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【配套K12】高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第五节二次函数与幂函数课时跟踪检测理

【配套K12】高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第五节二次函数与幂函数课时跟踪检测理

小初高试卷教案类

课时跟踪检测(八)
一抓基础,多练小题做到眼疾手快

二次函数与幂函数

1 .二次函数的图象过点 (0,1) ,对称轴为 x = 2 ,最小值为- 1 ,则它的解析式为 ________________. 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2) -1, ∵图象过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2 1 2 ∴f(x)= (x-2) -1. 2 1 2 答案:f(x)= (x-2) -1 2 2? ?1 α 2.已知幂函数 f(x)=k·x 的图象过点? , ?,则 k+α =________. ?2 2 ? 2 2 1 ?1? ?1?α 解析:由幂函数的定义知 k=1.又 f? ?= ,所以? ? = ,解得 α = ,从而 k+α 2 2 ?2? 2 ?2? 3 = . 2 3 答案: 2 3.函数 f(x)=2x -mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f (x)是增函数,当 x∈(-∞,- 2]时,f(x)是减函数,则 f(1)的值为________. 解析:函数 f(x)=2x -mx+3 图象的对称轴为直线 x= ,由函数 f(x)的增减区间可知 4
2 2 2

m

m
4

=-2,∴m=-8,即 f(x)=2x +8x+3,∴f(1)=2+8+3=13. 答案:13 4.函数 f(x)=(m -m-1)x 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为增函数,则实数 m 的值
2

2

m

是________. 解析:f(x)=(m -m-1)x 是幂函数? m -m-1=1? m=-1 或 m=2.又 x∈(0,+∞) 上是增函数,所以 m=2. 答案:2 5.若幂函数 y=f(x)的图象过点?2, 解析:设 f(x)=x ,则由 2 =
α α 2

m

2

? ?

2? 2 ?,则 y=f(x -2x)的单调减区间为________. 2?

2 1 1 1 1 =2- ,得 α =- ,所以 f(x)=x- = ,该函 2 2 2 2 x

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 数是定义在(0,+∞)上的单调减函数.而 u=x -2x 在(-∞,1)上为单调减函数,在(1, +∞)上为单调增函数,且 u=x -2x>0,得 x>2 或 x<0,故所求函数 y=f(x -2x)的单调减 区间为(2,+∞). 答案:(2,+∞) 二保高考,全练题型做到高考达标
2 2 2

? 1? n 1.若幂函数 y=mx (m,n∈R)的图象经过点?8, ?,则 mn=________. ? 4?
1 2 2 n -2 3n 解析:根据幂函数的概念得 m=1,且 =8 ,即 2 =2 ,所以 n=- ,所以 mn=- . 4 3 3 2 答案:- 3 2.若函数 f(x)=(1-x )(x +ax-5)的图象关于直线 x=0 对称,则 f(x)的最大值是 ________. 解析:依题意,函数 f(x)是偶函数,则 y=x +ax-5 是偶函数,故 a=0,f(x)=(1-
2 2 2

x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当 x2=3 时,f(x)取最大值为 4.
答案:4 3.(2016·无锡调研)若幂函数 y=(m -3m+3)·xm -m-2 的图象不过原点,则 m= ________. 解析:由幂函数性质可知 m -3m+3=1,∴m=2 或 m=1.又幂函数图象不过原点,∴m -m-2≤0,即-1≤m≤2, ∴m=2 或 m=1. 答案:2 或 1 4.设函数 f(x)=x -23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)= ________. 解析:由二次函数图象的性质得,当 3≤x≤20 时,f(x)+|f(x)|=0,∴g(1)+g(2) +…+g(20)=g(1)+g(2)=112. 答案:112
2 2 2 2 2

? 25 ? 2 5.(2015·南京调研)若函数 y=x -3x-4 的定义域为[0,m],值域为?- ,-4?, ? 4 ?
则 m 的取值范围是________. 3 25 ?3? 解析:二次函数图象的对称轴为 x= , 且 f? ?=- ,f(3)=f(0) 2 4 ?2?

?3 ? =-4,由图得 m∈? ,3?. ?2 ? ?3 ? 答案:? ,3? ?2 ?
K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 6.若函数 y=x +(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线 x=1 对称,则 b=________. 解析:由已知得- 答案:6 7. 设二次函数 f(x)=ax +2ax+1 在[-3,2]上有最大值 4, 则实数 a 的值为________. 解析:此函数图象的对称轴为直线 x=-1.当 a>0 时,图象开口向上,所以 x=2 时取 3 得最大值,f(2)=4a+4a+1=4,解得 a= ;当 a<0 时,图象开口向下,所以 x=-1 时取 8 得最大值,f(-1)=a-2a+1=4,解得 a=-3. 3 答案:-3 或 8 1 8.已知幂函数 f(x)=x- ,若 f(a+1)<f(10-2a),则 a 的取值范围是________. 2 1 1 解析:∵f(x)=x- = (x>0),易知 x∈(0,+∞)时为减函数,又 f(a+1)<f(10 2 x -2a),
2 2

a+2
2

=1,解得 a=-4.又因为

a+b
2

=1,所以 b=2-a=6.

a+1>0, ? ? ∴?10-2a>0, ? ?a+1>10-2a,
答案:(3,5)

a>-1, ? ? 解得?a<5, ? ?a>3,

∴3<a<5.

