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江西省吉安一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)

江西省吉安一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)


2015-2016 学年江西省吉安一中高二(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知命题 p:? x∈R,x2﹣3x+2=0,则?p 为( A.? x?R,x ﹣3x+2=0 B.? x∈R,x ﹣3x+2≠0
2 2

)

C.? x∈R,x ﹣3x+2=0
2

D.? x∈R,x ﹣3x+2≠0
2

2.平行线 3x+4y﹣9=0 和 6x+my+2=0 的距离是( A. B.2 C.
a

)

D.
b

3.已知实数 a,b,则“2 >2 ”是“log2a>log2b”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

)

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,下列命题中为真命题的是( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m⊥α ,α ⊥β ,则 m∥β C.若 m⊥α ,α ⊥β ,则 m⊥β D.若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β ) )

5.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是(4,7,6),则点 M 关于 y 轴的对称点坐标为( A.(4,0,6) B.(﹣4,7,﹣6) C.(﹣4,0,﹣6) D.(﹣4,7,0)

6.如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面图形的面 积为( )

A.

a2 B.a2

C.2

a2 )

D.2a2

7.下列说法正确的是(

A.命题“若 x<1,则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若 x≥1,则 x<﹣1 或 x≥1” B.命题“? x∈R,e >0”的否定是“? x∈R,e ≤0”
x x

C.“a>0”是“函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件 D.已知命题 p:? x∈R,lnx<lgx;命题 q:? x0∈R,x03=1﹣x02,则“(¬p)∨(¬q)为 真命题”.

8.三棱锥 P﹣ABC 的侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=2,则三棱锥 P﹣ABC 的外 接球的体积是( A.2 π
2 2

) π C. π D.8 π )

B.4

9.圆 x +y ﹣2x+4y=0 与 2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 10.设 F1,F2 是椭圆 +

=1(a>b>0)的左右焦点,过点 F1,F2 作 x 轴的垂线交椭圆四点 )

构成一个正方形,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

11.直线 l:y=kx﹣1 与圆 x2+y2=1 相交于 A、B 两点,则△OAB 的面积最大值为( A. B. C.1 D.

)

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 各面中,面积最大的是( )

A.8

B.

C.12

D.16

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.若圆锥的侧面积为 2π ,底面面积为 π ,则该圆锥的体积为__________. 14.已知光线通过点 M(﹣3,4),被直线 l:x﹣y+3=0 反射,反射光线通过点 N(2,6), 则反射光线所在直线的方程是__________. 15. 已知圆 C: x +y ﹣2x﹣5y+4=0, 以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点, 则适合上述条件的双曲线的标准方程为__________. 16.如图,椭圆 C: + =1(a>2),圆 O:x2+y2=a2+4,椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1,
2 2

F2 过椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 l 交圆 O 于 M,N 两点,若|PF1|?|PF2|=6,则|PM|?|PN|的值 为__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知圆 C 经过点(2,﹣1)和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=﹣2x 上,求圆 C 的标准 方程. 18.已知 p:x2﹣8x﹣20≤0;q:1﹣m2≤x≤1+m2. (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:PB⊥AD; (Ⅱ)若 PB= ,求点 C 到平面 PBD 的距离.

20.已知抛物线 y2=2px(p>0)焦点为 F,抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距离与其 到准线的距离相等. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设过点 P(6,0)的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 F,求直 线 l 的方程.

21.如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,AB=2,BC=1,DC= 四边形,DC⊥平面 ABC,

,四边形 DCBE 为平行

(1)求三棱锥 C﹣ABE 的体积; (2)证明:平面 ACD⊥平面 ADE; (3)在 CD 上是否存在一点 M,使得 MO∥平面 ADE?证明你的结论.

22.已知椭圆 C 的方程是

(a>b>0),点 A,B 分别是椭圆的长轴的左、右端点,

左焦点坐标为(﹣4,0),且过点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;



(Ⅱ)已知 F 是椭圆 C 的右焦点,以 AF 为直径的圆记为圆 M,试问:过 P 点能否引圆 M 的切 线,若能,求出这条切线与 x 轴及圆 M 的弦 PF 所对的劣弧围成的图形的面积;若不能,说明 理由.

