9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014高考数学复习方案( 理)二轮课件:第10讲 等差数列、等比数列(45张PPT)

2014高考数学复习方案( 理)二轮课件:第10讲 等差数列、等比数列(45张PPT)


专题四





第10讲 第11讲

等差数列、等比数列 数列求和及数列的简单应用

核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
返回目录

第10讲 等差数列、等比数列 教

第10讲 等差数列、等比数列教 核 心 知 识 聚 焦

体验高考
1.[2012· 江西卷改编] 设 数 列 {an} , {bn} 都 是 等差数列 ,若 a1+b1=7,a3 + b3 = 21 , 则 a5 + b5 = ________.


主干知识 ? 等差数列的概 念与通项 关键词:等差数 列、通项公式,如 ①.

[答案] 35 [解析] 根据等差数列的定义可知,a1+b1,a3+b3, a5+b5也是等差数列.
返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

体验高考
2.[2012· 辽宁卷改编] 在 等 差 数 列 {an} 中 , 已 知 a4+a8=16② , 则 a2 + a10 = ________.

主干知识

? 等差数列项的性 质 关键词:等差数列、 项的性质,如②.

[答案] 16 [解析] a2+a10=a4+a8=16.

返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

体验高考
3.[2012· 重庆卷改编] 在 等差数列 {an} 中, a2 = 1 , a4 = 5 ,则 {an} 的 前10项和③ S10 =________.

主干知识 ? 等差数列求和公 式 关键词:等差数列、 和,如③.

[答案] 80 [解析] 由已知可得a1=-1,d=2, 所以S10=-10+10×9=80.
返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

体验高考
4 . [2013· 新课标全国卷 改编] 若数列{an}的前 n 项和 2 1 Sn = an + , 则 {an} 的 3 3 通项公式④ 是 an=________.

主干知识 ? 等比数列概念 与通项 关键词:等比数 列、通项公式,如 ④⑤.

[答案]

(-2)n

-1

返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

2 1 [解析] 因为 Sn=3an+3①, 2 1 所以 Sn-1=3an-1+3(n≥2)②, 2 2 ①-②得 an= an- an-1(n≥2),即 an=-2an-1(n≥2), 3 3 2 1 又因为 S1=a1= a1+ ?a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项, 3 3 -2 为公比的等比数列,所以 an=(-2)n-1.

返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

体验高考
5 . [2013· 江西卷改编] 等比数列 x, 3x+3, 6x+6, ? 的第四项等于________.


主干知识 ? 等比数列概念 与通项 关键词:等比数 列、通项公式,如 ④⑤.

[答案] -24

[解析] 由(3x+3)2=x(6x+6)得 x=-1 或 x=-3. 当 x=-1 时,x,3x+3,6x+6 分别为-1,0,0,不 能构成等比数列,所以舍去;当 x=-3 时,x,3x+3, 6x+6 分别为-3,-6,-12,且构成等比数列,则可求出 第四个数为-24.
返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

体验高考
6. [2013· 广东卷改编] 若 1⑥ 等比数列{an}满足 a2a4= , 2 则 a1a32a5=________.

主干知识 ? 等比数列项的性 质 关键词:等比数列、 项的性质,如⑥.

[答案]

1 4
2 1 a1a5=a2a4=a3 = ,所以

[解析]

2

12 1 a1a3 a5= = . 2 4
2

返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

体验高考
7. [2013· 全国卷改编] 已 知数列 {an}满足 3an + 1 +an = 4 0 , a2 = - 3 , 则 {an} 的 前10项和⑦ 等于________.

主干知识

? 等比数列求和公 式 关键词:等比数列、 和,如⑦.

[答案]

3(1-3

-10

)

返回目录

第10讲
核 心 知 识 聚 焦

等差数列、等比数列教

[解析] 由 3an+1+an=0,得 an≠0(否则 a2=0) an+1 1 1 且 =-3,所以数列{an}是公比为-3的等比数列, an 代入 a2 可得 a1=4, 110 4×1--3 110 故 S10= =3×1- =3(1-3-10). 1 3 1+ 3

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

—— 基础知识必备 ——

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

?

