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浙江专版2018高考数学一轮复习第5章数列热点探究训练3数列中的高考热点问题

浙江专版2018高考数学一轮复习第5章数列热点探究训练3数列中的高考热点问题

热点探究训练(三)
(1)求数列{an}的通项公式;

数列中的高考热点问题

1.已知数列{an}是等比数列,a2=4,a3+2 是 a2 和 a4 的等差中项.

(2)设 bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)设数列{an}的公比为 q, 因为 a2=4,所以 a3=4q,a4=4q .2 分 因为 a3+2 是 a2 和 a4 的等差中项,所以 2(a3+2)=a2+a4. 即 2(4q+2)=4+4q ,化简得 q -2q=0. 因为公比 q≠0,所以 q=2. 所以 an=a2q
n-2
2 2 2

=4×2

n-2

=2 (n∈N ).6 分

n

*

(2)因为 an=2 ,所以 bn=2log2an-1=2n-1, 所以 anbn=(2n-1)2 ,7 分 则 Tn=1×2+3×2 +5×2 +…+(2n-3)2
2 3 4 2 3

n

n

n-1

+(2n-1)2 ,①
n+1

n

2Tn=1×2 +3×2 +5×2 +…+(2n-3)2 +(2n-1)2
2 3

n

.②
n+1

由①-②得,-Tn=2+2×2 +2×2 +…+2×2 -(2n-1)2 4?1-2 ? n+1 =2+2× -(2n-1)2 1-2 =-6-(2n-3)2
n+1 n-1

n


n+1

所以 Tn=6+(2n-3)2

.14 分

2.已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an} 的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= 3
*

anan+1

,试求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
2

[解] (1)设二次函数 f(x)=ax +bx(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 由 f′(x)=6x-2,得 a=3,b=-2, 所以 f(x)=3x -2x.2 分 又因为点(n,Sn)(n∈N )均在函数 y=f(x)的图象上, 所以 Sn=3n -2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n -2n-[3(n-1) -2(n-1)]=6n-5; 当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2×1=6×1-5, 所以 an=6n-5(n∈N ).6 分
* 2 2 2 2 * 2

1

(2)由(1)得 bn=

3 = anan+1 ?6n-5?[6?n+1?-5]

3

1 ? 1? 1 - = ? ?,10 分 2?6n-5 6n+1? 故 Tn= 1 ?? 1?? 1? ?1 1 ? ? 1 ??1- ?+? - ?+…+?6n-5-6n+1??= 2?? 7? ?7 13? ? ?? 1 ? 1? 3n .14 分 ?1- ?= 2? 6n+1? 6n+1 3.(2017·宁波镇海中学模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,S3=6.正项 数列{bn}满足 b1·b2·b3·…·bn=2Sn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 λ bn>an,对 n∈N 均成立,求实数 λ 的取值范围. [解] (1)∵等差数列{an}中,a1=1,S3=6, ∴d=1,故 an=n.2 分 由?
?b1·b2·b3·…·bn=2Sn,① ? ?b1·b2·b3·…·bn-1=2Sn-1, ?
n
*



①÷②得 bn=2Sn-Sn-1=2an=2 (n≥2),

b1=2S1=21=2,满足通项公式,故 bn=2n.6 分
(2)λ bn>an 恒成立,即 λ > n恒成立,8 分 2

n

n cn+1 n+1 设 cn= n,则 = , 2 cn 2n
当 n≥1 时,cn+1≤cn,{cn}单调递减, 1 1 ?1 ? ∴(cn)max=c1= ,故 λ > ,∴λ 的取值范围是? ,+∞?.14 分 2 2 ?2 ? 4.已知数列{an}的首项为 1,Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn+1=qSn+1,其中 q>0,n∈ N. (1)若 2a2,a3,a2+2 成等差数列,求数列{an}的通项公式;
*

y 5 4 -3 2 (2)设双曲线 x - 2=1 的离心率为 en,且 e2= ,证明:e1+e2+…+en> n-1 . an 3 3
【导学号:51062179】 [解] (1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到 an+2=qan+1,n≥1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1, 故 an+1=qan 对所有 n≥1 都成立, 所以数列{an}是首项为 1,公比为 q 的等比数列.3 分
2

2

n

n

从而 an=q

n-1

.

由 2a2,a3,a2+2 成等差数列,可得 2a3=3a2+2,即 2q =3q+2,则(2q+1)(q-2)=0. 由已知,q>0,故 q=2. 所以 an=2
n-1
2

(n∈N ).6 分
n-1

*

(2)证明:由(1)可知,an=q
2


2 2?n-1?

所以双曲线 x - 2=1 的离心率 en= 1+an= 1+q 5 4 2 由 e2= 1+q = ,解得 q= . 3 3 因为 1+q
2(k-1)

y an

2

.9 分

>q

2(k-1)

,所以 1+q

2?k-1?

>q

k-1

(k∈N ).12 分

*

于是 e1+e2+…+en>1+q+…+q 4 -3 故 e1+e2+…+en> n-1 .14 分 3
n n

n-1



qn-1 , q-1

3


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