2015-2016 学年江西省吉安一中高二(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知命题 p:? x∈R,x ﹣3x+2=0,则?p 为(
2

)

A.? x?R,x ﹣3x+2=0 B.? x∈R,x ﹣3x+2≠0
2 2

C.? x∈R,x2﹣3x+2=0

D.? x∈R,x2﹣3x+2≠0

【考点】四种命题;命题的否定. 【专题】常规题型. 【分析】根据命题 p:“? x∈R,x2﹣3x+2=0”是特称命题,其否定为全称命题,将“存在” 改为“任意的”,“=“改为“≠”即可得答案. 【解答】解:∵命题 p:“? x∈R,x ﹣3x+2=0”是特称命题
2

∴?p:? x∈R,x ﹣3x+2≠0
2

故选 D. 【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题.这里注意全称命题的否定为特 称命题,反过来特称命题的否定是全称命题,属基础题. 2.平行线 3x+4y﹣9=0 和 6x+my+2=0 的距离是( A. B.2 C. D. )

【考点】两条平行直线间的距离. 【专题】直线与圆. 【分析】利用两直线平行求得 m 的值,化为同系数后由平行线间的距离公式得答案. 【解答】解:由直线 3x+4y﹣9=0 和 6x+my+2=0 平行,得 m=8. ∴直线 6x+my+2=0 化为 6x+8y+2=0,即 3x+4y+1=0. ∴平行线 3x+4y﹣9=0 和 6x+my+2=0 的距离是 故选:B. 【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式,利用两平行线间的距离公式求距离时,一定 要化为同系数的方程,是基础的计算题. 3.已知实数 a,b,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( ) .

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】分别解出 2 >2 ,log2a>log2b 中 a,b 的关系,然后根据 a,b 的范围,确定充分条 件,还是必要条件. 【解答】解:2a>2b? a>b, 当 a<0 或 b<0 时,不能得到 log2a>log2b, 反之由 log2a>log2b 即:a>b>0 可得 2a>2b 成立. 故选:B. 【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点,必要条件、充分条件与充要条件的判断,是 基础题.
a b

4.设 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,下列命题中为真命题的是( A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B.若 m⊥α ,α ⊥β ,则 m∥β C.若 m⊥α ,α ⊥β ,则 m⊥β D.若 m⊥α ,m∥β ,则 α ⊥β

)

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择. 【解答】解:对于 A,若 m∥α ,n∥α ,则 m 与 n 平行、相交或者异面;故 A 错误; 对于 B,若 m⊥α ,α ⊥β ,则 m∥β 或者 m? β ;故 B 错误; 对于 C,若 m⊥α ,α ⊥β ,则 m 与 β 平行或者在平面 β 内;故 C 错误; 对于 D,若 m⊥α ,m∥β ,则利用线面垂直的性质和线面平行的性质可以判断 α ⊥β ;故 D 正确; 故选:D. 【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理;注意定理成立的条件. 5.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是(4,7,6),则点 M 关于 y 轴的对称点坐标为( A.(4,0,6) B.(﹣4,7,﹣6) C.(﹣4,0,﹣6) D.(﹣4,7,0) 【考点】空间中的点的坐标. 【专题】计算题;函数思想;空间位置关系与距离. )

【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征,点(x,y,z)关于 y 轴的对称点的坐标为只 须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可,即可得对称点的坐标. 【解答】解:∵在空间直角坐标系中, 点 M(x,y,z)关于 y 轴的对称点的坐标为:(﹣x,y,﹣z), ∴点 M(4,7,6)关于 y 轴的对称点的坐标为:Q(﹣4,7,﹣6). 故选:B. 【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识,考 查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 6.如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形,则原平面图形的面 积为( )

A.

a2 B.a2

C.2

a2

D.2a2

【考点】斜二测法画直观图. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 由斜二测画法的规则知在已知图形平行于 x 轴的线段, 在直观图中画成平行于 x′轴, 长度保持不变,已知图形平行于 y 轴的线段,在直观图中画成平行于 y′轴,且长度为原来一 半.由于 y′轴上的线段长度为 a,故在平面图中,其长度为 2 a,且其在平面图中的 y

轴上,由此可以求得原平面图形的面积. 【解答】解:由斜二测画法的规则知与 x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不 变,正方形对角线在 y′轴上, 可求得其长度为 a,故在平面图中其在 y 轴上,且其长度变为原来的 2 倍,长度为 2 = a,

∴原平面图形的面积为 故选:C.

