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2014高考数学 基础+方法全解 第15讲 挖掘三角函数公式的合理使用(含解析)

2014高考数学 基础+方法全解 第15讲 挖掘三角函数公式的合理使用(含解析)

2014 高考数学 基础+方法全解 第 15 讲 挖掘三角函数公式的合理使用 (含 解析)
考纲要求: 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin x+cos x=1,
2 2

sin x =tan x. cos x

π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α ,π ±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2 3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 4.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 5.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切 公式, 了解它们的内在联系.

基础知识回顾: 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin α +cos α =1; sin α (2)商数关系: =tan α . cos α 【注】 (1)求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形 速解。 (2)利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“ ? ”号。 2.诱导公式 公式一:sin(α +2kπ )=sinα ,cos(α +2kπ )=cosα ,其中 k∈Z. 公式二:sin(π +α )=-sinα ,cos(π +α )=-cosα ,tan(π +α )=tanα . 公式三:sin(-α )=-sinα ,cos(-α )=cosα . 公式四:sin(π -α )=sin α ,cos(π -α )=-cosα .
2 2

?π ? ?π ? 公式五:sin? -α ?=cosα ,cos? -α ?=sinα . 2 2 ? ? ? ? ?π ? ?π ? 公式六:sin? +α ?=cosα ,cos? +α ?=-sinα . ?2 ? ?2 ?

1

π 【注】诱导公式可概括为 k· ±α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号 2 看象限.其中的奇、偶是指 π 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则 2

函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时 原函数值的符号作为结果的符号. 3. 和角与差角公式 :

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

【注】变式: tan ? ± tan ? = tan ( ? ± ? )(1 ? tan ? tan ? ) 4. 二倍角公式:

sin 2? = 2sin ? cos ? .
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ? ? . ?

5. 合 一 变 形 : 把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为 “ 一 个 三 角 函 数 , 一 个 角 , 一 次 方 ” 的

y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
6. 半角公式 sin α =± 2 1-cosα α ;cos =± 2 2 1+cosα α ;tan =± 2 2 1-cosα 1+cosα tan

α sinα = = 2 1+cosα

1-cosα sinα 7. 三角函数的最值问题 (1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式 ①y=asinx+bcosx= a +b sin(x+φ ),其中 cosφ =
2 2 2 2

a a +b
2 2

,sinφ =

b a +b
2 2

.

②y=asin x+bsinxcosx+ccos x 可先降次,整理转化为上一种形式. acosx+b? asinx+b? ③y= ?或y=ccosx+d?可转化为只有分母含 sinx 或 cosx 的函数式或 sinx=f(y)(cosx= csinx+d? ? f(y))的形式,由正、余弦函数的有界性求解. (2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式

2

①y=asin x+bcosx+c 可转化为 cosx 的二次函数式. c c ②y=asinx+ (a,b,c>0),令 sinx=t,则转化为求 y=at+ (-1≤t≤1)的最值,一般可 bsinx bt 用基本不等式或单调性求解. 应用举例: 【2013新课标(I)理15】设当 x ? ? 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值,则

2

cos ? =____________.

【应用点评】 试题重点:三角恒等变换、三角函数的性质 试题难点:化一公式的应用和实质 名师点睛:

【2013 辽宁理】设向量 a ?

?

?

? ? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , x ? ?0, ? . ? 2?

?

(1)若 a ? b ,求x的值;

?

?

3

(2)设函数 f ? x ? ? a ? b, 求f ? x ?的最大值.

? ?

【应用点评】 试题重点:三角函数的基本运算、三角恒等变换、三角函数的图像与性质 试题难点:定区间上求三角函数的最值 名师点睛: ①在定区间上求 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0) 的值域时,应先通过题设条件确定 ? x ? ? 的取值范 围,再利用三角函数的图像与性质确定 f ( x) 的最值;切勿认为 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0) 的值 域一定是 ? ? A, A? ;②向量背景下的三角函数问题是高考数学的一大热点,常用的背景有向量的模、 平行与垂直、夹角、数量积等.

变式训练: 1 1 【变式 1】已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )= ,tanβ =- ,求 2α -β 的值. 2 7

4

π? π? ? ? 【变式 2】已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+sin?2x- ?-cos 2x. 6? 6? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后,得到函数 g(x)的图象关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值.

方法、规律归纳: 三角恒等变换方法 观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式) (1)“变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如

5

α =(α +β )-β =(α -β )+β , 2α =(α +β )+ (α -β ), α +β α +β β α 2α =(β +α )-(β -α ),α +β =2· , =(α - )-( -β )等. 2 2 2 2 (2)“变名”指的是切化弦(正切化成正弦余弦 tan ? ?

sin ? ) , cos ?

(3)“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展 开和合并等。

实战演练: 1 1、已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = . 5 1 (1)求 tan α 的值;(2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. 2 cos α -sin α

6

sin α +cos α 2 2 2 2 cos α 1 sin α +cos α tan α +1 (2) 2 = = 2 = , 2 2 2 2 2 cos α -sin α cos α -sin α cos α -sin α 1-tan α 2 cos α

2

2

?-4?2+1 ? ? 4 1 tan α +1 ? 3? 25 ∵tan α =- ,∴ 2 = = =- . 2 2 3 cos α -sin α 1-tan α 4?2 7 ? 1-?- ? ? 3?
2

?1 π ? 2、已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3
(1)求 f?

?5π ?的值; ? ? 4 ?

π ? 10 6 ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2? 2 ? 13 5 ? ?

3、已知函数 f (x)= sin (2 x +

?
3

)+sin(2 x ?

?
3

)+2cos 2 x ? 1, x ? R .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的最大值和最小值. 4 4

7

2sinxcosx+5 ? π? 4、已知函数 f(x)= ,x∈?0, ?. 2? sinx+cosx ? (1)求 sinx+cosx 的取值范围. (2)求函数 f(x)的最小值.

1 13 π 5、已知 cos α = ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < , 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值;(2)求 β .

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