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2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1学业测评:2.4.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析

2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1学业测评:2.4.1 抛物线及其标准方程 Word版含解析

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.准线与 x 轴垂直,且经过点(1,- 2)的抛物线的标准方程是 ( ) A.y2=-2x C.x2=2y 【解析】 B.y2=2x D.x2=-2y 由题意可设抛物线的标准方程为 y2=ax,则(- 2)2 =a,解得 a=2,因此抛物线的标准方程为 y2=2x,故选 B. 【答案】 B x2 y2 2.以双曲线16- 9 =1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ( ) A.y2=16x C.y2=8x 【解析】 B.y2=-16x D.y2=-8x x2 y2 因为双曲线16- 9 =1 的右顶点为(4,0),即抛物线 的焦点坐标为(4,0),所以抛物线的标准方程为 y2=16x. 【答案】 A x2 y2 3.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 2, 且右焦点与抛物线 y2=4 3x 的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 ( ) A. 2 C.2 B. 3 D.2 3 【解析】 抛物线的焦点为( 3,0),即 c= 3.双曲线的渐近线 b b 方程为 y=ax,由a= 2,即 b= 2a,所以 b2=2a2=c2-a2,所以 c2 =3a2,即 e2=3,e= 3,即离心率为 3. 【答案】 B y2 x2 4.抛物线 y =12x 的准线与双曲线 3 - 9 =-1 的两条渐近线所 2 围成的三角形的面积为( A.3 3 C.2 ) B.2 3 D. 3 【解析】 抛物线 y2=12x 的准线为 x=-3,双曲线的两条渐近 3 线为 y=± 3 x,它们所围成的三角形为边长等于 2 3的正三角形,所 以面积为 3 3,故选 A. 【答案】 A ) 5.抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( A.1 C.4 B.2 D.8 【解析】 由 y2=2px=8x 知 p=4,又焦点到准线的距离就是 p. 故选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.抛物线 y2=2x 上的两点 A,B 到焦点的距离之和是 5,则线 段 AB 的中点到 y 轴的距离是________. ?1 ? 1 【解析】 抛物线 y2=2x 的焦点为 F?2,0?, 准线方程为 x=-2, ? ? 1 1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=5,解得 x1+x2 =4, 故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2. 【答案】 2 7.对标准形式的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线上横坐标为 1 的点 到焦点的距离等于 6;④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标 为(2,1). 其中满足抛物线方程为 y2=10x 的是________. (要求填写适合条 件的序号) 【解析】 抛物线 y2=10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足; p 5 7 设 M(1,y0)是 y2=10x 上的一点,则|MF|=1+2=1+2=2≠6,所以 ?5 ? ③不满足;由于抛物线 y2=10x 的焦点为?2,0?,过该焦点的直线方 ? ? 5? ? 程为 y=k?x-2?,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则 k ? ? =-2,此时存在,所以④满足. 【答案】 ②④ 8.抛物线 y=2x2 的准线方程为________. 1 p 1 【解析】 化方程为标准方程为 x2=2y,故2=8,开口向上, 1 ∴准线方程为 y=-8. 1 【答案】 y=-8 三、解答题 x2 y2 9.求焦点在 x 轴上,且焦点在双曲线 4 - 2 =1 上的抛物线的标 准方程. 【解】 由题意可设抛物线方程为 y2=2mx(m≠0), ?m ? 则焦点为? 2 ,0?. ? ? x2 y2 ∵焦点在双曲线 4 - 2 =1 上, m2 ∴ =1,求得 m=± 4, 4×4 ∴所求抛物线方程为 y2=8x 或 y2=-8x. 10.已知平面上动点 P 到定点 F(1,0)的距离比点 P 到 y 轴的距 离大 1,求动点 P 的轨迹方程. 【导学号:18490069】 【解】 法一 设点 P 的坐标为(x,y), 则有 (x-1)2+y2=|x|+1. 两边平方并化简,得 y2=2x+2|x|. ?4x(x≥0), ? ∴y2=? ? ?0(x<0), 即点 P 的轨迹方程为 y2=4x(x≥0)或 y=0(x<0). 法二 由题意知,动点 P 到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离 大 1,由于点 F(1,0)到 y 轴的距离为 1,故当 x<0 时,直线 y=0 上 的点符合条件;当 x≥0 时,原命题等价于点 P 到点 F(1,0)与到直线 x=-1 的距离相等,故点 P 的轨迹是以 F 为焦点,x=-1 为准线的 抛物线,方程为 y2=4x.故所求动点 P 的轨迹方程为 y2=4x(x≥0)或 y =0(x<0). [能力提升] 1.已知 P 为抛物线 y2=4x 上的一个动点,直线 l1:x=-1,l2: x+y+3=0,则 P 到直线 l1,l2 的距离之和的最小值为( A.2 2 C. 2 B.4 3 2 D. 2 +1 ) 【解析】 将 P 点到直线 l1:x=-1 的距离转化为点 P 到焦点 F(1,0)的距离,过点 F 作直线 l2 的垂线,交抛物线于点 P,此即为 |1+0+3| 所求最小值点, ∴P 到两直线的距离之和的最小值为 =2 2, 12+12 故选 A. 【答案】 A 2.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 O 为原点,若|AF|=3,则△AOB 的面积为( 2 A. 2 3 2 C. 2 B. 2 D.2 2 ) 【解析】 根据题意画出简图(图略), 设∠AFO=θ(0<θ<π), |BF| =m, 则点 A 到准线 l:x

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