【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图,其中斜二测画法的规则,能够快速的在直 观图面积和原图面积之间进行转化. 7.下列说法正确的是( )

A.命题“若 x<1,则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若 x≥1,则 x<﹣1 或 x≥1”

B.命题“? x∈R,e >0”的否定是“? x∈R,e ≤0”
x x

C.“a>0”是“函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件 D.已知命题 p:? x∈R,lnx<lgx;命题 q:? x0∈R,x03=1﹣x02,则“(¬p)∨(¬q)为 真命题”. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据复合命题以及函数的单调性分别对 A、B、C、D 各个选项进行判断即可. 【解答】解:命题“若 x<1,则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若 x<﹣1 或 x≥1,则 x≥1”, 故 A 错误; 命题“? x∈R,ex>0”的否定是“? x∈R,ex≤0,故 B 错误; 函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件是:a≥0,故 C 错误; 已知命题 p:? x∈R,lnx<lgx;由 lnx﹣lgx=lnx﹣ ∵1﹣ 真命题; 故不论命题¬q 真假,则“(¬p)∨(¬q)总为真命题,故 D 正确; 故选:D. 【点评】本题考查了复合命题的判断,考查函数的单调性问题,是一道综合题. 8.三棱锥 P﹣ABC 的侧棱 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=2,则三棱锥 P﹣ABC 的外 接球的体积是( A.2 π B.4 ) π C. π D.8 π =lnx(1﹣ ),

>0,∴x>1 时,lnx>lgx,0<x<1 时,lnx<lgx,故命题 p 是假命题,¬p 是

【考点】球的体积和表面积;球内接多面体. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图,则长方体的外接球同时也是 三棱锥 P﹣ABC 外接球.算出长方体的对角线即为球直径,结合球的表面积公式,可算出三棱 锥 P﹣ABC 外接球的体积. 【解答】解:以 PA、PB、PC 为过同一顶点的三条棱,作长方体如图 则长方体的外接球同时也是三棱锥 P﹣ABC 外接球. ∵长方体的对角线长为 2 ∴球直径为 2 ,半径 R= , ,

因此,三棱锥 P﹣ABC 外接球的体积是 π R = π ×( 故选:B.

3

) =4

3

π

【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直,求它的外接球的表面积,着重考查了长方体 对角线公式和球的表面积计算等知识,属于基础题. 9.圆 x2+y2﹣2x+4y=0 与 2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)的位置关系为( A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】观察动直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0(t∈R)可知直线恒过点(1,﹣2),然后判定点(1, ﹣2)在圆内,从而可判定直线与圆的位置关系. 【解答】解:直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0 恒过(1,﹣2) 而 1 +(﹣2) ﹣2×1+4×(﹣2)=﹣5<0 ∴点(1,﹣2)在圆 x +y ﹣2x+4y=0 内 则直线 2tx﹣y﹣2﹣2t=0 与圆 x +y ﹣2x+4y=0 相交 故选:C. 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定,解题的关键找出直线恒过的定点,属 于基础题. 10.设 F1,F2 是椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点,过点 F1,F2 作 x 轴的垂线交椭圆四点 )
2 2 2 2 2 2

)

构成一个正方形,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由题意推出椭圆上的点的坐标,代入椭圆方程,得到 abc 的关系,然后求解椭圆的 离心率即可. 【解答】解:F1,F2 是椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点,过点 F1,F2 作 x 轴的垂线交椭

圆四点构成一个正方形,所以(c,c)是椭圆上的点,可得:







a2c2﹣c4+a2c2=a4﹣a2c2, 可得 e ﹣3e +1=0.解得 e= 故选:B. 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,椭圆的离心率的求法,考查计算能力. 11.直线 l:y=kx﹣1 与圆 x +y =1 相交于 A、B 两点,则△OAB 的面积最大值为( A. B. C.1 D.
2 2 4 2

=



)

【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由题意可得,△OAB 的面积为 sin∠AOB,再根据正弦函数的值域,求得它的最大值. 【解答】解:由题意可得 OA=OB=1,△OAB 的面积为 OA?OB?sin∠AOB= sin∠AOB≤ , 故△OAB 的面积最大值为 , 故选:B. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,正弦函数的值域,属于基础题. 12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 各面中,面积最大的是( )

A.8

B.

