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高中数学第一章计数原理13二项式定理133二项式定理习题课教案新人教A版选修23

高中数学第一章计数原理13二项式定理133二项式定理习题课教案新人教A版选修23

1.3.3 二项式定理习题课 教学目标 知识与技能 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 3.能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质. 4.会用二项式系数的性质解决一些简单问题,并能熟练地使用赋值法. 过程与方法 1.能解决二项展开式的有关概念问题:项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常 数项、整数项等. 2.能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题. 3.能用二项式系数的有关性质,解决诸如:最值、二项式系数和、系数和等问题. 情感、态度与价值观 1.培养学生对整个数学知识的驾驭能力,能在一定高度上进行数学知识的应用. 2.培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力. 3.进一步提升学生学好数学用好数学的积极性,进一步提升学生学习数学的兴趣. 重点难点 教学重点:掌握二项展开式,掌握二项式系数的有关性质,掌握解决二项式定理性质等 有关问题的方法. 教学难点:利用二项式定理解决有关问题,利用二项式系数的性质解决有关问题. 教学过程 复习巩顾 前面我们学习了二项式定理,请回顾: n * 1.(a+b) =________________(n∈N ),这个公式表示的定理叫做二项式定理,公式右 n r 边的多项式叫做(a+b) 的______________, 其中 Cn(r=0,1,2, …, n)叫做______________, 通项是指展开式的第 __________________ 项,共有 ____________ 项.其中二项式系数是 ____________,系数是____________. 2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性:____________________. (2)性质 2:______________________. (3)二项式系数的最大值________________________. (4)二项式系数之和____________________,所用方法是____________________. 答案: n 0 n 1 n-1 2 n-2 2 r n-r r n n 1.(a+b) =Cna +Cna b+Cna b +…+Cna b +…+Cnb (n∈N )、展开式、二项式 r 系数、r+1、n+1、Cn、变量前的常数 m r r-1 r 2.(1)Cn=Cn-mn (2)Cn+1=Cn +Cn n (3)当 n 是偶数时,中间的一项取得最大值,即 C n 最大;当 n 是奇数时,中间的两项 2 n-1 n+1 相等,且同时取得最大值,即 C n=C n 最大 2 2 (4)Cn+Cn+Cn+…+Cn+…+Cn=2 典型示例 0 1 2 r n n 赋值法 1 类型一:二项展开式的有关概念 例 1 试求: 2 5 3 5 (1)(x - 2) 的展开式中 x 的系数; x 1 6 2 (2)(2x - ) 的展开式中的常数项; x 3 100 (3)在( 3x+ 2) 的展开式中,系数为有理数的项的个数. 思路分析:理解二项展开式的有关概念,什么是二项式系数,什么是系数,什么是项, 什么是常数项、 有理项、无理项等,其实都是由通项入手, 根据变量的系数、指数进行判断, 当指数为 0 时是常数项,当指数是整数时是有理项,当指数是分数时是无理项. 解: (1)Tr+1=C5(x ) 5 r 3 5-r 2 r r r 15-5r 2 2 (- 2) =(-2) C5x , 依题意 15-5r=5, 解得 r=2.故(-2) C5 x =40 为所求 x 的系数. (2)Tr+1=C6(2x ) 4 2 2 r 2 6-r 1 r r 6-r r 12-3r (- ) =(-1) ·2 ·C6x , 依题意 12-3r=0, 解得 r=4.故(- x 1) ·2 C6=60 为所求的常数项. (3)Tr+1=C100( 3x) r 100-r r r 100-r 3 r r ( 2) =C100·350- ·2 x , 要使 x 的系数为有理数, 指数 50 2 3 r r 2 - 与 都必须是整数, 因此 r 应是 6 的倍数, 即 r=6k(k∈Z), 又 0≤6k≤100, 解得 0≤k≤16 2 3 3 (k∈Z),∴x 的系数为有理数的项共有 17 项. 点评:求二项展开式中具有某特定性质的项,关键是确定 r 的值或取值范围.应当注意 的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念,要加以区分. 【巩固练习】 试求:(1)(x+2) (x -1)的展开式中 x 的系数;(2)(|x|+ 10 2 10 1 3 -2) 的展开式中的常 |x| 数项. 10 10 9 8 10 2 10 解:(1)∵(x+2) =x +20x +180x +…,∴(x+2) (x -1)的展开式中 x 的系数是 -1+180=179. 1 1 6 3 3 (2)∵(|x|+ -2) =( |x|- ) ,∴所求展开式中的常数项是-C6=-20. |x| |x| 类型二:二项展开式的有关应用——简单应用 2 3 4 5 2 例 2 求(x-1)-(x-1) +(x-1) -(x-1) +(x-1) 的展开式中 x 的系数. 解: ∵(x-1)-(x-1) +(x-1) -(x-1) +(x-1) = - 20. 点评: 这是一组将一个二项式扩展为若干个二项式相乘或相加, 或扩展为简单的三项展 开式的问题, 求解的关键在于转化为二项展开式的问题, 转化时要注意分析题目中式子的结 构特征.能够最大限度地考查学生对知识的把握程度. + x - 6 2 6 2 3 4 5 - -[- - 1-[- - 3 3 5 } = ,∴所求展开式中 x 的系数就是(x-1) 的展开式中 x 的系数-C6=- 2 【巩固练习】 5 6 7 8 3 (1-

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