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高中数学全程学习方略配套课件:2.3.2等差数列习题课(人教A版必修5)

高中数学全程学习方略配套课件:2.3.2等差数列习题课(人教A版必修5)


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已知Sn求通项公式an
【名师指津】数列前n项和Sn与通项公式an的关系. 已知数列{an}的通项公式an就可以求数列{an}的前n项和Sn;反 过来,若已知数列{an}的前n项和Sn也可以求数列{an}的通项公 式a n. ∵Sn=a1+a2+a3+…+an,∴Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2), 在n≥2的条件下,把上面两式相减可得: an=Sn-Sn-1(n≥2),当n=1时,a1=S1,所以an= ? ?
?Sn ? Sn ?1?????? n ? 2 ? S1?????(n ? 1) .

【特别提醒】an=Sn-Sn-1只对n≥2的正整数成立.由Sn求通项公 式an时,要分n=1和n≥2两种情形,然后验证两种情况可否用 统一解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示 .

【例1】已知数列{an}的前n项和为Sn,且当n∈N*时满足 Sn=-3n2+6n,求数列{an}的通项公式an. 【审题指导】题目中给出了数列的前n项和Sn的表达式,欲 求此数列{an}的通项公式an,可利用an=Sn-Sn-1(n≥2),然 后再验证当n=1时是否成立,可否用统一解析式表示,即可 求解.

【规范解答】当n=1时,a1=S1=3,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-3n2+6n)-[-3(n-1)2+6(n-1)]=9-6n,

a1=3符合此式.
∴an=9-6n(n∈N*).

求数列{|an|}的前n项和
【名师指津】求数列{|an|}的前n项和的方法策略. 等差数列各项取绝对值后组成的数列{|an|}的前n项和,可分 为以下情形: (1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|} 就等于数列{an},可以直接求解. (2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非

负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段
处理.

(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负 数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理. 总之,解决此类问题的关键是找到数列{an}的正负界点. 【特别提醒】对于含有正、负项的等差数列{an},一定要明确 从哪项开始为正或从哪项开始为负.

【例2】已知等差数列{an}中,S2=16,S4=24,求数列{|an|} 的前n项和An. 【审题指导】题目中给出的数列{an}是等差数列,且S2=16,

S4=24,由此可先求得首项和公差,即可得通项公式 an,欲求
数列{|an|}的前n项和An,关键是先判断出{an}中哪些项是负

的,然后再分段求出前n项的绝对值之和.

【规范解答】设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
2 ?1 ? 2a ? d ? 16 1 ? 2 由已知列方程组 ? , ? 4 ? 3 ? 4a ? d ? 24 1 ? 2 ?

解得a1=9,d=-2,∴an=11-2n.

令an<0,得11-2n<0,即n>5.5. 设Sn表示数列{an}的前n项和, ∴当n≤5时,an>0,An=Sn=-n2+10n;

当n≥6时,an<0, An=a1+a2+a3+a4+a5-a6-a7-…-an =a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+an) =2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+…+an) =2S5-Sn=2×(-52+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50
? ? n 2 ? 10n, n ? 5 ? ∴An= ? 2 . ? ? n ? 10n ? 50, n ? 6

等差数列在实际问题中的应用 【名师指津】利用等差数列的知识解决实际问题的方法策略. 利用转化思想将实际应用题转化为等差数列求和问题.对于此类 有关数列的应用问题,应首先通过对实际问题的研究建立数列 的数学模型,最后求出实际答案,一般可从以下几步考虑:

【例】从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日

该款服装售出10件,第二天售出25件,第三天售出40件,以
后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12日日销售量达到 最大,然后,每天售出的件数分别递减10件. (1)记从4月1日起该款服装日销售量为an,销售天数为 n,1≤n≤30,求an与n的关系;

(2)求4月份该款服装的总销售量; (3)按规律,当该商场销售此服装超过1 200件时,社会上就 开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于100 件时,则此服装在社会上不再流行.试问:该款服装在社会上 流行的时间是否超过10天?说明理由.