C.12

D.16

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;函数思想;转化思想;空间位置关系与距离. 【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为 4 的正方体中的三棱锥,画出图形,求出各个 面积即可. 【解答】解:根据题意,得; 该几何体是如图所示的三棱锥 A﹣BCD, 且该三棱锥是放在棱长为 4 的正方体中, 所以,在三棱锥 A﹣BCD 中,BD=4 S△ABC= ×4×4=8. S△ADC= 连结 DE,则 CE= S△ABD= 故选:C. = ,DE= =12. ,AC=AB= =4 = ,AD= =6, E,

, S△DBC= ×4×4=8, 在三角形 ABC 中, 作 CE⊥ = ,

【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是由三视图还原为几何体, 是中档题. 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.若圆锥的侧面积为 2π ,底面面积为 π ,则该圆锥的体积为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题.



【分析】求出圆锥的底面周长,然后利用侧面积求出圆锥的母线,求出圆锥的高,即可求出 圆锥的体积. 【解答】解:根据题意,圆锥的底面面积为 π ,则其底面半径是 1,底面周长为 2π , 又 , , .

∴圆锥的母线为 2,则圆锥的高 所以圆锥的体积 × 故答案为 . ×π =

【点评】本题是基础题,考查圆锥的有关计算,圆锥的侧面积,体积的求法,考查计算能力. 14.已知光线通过点 M(﹣3,4),被直线 l:x﹣y+3=0 反射,反射光线通过点 N(2,6), 则反射光线所在直线的方程是 y=6x﹣6. 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程. 【专题】直线与圆. 【分析】求出 M 关于 x﹣y+3=0 的对称点的坐标,利用两点式方程求出反射光线所在的直线方 程. 【解答】解:∵光线通过点 M(﹣3,4),直线 l:x﹣y+3=0 的对称点(x,y),





,K(1,0),

∵N(2,6), ∴MK 的斜率为 6, ∴反射光线所在直线的方程是 y=6x﹣6, 故答案为:y=6x﹣6,

【点评】对称点的坐标的求法:利用垂直平分解答,本题是通过特殊直线特殊点处理,比较 简洁,考查计算能力. 15. 已知圆 C: x +y ﹣2x﹣5y+4=0, 以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点, 则适合上述条件的双曲线的标准方程为 y2﹣ 【考点】双曲线的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意求得双曲线的顶点、焦点的坐标,可得 b 的值,再根据双曲线的标准方程的 特征求出双曲线的标准方程. 【解答】解:根据圆 C:x +y ﹣2x﹣5y+4=0,可得它与坐标轴的交点分别为 A(0,1),B(0, 4), 故要求的双曲线的顶点为 A(0,1),焦点为 B(0,4), 故 a=1,c=4 且焦点在 y 轴上,∴b= 故要求的双曲线的标准方程为 y2﹣ 故答案为:y2﹣ =1. =1, = ,
2 2 2 2

=1.

【点评】本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于基础 题. 16.如图,椭圆 C: + =1(a>2),圆 O:x +y =a +4,椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1,
2 2 2

F2 过椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 l 交圆 O 于 M,N 两点,若|PF1|?|PF2|=6,则|PM|?|PN|的值 为 6.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;转化思想;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设出 P 的坐标,把 P 的纵坐标用横坐标表示,然后由焦半径公式及|PF1|?|PF2|=6, 求得 P 的横纵坐标的平方和,由对称性得到|PM|?|PN|=a +4﹣|OM| =a +4﹣x0 ﹣y0 ,代入横纵 坐标的平方和后整理得答案. 【解答】解:设 P(x0,y0), ∵P 在椭圆上,∴ + =1,则 y0 =4(1﹣
2 2 2 2 2 2

),

∵|PF1|?|PF2|=6,∴(a+ex0)(a﹣ex0)=6,e2=



即 x02=



由对称性得|PM|?|PN|=a2+4﹣|OP|2=a2+4﹣x02﹣y02 =a +4﹣ 故答案为:6. 【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了焦半径公式的应用,考查了计算能力,是 中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2

﹣4+

=6.

17.已知圆 C 经过点(2,﹣1)和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=﹣2x 上,求圆 C 的标准 方程. 【考点】圆的标准方程. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】设出圆心 C 的坐标为(a,﹣2a),利用圆经过 A(2,﹣1),和直线 x+y=1 相切, 列出关于 a 的方程,求出方程的解即可得到 a 的值,由 a 的值可确定出圆心坐标及半径,然 后根据圆心和半径写出圆的方程即可. 【解答】解:因为圆心 C 在直线 y=﹣2x 上,可设圆心为 C(a,﹣2a). 则点 C 到直线 x+y=1 的距离 d= 据题意,d=|AC|,则( ∴a ﹣2a+1=0 ∴a=1. ∴圆心为 C(1,﹣2),半径 r=d=
2 2