考向一

数列的一般问题

考向:数列的性质(单调性、最值),数列的通项与前n项 和的关系等.
命 题 考 向 探 究

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

例 1

[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设△AnBnCn 的三边长分

别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1 ,2,3,?. cn+an bn+an 若 b1>c1, b1+c1=2a1, an+1=an, bn+1= , cn+1= , 2 2
命 题 考 向 探 究

则(

) A. {Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列

[答案] B
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教
[解析] 因为 an+1=an,所以 an=a1.又因为 bn+1+cn+1=

命 题 考 向 探 究

1 1 (b +c )+an= (bn+cn)+a1, 2 n n 2 1 所以 bn+1+cn+1-2a1=2(bn+cn-2a1), 1 所以 bn+cn-2a1= n(b1+c1-2a1),又因为 b1+c1-2a1=0, 2 所以 bn+cn=2a1,故△AnBnCn 中边 BnCn 的长度不变,另外两 1 边 AnBn,AnCn 的和不变.因为 bn+1-cn+1=- (bn-cn), 2 ? 1?n-1 且 b1-c1>0,所以 bn-cn=?-2? (b1-c1),当 n→+∞时, ? ? bn→cn,也就是 AnCn→AnBn,所以△AnBnCn 中 BnCn 边上的高随 着 n 的增大而增大. 设△AnBnCn 中 BnCn 边上的高为 hn, 则{hn} 1 单调递增,所以 Sn=2a1hn 是增函数.答案为 B.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

小结:本题具有较强的综合性和较大的难度,解题的 关键是弄清楚an,bn,cn这三者之间的关系.

命 题 考 向 探 究

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

变式题

1 1 已知数列{an}中,a1=2,an+1=1- (n≥2), an

则 a16=________.
命 题 考 向 探 究

[答案]

1 2

1 1 [解析] 由题可知 a2=1- =-1,a3=1- =2, a1 a2 1 1 1 a4=1- =2,a5=1- =-1,?,则此数列为周期数列, a3 a4 1 周期为 3,故 a16=a1=2.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

? 考向二 高考中等差(等比)数列的常见基本问题 考向:等差数列的概念、通项与求和,等比数列的概念 、通项与求和,以及与此相关的一些问题.
例2
命 题 考 向 探 究

(1)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则下列选 )

项中一定成立的是(

A.若 a1>0,则 a2013<0 B.若 a2>0,则 a2014<0 C.若 a1>0,则 S2013>0 D.若 a2>0,则 S2014>0 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

[答案] (1)C (2)-49
[解析] (1)a2013=a1q2012,当 a1>0 时,a2013>0,选项 A 的结论不成立;同理当 a2>0 时 a2014=a2q2012>0,选项 B 的
命 题 考 向 探 究

结论不成立;当公比 q=1 时,显然选项 C 的结论成立,当 a1(1-q2013) q≠1 时,S2013= ,当 q<0 时,1-q2013>0, 1-q 1-q>0,此时 S2013>0,当 0<q<1 时,1-q2013>0,1-q>0, 此时 S2013>0,当 q>1 时,1-q2013<0,1-q<0,此时 S2013>0, 故选项 C 的结论成立;当 a1=-1,q=-1 时,满足 a2= 1>0,但此时 S2 014=0,选项 D 中的结论不一定成立.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

10 2 (2)由已知,a1+a10=0,a1+a15= 3 ?d=3,a1=-3, n3-10n2 所以 nSn= ,易得 n=6 或 n=7 时,nSn 出现最小 3
命 题 考 向 探 究

值.当 n=6 时,nSn=-48;n=7 时,nSn=-49.故 nSn 的 最小值为-49.

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

小结:等差数列、等比数列问题的基本解法是“基本 量”方法,即通过已知条件求出等差数列的首项和公差、 等比数列的首项和公比,其他的问题都可以使用基本量表 达从而加以解决.
命 题 考 向 探 究

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

变式题 A.23
命 题 考 向 探 究

(1)已知等差数列{an}满足 a2+a4=4, a5=4a3, ) B.95 D.138

则数列{an}的前 10 项的和等于( C.135

(2)已知由实数组成的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 3 3 S2=2,a4+a5=16,则 S5 等于________.
31 (1)B (2)16

[答案]

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

[解析] (1)根据等差数列的性质得 a2+a4=2a3=4, 得 a3=2,进而 a5=8,所以公差 d=3,所以 a1=-4, 10×9 所以 S10=-4×10+ ×3=-40+135=95. 2 3 3 1 1 3 3 3 (2)因为 a1+a2=2,a1q +a2q =16?q =8?q=2, a1=1,所以 S5=
? 1? 1×?1-25? ? ?

命 题 考 向 探 究

1 1-2

31 = . 16

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

?

