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2.3 变量间的相关关系 课件(人教A版必修3)

2.3 变量间的相关关系 课件(人教A版必修3)


第二章





2. 3

变量间的相关关系

第二章





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学习目标

重点难点 重点: 求回归直线的方程. 难点: 变量的相关关系.

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第二章





新知初探·思维启动
1. 变量之间的相关关系及其判断 (1)变量之间的相关关系 ①相关概念 变量之间常见的关系有如下两类: 函数关系 a. 一类是__________ 变量之间的关系可以 用函数表示.

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例如, 圆的面积S与半径r之间就是函数关 系, 可以用函数S=πr2表示. 相关关系 b. 一类是____________, 变量之间有一定

的联系, 但不能完全用函数来表示. 例如,
人的体重y与身高x有关. 一般来说, 身高越 高, 体重越重, 但不能找到一个函数来严格 地表示身高与体重之间的关系.

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②函数关系与相关关系的区别与联系
关系 函数关系 a.函数关系中两个变量之间是一种 确定性关系 _________________; b.函数关系是

区别 一种因果关系, 有这样的因, 必有那
样的果. 例如, 圆的半径由1增大为2 时, 圆的面积必然由π增加到4π

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关系 相关关系 非确定性 a.相关关系是一种____________ 关系; b.相关关系不一定是因果关 系, 也可能是伴随关系. 例如, 学习 态度差, 数学成绩与物理成绩都很 差. 这时数学成绩与物理成绩就是 伴随关系

区别

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关系

函数关系

相关关系

a.在一定条件下可以相互转化. 对于

具有相关关系的两个变量来说, 求得
其回归方程后, 又可以用一种确定性 联系 的关系对变量的取值进行估计; b.从

某种意义上讲, 函数关系是一种理想
的关系模型, 而相关关系是一种更为 一般的情况

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(2)两个变量相关关系的判断
①散点图的概念 将样本中n个数据点(xi, yi)(i=1,2, …, n)描 在平直角坐标系中得到的图形. ②正相关与负相关

a. 正相关: 散点图中的点散布在从左下角
到右上角的区域. b. 负相关: 散点图中的点散布在从左上角 到右下角的区域.

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做一做
1.下列变量之间的关系不是相关关系的是 ( )

A. 二次函数y=ax2+bx+c中, a, c是已知 常数, 取b为自变量, 因变量是判别式

Δ=b2-4ac
B. 光照时间和果树亩产量 C. 降雪量和交通事故发生率

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D. 每亩田施肥量和粮食亩产量 解析: 选A.在A中, 若b确定, 则a, b, c都是常 数, Δ=b2-4ac也就唯一确定了, 因此, 这两

者之间是确定性的函数关系; 一般来说, 光
照时间越长, 果树亩产量越高; 降雪量越大, 交通事故发生率越高; 施肥量越多, 粮食亩 产量越高. 所以B, C, D是相关关系. 故选A.

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2. 回归直线的相关概念
(1)回归直线: 如果散点图中点的分布从整 体上看大致在一条直线附近, 就称这两个 变量之间具有线性相关关系, 这条直线叫 做回归直线.

(2)回归方程: 回归直线对应的方程叫回归
直线的方程, 简称回归方程.

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^ ^ 方程为y =b x+a.

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(3)最小二乘法

? ?yi-bxi-a?2的最小值而得出回 通过求 Q=
i =1

n

归直线的方法, 即求回归直线, 使得样本数据 的点到它的距离的平方和最小, 这一方法叫

最小二乘法 做__________________

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做一做
^ ^ ^ 2.下列有关回归方程y =b x+a 的叙述正确 的是( )

^ ①反映y 与 x 之间的函数关系; ②反映 y 与 x 之间的函数关系; ^ ③表示y 与 x 之间的不确定关系;

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④表示最接近y与x之间真实关系的一条
直线. A. ①② C. ③④ B. ②③ D. ①④

^ ^ ^ ^ 解析: 选 D.y =b x+a 表示y 与 x 之间的函数关 系, 而不是 y 与 x 之间的函数关系. 但它所反 映的关系最接近 y 与 x 之间的真实关系. 故选 D.

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想一想
求线性回归方程时应注意的问题是什么? 提示: (1)求线性回归方程时, 应注意只有在 散点图大致呈线性相关时, 求出的线性回 归方程才有实际意义, 因此, 对数据作线性

回归分析时, 应先看其散点图是否呈线性
相关关系.