9. (2016·金陵中学检测)已知函数 f(x)=x-2m +m+3(m∈Z)是偶函数, 且 f(x)在(0, +∞)上单调递增. (1) 求 m 的值,并确定 f(x)的解析式; (2)g(x)=log2[3-2x-f(x)],求 g(x)的定义域和值域. 3 2 解: (1)因为 f(x)在(0, +∞)单调递增, 由幂函数的性质得-2m +m+3>0, 解得-1<m< . 2 因为 m∈Z,所以 m=0 或 m=1. 当 m=0 时,f(x)=x 不是偶函数; 当 m=1 时,f(x)=x 是偶函数, 所以 m=1,f(x)=x . (2)由(1)知 g(x)=log2(-x -2x+3),
2 2 2 3

2

由-x -2x+3>0,得-3<x<1, 所以 g(x)的定义域为(-3,1). 设 t=-x -2x+3,x∈(-3,1),则 t∈(0,4], 此时 g(x)的值域就是函数 y=log2t,t∈(0,4]的值域.
2

2

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类 又 y=log2t 在区间(0,4]上是增函数,所以 y∈(-∞,2], 所以函数 g(x)的值域为(-∞,2]. 10.(2016·南师附中月考)已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数,a≠0,x∈R). (1)若函数 f(x)的图象过点(-2,1),且方程 f(x)=0 有且只有一个根,求 f(x)的表达 式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值 范围. 解:(1)因为 f(-2)=1, 即 4a-2b+1=1,所以 b=2a. 因为方程 f(x)=0 有且只有一个根, 所以 Δ =b -4a=0. 所以 4a -4a=0,所以 a=1,b=2. 所以 f(x)=(x+1) .
2 2 2 2

? k-2?2+1- k- (2)g(x)=f(x)-kx=x +2x+1-kx=x -(k-2)x+1=?x- 2 ? 4 ? ?
2 2

2

.

由 g(x)的图象知,要满足题意,则

k-2
2

≥2 或

k-2
2

≤-1,即 k≥6 或 k≤0,

∴所求实数 k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞). 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 x ∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b] 称为“关联区间”.若 f(x)=x -3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为________. 解析:由题意知,y=f(x)-g(x)=x -5x+4-m 在[0,3]上有两个不 同的零点. 在同一直角坐标系下作出函数 y=m 与 y=x -5x+4(x∈[0,3]) 的图象如图所示,结合图象可知,当 x ∈ [2,3] 时, y = x - 5x + 4 ∈
2 2 2 2

?-9,-2?, ? 9 ? 函数 y=m 与 y=x2-5x+4(x∈[0,3]) ? 4 ? 故当 m∈?-4,-2?时, ? ? ? ?
的图象有两个交点.

? 9 ? 答案:?- ,-2? ? 4 ?
3? ? 2 2.已知二次函数 f(x)=x -x+k,k∈Z,若函数 g(x)=f(x)-2 在?-1, ?上有两个 2? ? 不同的零点,则

f2 x +2 的最小值为________. f x

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小初高试卷教案类 3? ? 2 解 析 : 若 函 数 g(x) = x - x + k - 2 在 ?-1, ? 上 有 两 个 不 同 的 零 点 , k ∈ Z , 则 2? ?

g -1 ? ? ?3? ?>0, ?g? ?2? ? ?Δ =1-

, 解得 k=2.

k-



?7 ? 2 所以二次函数 f(x)=x -x+2,其值域为? ,+∞?, 4 ? ?
[f

x f x

2

]+2 =f(x)+ 2

2

f x

7 ,其中 f(x)≥ , 4

此时 f(x)+

f x

单调递增,
2

7 [f x +2 81 所以当 f(x)= 时, 取得最小值 . 4 f x 28 81 答案: 28 3.(2016·镇江四校联考)已知函数 f(x)=x -1,g(x)=a|x-1|. (1)若当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间[0,2]上的最大值. 解:(1)不等式 f(x)≥g(x)对 x∈R 恒成立,即 x -1≥a|x-1|(*)对 x∈R 恒成立. ①当 x=1 时,(*)显然成立,此时 a∈R;
2 2

x -1 ②当 x≠1 时,(*)可变形为 a≤ , |x-1|
?x+1,x>1, x2-1 ? 令 φ (x)= =? |x-1| ? ?- x+ ,x<1.

2

因为当 x>1 时,φ (x)>2,当 x<1 时,φ (x)>-2, 所以 φ (x)>-2,故此时 a≤-2. 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是(-∞,-2]. -x -ax+a+1,0≤x<1, ? ? (2)h(x)=?0,x=1, ? ?x2+ax-a-1,1<x≤2. ①当- ≤0 时,即 a≥0,(-x -ax+a+1)max=h(0)=a+1, 2 (x +ax-a-1)max=h(2)=a+3. 此时,h(x)max=a+3.
2 2

a

2

K12 小学初中高中

小初高试卷教案类

②当 0<- ≤1 时, 2 即-2≤a<0,(-x -ax+a+1)max =h?- ?= +a+1,(x +ax-a-1)max ? 2? 4
2 2 ? a? a 2

a

=h(2)=a+3. 此时 h(x)max=a+3. ③当 1<- ≤2 时, 2 即-4≤a<-2,(-x -ax+a+1)max=h(1)=0,
? ?0,-4≤a<-3, 2 (x +ax-a-1)max=max{h(1),h(2)}=max{0,3+a}=? ?3+a,-3≤a<-2. ? ? ?0,-4≤a<-3, 此时 h(x)max=? ? ?3+a,-3≤a<-2.
2

a

④当- >2 时, 2 即 a<-4,(-x -ax+a+1)max=h(1)=0, (x +ax-a-1)max=h(1)=0. 此时 h(x)max=0.
?3+a,a≥-3, ? 综上:h(x)max=? ?0,a<-3. ?
2 2

a

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