)2=(a﹣2)2+(﹣2a+1)2,


2

∴所求圆的方程是(x﹣1) +( y+2) =2. 【点评】本题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,考查点到直线的距离公式及两点 间的距离公式,充分运用圆的性质是关键. 18.已知 p:x ﹣8x﹣20≤0;q:1﹣m ≤x≤1+m . (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件,求 m 的取值范围; (Ⅱ)若¬p 是¬q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】(Ⅰ)求出 p,q 成立的等价条件,根据 p 是 q 的必要条件,建立条件关系即可. (Ⅱ)利用¬p 是¬q 的必要不充分条件,即 q 是 p 的必要不充分条件,建立条件关系进行求 解即可. 【解答】解:由 x2﹣8x﹣20≤0 得﹣2≤x≤10,即 p:﹣2≤x≤10, 由 x2+2x+1﹣m2≤0 得≤0, q:1﹣m2≤x≤1+m2. (Ⅰ)若 p 是 q 的必要条件,
2 2 2

则 解得 ≤m≤

,即 ,

,即 m2≤3,

即 m 的取值范围是. (Ⅱ)∵¬p 是¬q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件. 即 ,即 m2≥9,解得 m≥3 或 m≤﹣3.

即 m 的取值范围是 m≥3 或 m≤﹣3. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用逆否命题的等价性将¬p 是¬q 的必 要不充分条件转化为 q 是 p 的必要不充分条件,是解决本题的关键. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:PB⊥AD; (Ⅱ)若 PB= ,求点 C 到平面 PBD 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】(Ⅰ)取 AD 的中点 O,连接 OP,OB,证明 AD⊥平面 OPB,即可证明 PB⊥AD; (Ⅱ)证明 OP⊥平面 CBD,利用等体积求点 C 到平面 PBD 的距离. 【解答】(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 O,连接 OP,OB,则 ∵四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA,∠BAD=60°, ∴OP⊥AD,OB⊥AD, ∵OP∩OB=O, ∴AD⊥平面 OPB, ∵PB? 平面 OPB, ∴PB⊥AD; (Ⅱ)解:∵PA=PD=DA=2,

∴OP=OB= ∵PB= ,



∴OP2+OB2=PB2, ∴OP⊥OB, ∵OP⊥AD,AD∩OB=O, ∴OP⊥平面 CBD, △PBD 中,PD=BD=2,PB= ,∴S△PBD= = = = .

设点 C 到平面 PBD 的距离为 h,则

【点评】本题考查线面垂直的判定与性质,考查点到平面距离的计算,考查体积的计算,属 于中档题. 20.已知抛物线 y =2px(p>0)焦点为 F,抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距离与其 到准线的距离相等. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)设过点 P(6,0)的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 F,求直 线 l 的方程.
2

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)确定抛物线上横坐标为 的点的坐标为( , ),利用抛物线上横坐标

为 的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等,求出 p,即可求抛物线的方程;

(Ⅱ)设直线 l:x=my+6,代入 y =4x 得,y ﹣4my﹣24=0,利用以 AB 为直径的圆过点 F,可 得 FA⊥FB,即 =0,可得:(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=0,即可求直线 l 的方程. ),到抛物线顶点的距离

2

2

【解答】解:(Ⅰ)抛物线上横坐标为 的点的坐标为( , 的平方为 ,

∵抛物线上横坐标为 的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等, ∴ ∴p=2 抛物线的方程为:y =4x.? (Ⅱ)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴 可设直线 l:x=my+6,代入 y2=4x 得,y2﹣4my﹣24=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=﹣24, ∵以 AB 为直径的圆过点 F,∴FA⊥FB,即 可得:(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=0 ∴(1+m )y1y2+5m(y1+y2)+25=0 ∴﹣24(1+m )+20m +25=0, 解得:m=± , ∴直线 l:x=± y+6,即 l:2x±y﹣12=0.? 【点评】本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量知识的运用,考 查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 21.如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,AB=2,BC=1,DC= 四边形,DC⊥平面 ABC, (1)求三棱锥 C﹣ABE 的体积; (2)证明:平面 ACD⊥平面 ADE; (3)在 CD 上是否存在一点 M,使得 MO∥平面 ADE?证明你的结论. ,四边形 DCBE 为平行
2 2 2 2