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(2)求线性回归方程, 关键在于正确地求出 系数a、b, 由于求a、b的计算量较大, 计算

时应仔细谨慎、分层进行, 避免因计算产
生失误. (3)得到的试验数据不同, 则a、b的结果也 不尽相同.

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典题例证·技法归纳
题型探究

题型一
例1

相关关系的判断

以下是在某地搜集到的不同楼盘

新房屋的销售价格y(单位: 万元)和房屋面 积x(单位: m2)的数据:

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房屋面积x(m2)

115 110

80

135 105

销售价格y(万元)

24.8 21.6 19.4 29.2 22

(1)画出数据对应的散点图; (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之

间是否具有相关关系?如果有相关关系,
是正相关还是负相关?

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【解】

(1)数据对应的散点图如图所示.

(2)通过以上数据对应的散点图可以判断,
新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有 相关关系, 且是正相关.

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【名师点评】
两个随机变量x和y相关关系的确定方法: (1)散点图法: 通过散点图, 观察它们的分布 是否存在一定规律, 直观地判断; (2)表格、关系式法: 结合表格或关系式进

行判断;
(3)经验法: 借助积累的经验进行分析判断.

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变式训练 1. 观察两相关变量得如下数据:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y -9 -7 -5 -3 -1 1 5 3 7 9

画出散点图, 判断它们是否有线性相关关 系.

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解: 由数据可得相应的散点图(如图所示):
由散点图可知, 两者之间不具有线性相关 关系.

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题型二
例2

求回归直线方程

(本题满分12分)下表提供了某厂节

能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录 的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)

的几组对照数据:
x
y

3
2.5

4
3

5
4

6
4.5

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(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求 ^ ^ ^ 出 y 关于 x 的线性回归方程y =b x+a ; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗 为 90 吨标准煤. 试根据(2)求出的线性回归方 程, 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改 前降低了多少吨标准煤?(参考数值: 3×2.5+ 4×3+5×4+6×4.5=66.5)

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【思路点拨】 ^ ^ (1)在坐标系内描点即可; (2)利用公式求b 与a ; (3)将 x=100 代入线性回归方程, 求出技改后 生产能耗估计值, 再求技改前后能耗差即可.

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【解】

(1)散点图如图: 4分

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3+4+5+6 (2) x = =4.5, 4 2.5+3+4+4.5 y= =3.5, 4

i =1 4

?xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5, ?x2=32+42+52+62=86, 6 分 i

4

i =1

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^ ∴b =

i =1

? xiyi-4 x ·y ? x2-4 x i
4 2

4

66.5-4×3.5×4.5 = 86-4×4.52

i =1

=0.7, ^ ^ a = y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. ^ ∴所求的线性回归方程为y =0.7x+0.35.8 分

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(3)当x=100时, y=0.7×100+0.35=70.35 (吨), 90-70.35=19.65(吨). 即生产100吨甲 产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标

准煤.

12分

名师微博 你知道吗?这是估计值, 不一定是真实值

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【名师点评】 求线性回归直线方程的步骤如下: (1)列表表示 xi, yi, xiyi; (2)计算 x , y , ?
n 2 x i , x i yi ; i =1 i =1 n

?

(3)代入公式计算 b, a 的值; (4)写出线性回归直线方程.

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互动探究 2. 如果把本题中的y的值: 2.5及4.5分别改 为2和5, 如何求回归直线方程.
解: 散点坐标分别为(3,2), (4,3), (5,4), (6,5). 3-2 可验证这四点共线, 斜率 k= =1, 4-3 ∴直线方程为 y-2=x-3, 即 y=x-1.

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题型三
例3

利用回归方程估计总体

2012年元旦前夕, 某市统计局统计

了该市2010年10户家庭的年收入和年饮食
支出的统计资料如下表:
年收入x(万元) 2 4 1.4 4 1.6 6 2.0

年饮食支出y(万元) 0.9

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年收入x(万元) 年饮食支出y (万元)

6

6

7

7

8

10

2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3

(1)如果已知 y 与 x 是线性相关的, 求回归方 程; (2)若某家庭年收入为 9 万元, 预测其年饮食 支出. (参考数据: ?xiyi=117.7, ? x2=406) i
i =1 i =1 10 10

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【解】

(1)散点图如图:由散点图可知, 年

收入越高, 年饮食支出越高, 图中点的趋势 表明两个变量间也确实存在着线性相关关 系.

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依题意可计算得: x =6, y =1.83, x 2=36, x y =10.98,
10

又∵ ? xiyi=117.7,
i =1

i =1

? x2=406, i

10

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i =1

?xiyi-10 x ?xi2-10 x 2
10

10

y ≈0.17,

∴b=
i =1

a= y -b x =0.81, ^ ∴y =0.17x+0.81. ^ ∴所求的回归方程为y =0.17x+0.81.

