 曲线”的概念.

知识点一 坐标法的思想 思考 1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础?

思考 2 依据一个给定的平面图形,选取的坐标系唯一吗?

梳理 (1)坐标法:借助于______,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法. (2)解析几何研究的主要问题: ①通过曲线研究方程:根据已知条件,求出__________. ②通过方程研究曲线:通过曲线的方程,研究________. 知识点二 求曲线的方程的步骤

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类型一 直接法求曲线的方程 例 1 一个动点 P 到直线 x=8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍.求动点 P 的轨迹方程.

引申探究 若将本例中的直线改为“y=8”,求动点 P 的轨迹方程.

反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系;②找出所求动点满足的几何条件. (2)方法: 求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤, 在实际求解时可简化为三大步骤: 建系、 设点;根据动点满足的几何条件列方程;对所求的方程化简、说明. 特别提醒:直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化. → → → → → → 跟踪训练 1 已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差小于零 的等差数列.求点 P 的轨迹方程.

类型二 代入法求解曲线的方程 例 2 动点 M 在曲线 x +y =1 上移动, M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P, 求 P 点的轨迹方程.
2 2

反思与感悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点 P(x,y),相关动点 M(x0,y0).

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?x0=f ? ?y0=g ?

(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系? (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理,得所求轨迹方程.

x,y , x,y .

跟踪训练 2 △ABC 的顶点 A 固定,点 A 的对边 BC 的长是 2a,边 BC 上的高的长是 b,边 BC 沿一条定直线移动,求△ABC 外心的轨迹方程.

类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点 例 3 过点 M(1,2)的直线与曲线 y= (a≠0)有两个不同的交点, 且这两个交点的纵坐标之和 为 a,求 a 的取值范围.

a x

反思与感悟 结合曲线方程的定义,两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的 解,所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题,讨论交点的个数问题转化 为讨论方程组解的个数问题.即两曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0,则 它们的交点坐标由方程组?
?F ? ?G ?

x,y =0, x,y =0

的解来确定.
2 2

跟踪训练 3 直线 l:y=k(x-5)(k≠0)与圆 O:x +y =16 相交于 A,B 两点,O 为圆心,当

k 变化时,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.

1 1.曲线 y= 与 xy=2 的交点是(

x

)

A.(1,1) B.(2,2) K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 C.直角坐标系内的任意一点 D.不存在 2.方程 x +y =1(xy<0)表示的曲线是(
2 2

)

3.直线 + =1 与 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是________________. a 2-a 4.已知⊙O 的方程是 x +y -2=0, ⊙O′的方程是 x +y -8x+10=0, 由动点 P 向⊙O 和⊙O′ 所引的切线长相等,则动点 P 的轨迹方程是________. 5.M 为直线 l: 2x-y+3=0 上的一动点, A(4,2)为一定点, 又点 P 在直线 AM 上运动, 且 AP∶PM =3,求动点 P 的轨迹方程.
2 2 2 2

x

y

求解轨迹方程常用方法 (1)直接法:直接根据题目中给定的条件进行确定方程. (2)定义法:依据有关曲线的性质建立等量关系,从而确定其轨迹方程. (3)代入法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之 为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动 点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的 方法叫作相关点法或代入法. (4)参数法:将 x,y 用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法. (5)待定系数法:根据条件能知道曲线的类型,可先根据曲线方程的一般形式设出方程,再根 据条件确定待定的系数. 提醒:完成作业 第三章 §4 4.1(二)

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答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 只有建立了平面直角坐标系,才有点的坐标,才能将曲线代数化,进一步用代数法 研究几何问题. 思考 2 不唯一,常以得到的曲线方程最简单为标准. 梳理 (1)坐标系 (2)①表示曲线的方程 ②曲线的性质 知识点二 有序实数对(x,y)

P={M|p(M)} f(x,y)=0

p(M) f(x,y)=0
方程的解 题型探究

例 1 解 设 P(x,y),则|8-x|=2|PA|. 则|8-x|=2
2

x-
2

2



y-

2



化简,得 3x +4y =48, 故动点 P 的轨迹方程为 3x +4y =48. 引申探究 解 据题意设 P(x,y), 则 P 到直线 y=8 的距离 d=|y-8|, 又|PA|= 故|y-8|=2
2 2 2

x- x-
2

2


2

y-


2


2

y-



化简,得 4x +3y -16x+16y-48=0. 故动点 P 的轨迹方程为 4x +3y -16x+16y-48=0. 跟踪训练 1 解 设点 P(x,y), 由 M(-1,0),N(1,0), → → 得PM=-MP=(-1-x,-y), → →
2 2

