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高等数学(2017高教五版)课件定积分习题课(工科类)_图文

高等数学(2017高教五版)课件定积分习题课(工科类)_图文

第五讲 定积分习题课

定积分习题课
一、内容小结

二、题型练习

定积分习题课
一、内容小结

二、题型练习

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

?背景 ?思想 ?定义 ?注意

曲边梯形的面积 化整为零

变速直线运动的路程

积零为整
n

?

b a

f ( x )d x ? lim ? f (? i ) ? x i
? ?0
i ?1

定积分是一个数! 区间分法 被积函数 与 ξi的取法 无关 有关, 定积分仅与 积分区间 积分变量记法 ?几何意义 与x轴所围图形面积的代数和 ?存在条件 闭区间上的连续函数 闭区间上的有界函数,且只有有限个间断点

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

?线性

? ?

b a

[? f ( x ) ? ? g ( x )]d x ? ? ? f ( x )d x ? ? ? g ( x )d x
a a

b

b

?可加性
b a

f ( x )d x ? ? f ( x ) d x ? ? f ( x )d x
a c

c

b

?不等式
f ( x ) ? 0 (a ? x ? b ) f ( x ) ? g ( x ) (a ? x ? b )

?

b

a

f ( x )d x ? 0 ( a ? b )
b a

?

b

a

f ( x )d x ? ? f ( x ) d x ( a ? b )
a

b

?

f ( x )d x ? ? g ( x )d x ( a ? b )
a

b

?估值定理 m ? f ( x ) ? M (a ? x ? b ) ?积分中值定理
f ( x ) ? C [a , b ]

m ( b ? a ) ? ? f ( x )d x ? M ( b ? a ) ( a ? b )
a

b

?

b

a

f ( x )d x ? f (? )( b ? a ) ( a ? ? ? b )

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

?牛-莱公式

? ?
a

b a

f ( x )d x ? ? F ( x ) ?a ? F ( b ) ? F ( a )
b

?换元积分法
b

f ( x )d x ?

??

?

f (? ( t ))d t

变量不必回代 特点: 换元必换限 注意积分限 不换元不换限
?分部积分法

?

b a

u d v ? ? uv ?a ? ? vd u
b b a

特点: 边积边代限

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

一、内容小结 (一)定积分概念

(二)定积分性质
(三)定积分计算 (四)反常积分

?无穷限的反常积分

t? ?? t

lim

?

0

f ( x ) d x ? lim

t? ??

?

t 0

f ( x) dx

当 p >1 时收敛 ; p≤1时发散. ?无界函数的反常积分

?

c a

f ( x ) dx f ( x )d x ? ? f ( x )d x ? lim? ? f ( x )d x ? lim ? ?t
c

b

t

b

t?c

a

t?c

当 q<1 时收敛 ; q≥1时发散.

定积分习题课
一、内容小结

二、题型练习

定积分习题课
一、内容小结

二、题型练习

二、题型练习
(一)定积分定义

(二)定积分计算

二、题型练习
(一)定积分定义

(二)定积分计算

用极限求定积分 ?用定积分求极限

?

b a

xdx
n

?

1 0

e x dx

思路

?

b a

f ( x )d x ? lim ? f (? i ) ? x i
? ?0
i ?1

lim x n
n? ?

关键 积分限的确定 被积函数的确定 1 1 n i 求 lim 2 1? ?例1 求 lim ?例2 ? n? 0 n n? 0 n n i ?1 k ?补1 求 lim ?
n? 0 i ?1 n

?
i ?1

n

in

en n ? ne
2k n

1n ( n ? 1)( n ? 2) ? (2 n ) ?例3 求 lim n? 0 n

n! ?补2 求 lim ln n? 0 n

n

二、题型练习
(一)定积分定义

(二)定积分计算

二、题型练习
(一)定积分定义

(二)定积分计算

?方法 牛-莱公式 换元积分法 分部积分法 ?特点

积分限 数 ?分类
普通函数 分段函数 奇偶函数 周期函数

注意换限 变量不回代

区间特点

一个区间 多个区间 对称区间 无穷区间

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

?定积分的简化计算 利用几何意义 利用奇偶函数在对称区间上的积分 利用周期函数在长度为周期的整数倍的区间上的积分 ?例4 计算 ? ?1 sin x ? 1 ? x 2 d x ?例5 计算 ??1 ?补3 计算 ? x 3 x dx
?1 2
1

?

