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高中数学第一章导数及其应用1.3.2第2课时利用导数研究函数的最值新人教B版选修2

高中数学第一章导数及其应用1.3.2第2课时利用导数研究函数的最值新人教B版选修2


第一章 1.3.2 利用导数研究函数的极值 第2课时 利用导数研究函数的最值 学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系. 2.会求某闭区间上函数的最值. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 函数的最大(小)值与导数 如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象. 思考1 观察[a,b]上函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值. 答案 极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4). 答案 思考2 结合图象判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值,最 小值?若存在,分别为多少? 答案 存在,f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3). 答案 思考3 函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是某极值吗? 答案 不一定,也可能是区间端点的函数值. 思考4 怎样确定函数f(x)在[a,b]上的最小值和最大值? 答案 比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最 小的是最小值. 答案 梳理 (1)函数的最值 假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该 函数在[a,b]内一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在极值点 或 区间端点取得,由于可导函数在区间(a,b)内的极值只可能在使________ f′(x)=0 的点取得,因此把函数在 区间端点的值与区间内使 f′(x)=0的点的值作 比较,最大者必为函数在[a,b]上的最大值,最小者必为最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤 ①求f(x)在开区间(a,b)内所有使 f′(x)=0 的点; ②计算函数f(x)在区间内使 f′(x)=0 的所有点和 端点 的函数值,其中 最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 题型探究 类型一 求函数的最值 命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 已知函数f(x)=x3-3x,x∈R. (1)求f(x)的单调区间; 解 f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x<-1或x>1时,f′(x)>0; 当-1<x<1时,f′(x)<0, 所以f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1,+∞), 单调减区间为(-1,1). 解答 (2)当 x∈[- 3,3]时,求 f(x)的最大值与最小值. 解 由(1)可知,当 x∈[- 3,3]时, f(x)的极大值为f(-1)=2,f(x)的极小值为f(1)=-2, 又 f(- 3)=0,f(3)=18, 所以当 x∈[- 3,3]时,f(x)的最大值为 18,f(x)的最小值为-2. 解答 反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验f′(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 跟踪训练 1 π2 π π [-1, 4 ] 2 (1)函数 f(x)=x -cos x,x∈[-2,2]的值域是___________. 解析 f′(x)=2x+sin x, 令f′(x)=0,即2x+sin x=0,得x=0, π π π2 f(0)=-cos 0=-1,f(2)=f(-2)= 4 , π2 ∴f(x)的最大值为 4 ,f(x)的最小值为-1. π2 ∴f(x)的值域为[-1, 4 ]. 解析 答案 1 2 (2)求 f(x)=ln(1+x)-4

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