PN=-NP=(1-x,-y), MN=-NM=(2,0).
→ → ∴MP·MN=2(x+1), →



→ → PM·PN=x2+y2-1,

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生活的色彩就是学习 → → NM·NP=2(1-x). → → → → → → 于是,MP·MN,PM·PN,NM·NP成公差小于零的等差数列等价于 1 ? ?x2+y2-1= x+ 2 ? ? ?2 1-x -2 x+
?x +y =3, ? 即? ?x>0. ?
2 2

+ ,

-x

],

∴点 P 的轨迹方程为 x +y =3(x>0). 例 2 解 设 P(x,y),M(x0,y0), 因为 P 为 MB 的中点,

2

2

x +3 x= ? ? 2 , 所以? y y= , ? ? 2
0 0 2 2

即?

?x0=2x-3, ? ? ?y0=2y,

又因为 M 在曲线 x +y =1 上, 所以(2x-3) +4y =1. 所以 P 点的轨迹方程为(2x-3) +4y =1. 跟踪训练 2 解 如图所示, 以 BC 所在的定直线为 x 轴, 以过 A 点与 x 轴垂直的直线为 y 轴, 建立直角坐标系,则 A 点的坐标为(0,b).设△ABC 的外心为 M(x,y),
2 2 2 2

作 MN⊥BC 于 N,则 MN 是 BC 的垂直平分线. ∵|BC|=2a,∴|BN|=a,|MN|=|y|. 又 M 是△ABC 的外心, ∴M∈{M||MA|=|MB|}. 而|MA|= x + y-b
2 2 2 2


2 2

|MB|= |MN| +|BN| = a +y , ∴ x + y-b
2 2

= a +y ,
2 2 2

2

2

化简,得所求轨迹方程为 x -2by+b -a =0. 例 3 解 当过 M 点的直线斜率为零或斜率不存在时, 不可能与曲线有两个公共点. K12 的学习需要努力专业专心坚持

生活的色彩就是学习 设直线方程为 y-2=k(x-1)(k≠0),

y-2=k x- ? ? 联立曲线方程,得? a y= , ? ? x
消去 x,得 y -(2-k)y-ka=0. 当此方程有两个不同的根,
2





即方程组有两个不同的解时,直线与曲线有两个不同的交点. ∴Δ =[-(2-k)] +4ka>0. 设方程①的两根分别为 y1,y2, 由根与系数的关系,得 y1+y2=2-k. 又∵y1+y2=a, ∴k=2-a, 代入 Δ >0 中,得 a +4a(2-a)>0, 8 解得 0<a< . 3 又∵k≠0, ∴2-a≠0,即 a≠2. 8 ∴a 的取值范围是(0,2)∪(2, ). 3 跟踪训练 3 解 设 M(x,y),易知直线恒过定点 P(5,0), 再由 OM⊥MP,得|OP| =|OM| +|MP| , ∴x +y +(x-5) +y =25, 5 2 2 25 整理得(x- ) +y = . 2 4 ∵点 M 应在圆内, ∴所求的轨迹为圆内的部分. 5 25 ? ? x- 2+y2= , 2 4 解方程组? ? ?x2+y2=16 16 得两曲线交点的横坐标为 x= , 5 5 2 25 16 2 故所求轨迹方程为(x- ) +y = (0≤x< ). 2 4 5 当堂训练 1.D 2.D 3.x+y-1=0(x≠0,x≠1) K12 的学习需要努力专业专心坚持
2 2 2 2 2 2 2 2 2

生活的色彩就是学习 3 4.x= 2 5. 解 设 点 M , P 的 坐 标 分 别 为 M(x0 , y0) , P(x , y) , 由 题 设 及 向 量 共 线 条 件 可 得 4x-4 ? ?x = 3 , 所以? 4y-2 y= , ? ? 3
0 0

?4x=4+3x0, ? ? ?4y=3y0+2, ?

因为点 M(x0,y0)在直线 2x-y+3=0 上, 4x-4 4y-2 所以 2× - +3=0, 3 3 即 8x-4y+3=0, 从而点 P 的轨迹方程为 8x-4y+3=0.

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