?

1

2 x 2 ? x cos x 1? 1? x
2

dx

?例6 计算 ? cos x 1 ? cos 2 x d x ?例7 计算? cos xd x 0
n 2?

? 2 ? ? 2

?例8 计算? sin 4 xd x 0

2?

?补4 计算? 0

N?

1 ? sin 2 x d x

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

?例9 计算 ? ?补5 计算 ?

1 2 0

1? 2x 1? x
2

dx

不换限更方便

? 2 0

sin x cos x dx 2 2 2 2 a sin x ? b cos x

x? ?例10 计算 ? sin 4 ? ? 2 ? dx ?? ? ?
?

?例11 计算?

1 0 1

2 x ? x dx
2

?补6 计算 ? x 2ax ? x 2 d x
0

2a

?例12 计算 ? (1 ? x )50 xd x
0

?

1 0

x (1 ? x ) x d x ?
m n

?

1 0

x n (1 ? x ) m x d x

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

?例13 计算 ? max{ x , x 2 }d x
?2

2

?例14 计算 ?

?
0

1 ? sin x d x
x

l ? kx 0 ? x ? ? ? 2 f ( x ) ? ?例15 设 ? ? c l ? x?l ? ? 2
1 0

求 ?0 f ( t )dt

?例16 计算? x x ? ? d x ( ?? ? ? ? ?? )

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

?例17 计算? ln(1 ? tan x )d x ?例18 计算? ln sin xd x ?例19 计算?
? 4 ? ? 4
? 2 ? ? 2 ? 2 0

? 4 0

? 2 0

sin 2 x dx ?x 1? e e x sin 4 x dx x 1? e f (sin t ) dt f (sin t ) ? f (cos t )

?补7 计算 ? ?补8 计算 ?

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

d b d b d b 2 2 2 sin x dx sin x d x ?例20 计算 sin x d x ? ? ? a da db a dx a ? x 3 dt ?? ?例21 计算 ? ? 2 ? 4 x 1+t ? ?

?例22 设F ( x ) ? ? f ( x ? y )d y 求 F ?( x ) a
2 ? ( x ) ? f ( x ? t )d t 求 ? ?( x ) ?补9 设 ?0 1 b

b

?例23 设 F ( x ) ? ? f ( xt )dt
a x 0

求 F ?( x )

?补10 设 F ( x ) ? ? tf ( x 2 ? t 2 )d t 求 F ?( x )

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

(二) 定积分的计算
1.简化计算

2.用换元法计算
3.分段函数的定积分

4.某些不易求原函数的定积分
5.积分上限函数 6.杂题

6.杂题
(1) 被积函数为积分上限函数的积分

?例24 设 f ( x ) ? ?0
?补11 设 f ( x ) ? ?1
(2) 证明题

x

x

? sin t dt 求 ? f ( x )dx 0 ? ?t 1 1 dx 求 ? x 2 f ( x )d x 0 1 ? t4

a 2 dx ?例25 证明 ? ?1 f ( x ? x ) x (a ? 0) 1 1 x 1 f (1 ? t ) 证明 ?例26 ?0 ln f ( x ? t )d t ? ?0 ln f ( t ) d t ? ?0 ln f ( t )d t
a 2 a

a 2 dx f (x ? 2 ) ? x x

6.杂题
(3) 函数方程

?例27 设 f ( x ) ? x ? ?0 f ( x ) cos xd x 求 f ( x ) ?例28 设 f ( x ) ? x ? x ?0 f ( x )d x ? 2 ?0 f ( x )d x 求 f ( x )
2 2 1

?

?例29

设 f (0) ? 1

f (2) ? 3

f (2) ? 5

求 ? xf ??(2 x )d x
0

1


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