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^ (2)当 x=9 时, y =0.17×9+0.81=2.34(万元). 可估计大多数年收入为 9 万元的家庭每年饮 食支出约为 2.34 万元.

【名师点评】

(1)回归分析是寻找相关

关系中非确定性关系的某种确定性. (2)利用回归直线对总体进行估计, 关键在

于正确地求出回归方程的系数, .由于, 的
计算量大, 可借助计算器或计算机, 计算时 要仔细, 避免计算失误.
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变式训练 3. 假设关于某设备的使用年限x和所支出

的维修费用y(单位: 万元)有如下的统计资
料:
使用年限x 2 3
3.8

4
5.5

5
6.5

6
7.0

维修费用y 2.2

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若由资料知y对x呈线性相关关系. 试求:
^ ^ ^ ^ ^ (1)回归方程y =b x+a 的系数a , b ; (2)使用年限为 10 年时, 试估计维修费用是多 少.

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解: (1)列表如下:
i xi yi xiyi x 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9
n

3 4 5.5 22.0 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

x =4, y =5, ?

n 2 xi =90, xiyi=112.3 i =1 i =1

?

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^ b=

i =1

?xiyi-5-- x y ?xi2-5 x
5 2

5

112.3-5×4×5 = =1.23, 90-5×42

i =1

^ ^ a = y -b x =5-1.23×4=0.08.

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^ (2)回归方程是y =1.23x+0.08, ^ 当 x=10 时, y =1.23×10+0.08=12.38(万 元), 即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元.

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备选例题
1. 下列选项中的两个变量, 具有相关关系 的是( )

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解析: 选B.由图易知, A、C描述的是函数关 系, B、D是散点图, 只有B中两个变量成正 相关关系.

2. (2010· 高考广东卷)某市居民2005~2009
年家庭年平均收入x(单位: 万元)与年平均 支出Y(单位: 万元)的统计资料如下表所示:

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年份 收入x 支出Y

2005

2006

2007

2008

2009

11.5
6.8

12.1
8.8

13
9.8

13.3
10

15
12

根据统计资料, 居民家庭年平均收入的中 位数是________, 家庭年平均收入与年平

均支出有________线性相关关系.

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解析: 把居民家庭的年平均收入按从小到
大的顺序排, 依次为: 11.5,12.1,13,13.3,15, 由中位数的定义知, 年平均收入的中位数 是13万元. 由统计资料可以看出, 当年平均 收入增多时, 年平均支出也增多, 因此家庭

年平均收入与年平均支出有正线性相关关
系. 答案: 13 正

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3. (2011· 高考安徽卷)某地最近十年粮食需 求量逐年上升, 下表是部分统计数据:
年份 需求量 (万吨) 2002 236 2004 2006 2008 2010 246 257 276 286

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(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回 ^ 归直线方程y =bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.

解: (1)由所给数据看出, 年需求量与年份之 间是近似直线上升的, 对数据预处理如下:

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年份-2006

-4

-2 -11

0 0

2 19

4 29

需求量-257 -21

对预处理后的数据, 容易算得 x =0, y =3.2. ^ ?-4?×?-21?+?-2?×?-11?+2×19+4×29 b= 42+42+42+42 260 = =6.5, 40

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^ ^ a = y -b x =3.2. 由上述计算结果, 知所求回归直线方程为 ^ ^ ^ y -257=b (x-2006)+a =6.5(x-2006)+3.2, ^ 即y =6.5(x-2006)+260.2.① (2)利用直线方程①, 可预测 2012 年的粮食需 求量为 6. 5×(2012-2006)+260.2=6.5×6+260.2= 299.2(万吨).

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方法感悟
方法技巧 1. 两个变量x和y相关关系的确定方法: (1)散点图法: 通过散点图, 观察它们的分布

是否存在一定规律, 直观地判断;
(2)表格、关系式法: 结合表格或关系式进 行判断;

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(3)经验法: 借助积累的经验进行分析判断. (如例1)

2. 回归分析是寻找相关关系中非确定性关
系的某种确定性. (如例3)

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失误防范
1. 利用散点图判定两个变量是否具有线性 相关关系, 注意不要受个别点的位置的影 响. 2. 求回归直线方程, 关键在于正确地求出

系数a, b, 由于a, b的计算量大, 计算时要仔
细, 避免计算失误.

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