=( + )2,

=0

【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】(1)根据图形可看出,三棱锥 C﹣ABE 的体积等于三棱锥 E﹣ABC,容易得出 BE⊥平 面 ABC,即 BE 是三棱锥 E﹣ABC 的高.并且容易知道底面△ABC 是直角三角形,根据已知的边 的长度即可求△ABC 的面积,高 BE= ,所以根据三棱锥的体积公式即可求出三棱锥 E﹣ABC

的体积,也就求出了三棱锥 C﹣ABE 的体积; (2)根据已知条件容易证明 BC⊥平面 ACD,又 DE∥BC,所以 DE⊥平面 ACD,DE? 平面 ADE, ∴平面 ACD⊥平面 ADE; (3)要找 M 点使 MO∥平面 ADE,只要找 OM 所在平面,使这个平面和平面 ADE 平行,容易发 现这个平面是:分别取 DC,EB 中点 M,N,连接 OM,MN.ON,则平面 MON 便是所找平面,容 易证明该平面与平面 ADE 平行,所以 MO∥平面 ADE. 【解答】解:(1)如图,根据图形知道,三棱锥 C﹣ABE 的体积等于三棱锥 E﹣ABC 的体积; ∵四边形 DCBE 为平行四边形,∴EB∥DC,又 DC⊥平面 ABC,∴EB⊥平面 ABC; AB 是圆 O 的直径,∴∠ACB=90°,AC= ∴ ,BE= = ; ;

(2)DC⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,∴DC⊥BC,⊥即 BC⊥DC,又 BC⊥AC,DC∩AC=C; ∴BC⊥平面 ACD,DE∥BC; ∴DE⊥平面 ACD,DE? 平面 ADE; ∴平面 ADE⊥平面 ACD,即平面 ACD⊥平面 ADE; (3)在 CD 上存在一点 M,是 CD 的中点,使得 MO∥平面 ADE,下面给出证明; 证明:取 DC 中点 M,EB 中点 N,连接 OM,MN,ON,∵O,M,N 三点是中点,∴MN∥DE,ON∥AE; ∵AE,DE? 平面 ADE,ON,MN?平面 ADE; ∴MN∥平面 ADE,ON∥平面 ADE,MN∩ON=N;

∴平面 MON∥平面 ADE,MO? 平面 MON; ∴MO∥平面 ADE;

【点评】考查三棱锥的体积公式,线面垂直的性质,线面垂直的判定定理,面面垂直的判定 定理,中位线的性质,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行的性质. 22.已知椭圆 C 的方程是 (a>b>0),点 A,B 分别是椭圆的长轴的左、右端点,

左焦点坐标为(﹣4,0),且过点 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;



(Ⅱ)已知 F 是椭圆 C 的右焦点,以 AF 为直径的圆记为圆 M,试问:过 P 点能否引圆 M 的切 线,若能,求出这条切线与 x 轴及圆 M 的弦 PF 所对的劣弧围成的图形的面积;若不能,说明 理由.

【考点】圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程. 【专题】综合题. 【分析】(Ⅰ)由题设知 a2=b2+16,即椭圆的方程为 ,由点

在椭圆上,知

,由此能求出椭圆 C 的标准方程.

(Ⅱ)由 A(﹣6,0),F(4,0), ,所以

,知



,以 AF 为直径的圆 M 必过点 P,因此,过 P 点

能引出该圆 M 的切线, 设切线为 PQ, 交 x 轴于 Q 点, 又 AF 的中点为 M (﹣1, 0) , 则显然 PQ⊥PM, 由此能求出所求的图形面积. 【解答】解:(Ⅰ)因为椭圆 C 的方程为 ,(a>b>0),∴a2=b2+16,

即椭圆的方程为

,∵点

在椭圆上,


2 2


2

解得 b =20 或 b =﹣15(舍),由此得 a =36, 所以,所求椭圆 C 的标准方程为 .

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知A (﹣6, 0) , (4, F 0) , 又

, 则得



所以

,即∠APF=90°,△APF 是 Rt△,所以,以 AF 为直径的圆 M 必过点 P,因此,

过 P 点能引出该圆 M 的切线,设切线为 PQ,交 x 轴于 Q 点,又 AF 的中点为 M(﹣1,0),则 显然 PQ⊥PM,



,所以 PQ 的斜率为



因此,过 P 点引圆 M 的切线方程为: 令 y=0,则 x=9,∴Q(9,0),又 M(﹣1,0), 所以
MPF

,即

, .

因此,所求的图形面积是 S=S△PQM﹣S 扇形

=

【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地 进行等价转化.


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