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1.3.1 单调性与最大(小)值(二)课件1

1.3.1 单调性与最大(小)值(二)课件1


复习:
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1.函数的单调性概念; 2.增(减)函数的定义; 3.增(减)函数的图象特征; 4.增(减)函数的判定; 5.增(减)函数的证明.

画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 2 f ( x ) ? ? x ? 2x ?1 (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2)
1 说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的 单调性;

2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现 函数的什么特征? y y
-1 o x o x

f(x)≤0

1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;

(2)存在x0∈I,使得f(x0) = M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值

思考:
根据函数y=f(x)最大值的定义,你能说

出函数最小值的定义吗?

2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;

(2)存在x0∈I,使得f(x0) = M
那么,称M是函数y=f(x)的最小值

注意:
1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(x0) = M; 2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (f(x)≥M).

例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一 般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面 高度hm与时间ts 之间的关系为 h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻? 这时距地面的高度是多少(精确到1m).

解: 作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显 然, 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的 横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距 地面的高度. 由于二次函数的知识,对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14.7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? (?4.9) 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一 .制造时一 h? ? 29 4 ? (?4.9) 般是期望在它达到最高点时爆裂 . 如果烟花距地面 2+14.7t+18 h (t)= -4.9 t 高度 h m 与时间 t s 之间的关系为 答: 烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地 , 面的高度为 29 m. 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 ? 这时距地面的高度是多少(精确到1m).

练习:求下面函数的最值,并写出它的值域.

y ? 2 x ? 4 x ? 3 x ? ? 2,3?
2

2 例5.求函数 y ? 在区间[2,6]上的最大值和 x ?1 最小值.
解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是

2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

点上分别取得最大值和最小值,即在点x=2时取 最大值,最大值是2,在x=6时取最小值,最小值 为0.4 .

2 y? 因此,函数 x ? 1 在区间[2,6]上的两个端

2 y? x ?1

(二)求(或判断)函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区 间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b);

2 练习: 求函数 y ? 在区间[1,2]上的最大值 2x ?1

和最小值.

归纳小结
1、函数的最大(小)值及其几何意义. 2、利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 3、数学思想方法: 数形结合法


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