【审题指导】由题意分析可知,求总销售量问题可转化为
等差数列求和问题,总体解题思路可归结为以下形式:

【规范解答】(1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列 {an}. 由题意知,数列a1,a2,…,a12是首项为10,公差为15的等差数 列,∴an=15n-5(1≤n≤12且n∈N*).

而a13,a14,a15,…,a30是首项为a13=a12-10=165,
公差为-10的等差数列,

∴an=165+(n-13)×(-10)=-10n+295(13≤n≤30且n∈N*).
∴an= ?
?15n ? 5,1 ? n ? 12且n ? N * . ? 10n ? 295,13 ? n ? 30 且 n ? N * ?

(2)4月份该款服装的总销售量为
12 ? a1 ? a12 ? ? 2 12 ? ?10 ? 175? 2

+18a13+

? 30 ? 12 ? ? ? 30 ? 12 ? 1? ? ? ?10 ?
2 18 ?17 ? ? ?10 ? 2

? 18 ?165 ?

=2 550(件).

(3)4月1日至4月12日的销售总量为
12 ? a1 ? a12 ? 2 ? 12 ? ?10 ? 175 ? 2

=1 110<1 200,

∴4月12日前该款服装在社会上还没有流行 . 由-10n+295<100,得n> 39 ,
2

∴第20天该款服装在社会上不再流行. ∴该款服装在社会上流行没有超过10天.

【典例】(12分)有两个等差数列{an},{bn},其前n项和分
a 别为Sn和Tn,若 Sn ? 7n ? 2 , 求 5.
Tn n ?3

b5

【审题指导】由题目可知两个数列都为等差数列以及其前 n
a5 的值,可充分利用等差数列前 b5 n项和公式及等差中项的关系转化为 Sn 的关系. Tn

项和Sn和Tn的比值,欲求

【规范解答】方法一:
a 5 2a 5 ? b5 2b5
9 ? a1 ? a 9 ? a1 ? a 9 2 ? ? b1 ? b9 9 ? b1 ? b9 ? 2 S 7?9 ? 2 ? 9 ? T9 9?3 65 ? . 12
…………………………………………3分

……………………………………6分

………………………………………… 9分 …………………………………………12分

方法二:因为 Sn ? 7n ? 2 ,
Tn n ?3

…………………3分

所以设Sn=(7n+2)kn,Tn=(n+3)kn,k≠0, …………………6分 ∴a5=S5-S4=65k,b5=T5-T4=12k, ∴ a 5 ? 65k ? 65 .
b5 12k 12
………………… 9分

……………………………………12分

【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下:

1.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为(
(A)15 (B)16 (C)49 (D)64

)

【解析】选A.a8=S8-S7=64-49=15.

2.已知数列{an} 为等差数列,a1=35,d=-2,Sn=0,则n等于 ( (A)33 (B)34 (C)35
n ? n ? 1? 2 d =0,

)

(D)36

【解析】选D.Sn=na1+

∴35n-n(n-1)=0,得n=36.

3.数列{an}为等差数列,an=11,d=2, Sn=35,则a1等于(

)

(A)5或7
(C)7或-1

(B)3或5
(D)3或-1

【解析】选D.由已知得
?a1 ? d ? n ? 1? ? 11, ? 从而a1=3或a1=-1. ? n ? n ? 1? d ? 35, ? na1 ? 2 ?

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5=_______.
( 5 a1 ? a 5) 5 ? a 2 ? a 4 ? 5 ? 6 【解析】S5= =15. ? ? 2 2 2

答案:15

5.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,若
a9 Sn 2n ? 3 求 的值. ? , b9 Tn 3n ? 1

【解析】方法一:
a 9 2a 9 a1 ? a17 ? ? b9 2b9 b1 ? b17 17 ? a1 ? a17 ? S 2 ?17 ? 3 37 2 ? ? 17 ? ? . 17(b1 ? b17) T17 3 ?17 ? 1 50 2 2n ? 3 所以设Sn=(2n+3)kn, ? , 3n ? 1

方法二:因为 Sn

Tn

Tn=(3n-1)kn,k≠0,∴a9=S9-S8=37k. b9=T9-T8=50k.∴ a 9 ? 37k ? 37 .
b9 50k 50


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