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2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第三章 3.1 不等关系与不等式

2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义:第三章 3.1 不等关系与不等式

不等关系与不等式**** 预习课本 P72~74,思考并完成以下问题 (1)如何用不等式(组)来表示不等关系? (2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法? (3)不等式的性质有哪几条? [新知初探] 1.不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它 们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不等式. 2.比较两个实数 a,b 大小的依据 文字语言 如果 a>b,那么 a-b 是正数; 如果 a<b,那么 a-b 是负数; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0,反之亦然 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c; 推论(同向可加性): a>b? c>d ? ??a+c>b+d; 符号表示 a>b?a-b>0 a<b?a-b<0 a=b?a-b=0 (4)可乘性: a>b? a>b? ??ac>bc; ??ac<bc; c>0 ? c<0 ? a>b>0? c>d>0 ? ??ac>bd; 推论(同向同正可乘性): (5)正数乘方性:a>b>0?an>bn(n∈N*,n≥1); n n (6)正数开方性:a>b>0? a> b(n∈N*,n≥2). [点睛] (1)在应用不等式时, 一定要搞清它们成立的前提条件. 不可强化或弱化成立的 条件. (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2( ) ) (2)若 a<b 或 a=b 之中有一个正确,则 a≤b 正确( (3)若 a>b,则 ac>bc 一定成立( (4)若 a+c>b+d,则 a>b,c>d( ) ) 解析:(1)正确.不等式 x≥2 表示 x>2 或 x=2,即 x 不小于 2,故此说法是正确的. (2)正确.不等式 a≤b 表示 a<b 或 a=b.故若 a<b 或 a=b 中有一个正确,则 a≤b 一定 正确. (3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时,不等号方向不变, 因此由 a>b,则 ac>bc 不一定成立,故此说法是错误的. (4)错误.取 a=4,c=5,b=6,d=2,满足 a+c>b+d,但不满足 a>b,故此说法错 误. 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× ) 2.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系是( A.a>b>-b>-a C.a>-b>b>-a B.a>-b>-a>b D.a>b>-a>-b 解析:选 C 法一:∵A、B、C、D 四个选项中,每个选项都是唯一确定的答案,∴ 可用特殊值法. 令 a=2,b=-1,则有 2>-(-1)>-1>-2, 即 a>-b>b>-a. 法二:∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,-a<b<0, ∴a>-b>0>b>-a,即 a>-b>b>-a. 3.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 B.ab2<a2b ) 1 1 C. 2< 2 ab a b b a D. < a b 解析:选 C 因为 a<b,故 b-a>0, 所以 1 1 b-a 1 1 - = >0,故 2 > 2. a2b ab2 a2b2 a b ab 4.若 A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则 A,B 的大小关系为________. 解析:由题意得,A=x2+10x+21,B=x2+10x+24,所以 A-B=-3<0. 答案:A<B 用不等式(组)表示不等关系 [典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过 40 h 的情况下,生产空调、彩电、冰 箱共 120 台,且冰箱至少生产 20 台.已知生产这些家电产品每台所需工时如下表: 家电名称 工时(h) 空调 1 2 彩电 1 3 冰箱 1 4 若每周生产空调 x 台、彩电 y 台,试写出满足题意的不等式组. [解] 由题意,知 x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台. 1 1 1 因为每周所用工时不超过 40 h,所以 x+ y+ (120-x-y)≤40,即 3x+y≤120; 2 3 4 又每周至少生产冰箱 20 台, 所以 120-x-y≥20,即 x+y≤100. 3x+y≤120, ? ?x+y≤100, 所以满足题意的不等式组为? x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈N . * * 1.将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以进行比较时,才可 用,没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示. [活学活用] 1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的 4.5 倍还要高.设太阳表面温度为 t ℃,那么 t 应满足的关系式是________. 解析:由题意得,太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度,即 4.5t<28 000. 答案:4.5t<28 000 2.某企业准备投资 1 200 万元兴办一所中学,对当地教育市场进行调查后,得到了如 下的数据表格(以班级为单位): 学段 初中 高中 硬件建设(万元) 26/班 54/班 配备教师数 2/班 3/班 教师年薪(万元) 2/人 2/人 因生源和环境等因素,全校总班级至少 20 个班,至多 30 个班,请用数学关系式表示 上述的限制条件(设开设初中班 x 个,高中班 y 个). 解:根据题意,限制条件为 20≤x+y≤30, ? ?26x+54y+2×2x+3×2y≤1 200, ?x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈

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