考向三

等差(等比)数列的判断与证明

考向:判断或证明等差数列、等比数列.
例3
命 题 考 向 探 究

(1)已知等比数列{an}的公比为 q,

记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m, cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1) +m(m,n∈N*) ,则 以下结论中一定正确的是( ) A.数列 {bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

2 (2)在数列{an}中,a1=3,且对任意的 n∈N*都有 ?1 ? 2an an+1= .求证:数列?a -1?是等比数列. ? n ? an+1
命 题 考 向 探 究

[答案] (1) C
(1)[解析] cn+1 cn 取 an=1,q=1,则 bn=m,cn=1,排除 amn+1·amn+2·?·amn+m am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m

A;取 an=1,q=-1,m 取正偶数,则 bn=0,排除 B; = =

qm·qm·?·qm,\s\do4(共 m 个))=qm2,故选 C.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

an+1 1-an 2an 1 (2)证明: 由 an+1= , 得 -1= -1= 2 a 2an an+1 an+1 n 11 2 1 1 1 =2 -1.又由 a1=3,得 -1=2≠0,因此数列 -1 是以 an a1 an 命 1 题 1 考 2为首项,2为公比的等比数列.
向 探 究

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

小结:判断数列是否为等差数列、等比数列的基本方法 是定义法.在判断一个数列是否为等比数列时,要注意数 列的首项是否为零,其次有时需要分公比等于1和不等于1 进行讨论.
命 题 考 向 探 究

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

变式题

(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a 是不 )

为 0 的常数),那么数列{an}( A.一定是等差数列
命 题 考 向 探 究

B.一定是等比数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 1 1 (2)已知数列 {an}是首项为 a1=4,公比 q =4 的等比数 1 列.设 bn+2=3log4an(n∈N*).求证:数列{bn}是等差数列.

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

(1)[答案] C
[解析] 当 n=1 时可得 a1=a-1,当 n≥2 时可得
- - -

an=an-an 1=(a-1)an 1,a1 也适合这个式子,故数列
命 题 考 向 探 究

{an}的通项公式是 an=(a-1)an 1.当 a=1 时该数列的各项都 是零,此时数列{an}为等差数列,当 a≠1 时,数列{an}为等 比数列.

(2)证明:由已知可得 an=a1q 11n bn+2=3log =3n, 44

n-1

1n = , 4

∴bn=3n-2.∵bn+1-bn=3,∴数列{bn}为等差数列.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

? 考向四 等差(等比)数列的综合 考向:综合考查等差数列、等比数列的定义、性质.
例4
命 题 考 向 探 究

已知等差数列{an}的公差 d=1,前 n 项和为 Sn.

(1)若 1,a1,a3 成等比数列,求 a1; (2)若 S5>a1a9,求 a1 的取值范围.

解:(1)因为等差数列{an}的公差 d=1,且 1,a1,a3 成 等比数列,所以 a12=1×(a1+2),即 a12-a1-2=0,(3 分) 解得 a1=-1 或 a1=2.(6 分) (2)因为等差数列{an}的公差 d=1,且 S5>a1a9, 所以 5a1+10>a12+8a1,即 a12+3a1-10<0,(10 分) 解得-5<a1<2.(12 分)
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

【答题步骤】 第一步:根据 1,a1,a3 成等比数列,建立关于 a1 的方 程求 a1.
命 题 考 向 探 究

第二步:根据 S5>a1a9,建立关于 a1 的不等式求 a1 的取 值范围.

小结:等差数列、等比数列的综合问题的解题关键仍 然是“基本量”方法,其通过方程或者方程组求出数列的 基本量,然后再解决后续问题.

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

—— 推理论证能力 ——

命 题 立 意 追 溯

[等差数列、等比数列的存在探索与证明] 1.存在探索性问题是高考考查数学能力的良好素材, 高考重视存在探索性问题的考查.存在探索性问题的基本 解法是:先假设其存在,在这个假设下,进行推理论证或 计算,当得出符合数学规律的最后结论时,肯定其存在性, 否则就不存在. 2.等差数列、等比数列的存在探索性问题,其解法 与一般的存在探索性问题的解法相比,特殊性在于数列中 的项数是正整数,在解题中注意这个特点.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

示例

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意

正整数 n,点(an+1,Sn)在直线 3x+2y-3=0 上. (1)求数列{an}的通项公式; (2) 是否存在实数
? λ? λ ,使得数列 ?Sn+λ· n+ n? 为等差数 3? ?

列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

命 题 立 意 追 溯
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

解:(1)由题意可得 3an+1+2Sn-3=0, ① ② n≥2 时,3an+2Sn-1-3=0, an+1 1 = (n≥2),又∵a1=1, an 3
命 题 立 意 追 溯

①-②得 3an+1-3an+2an=0,整理得

1 ∴数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 3
?1?n-1 ∴an=? ? .. 3 ? ?

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教
? ? 1?n? 3?1-?3? ? ? ? ? ?

(2)由(1)知 Sn=

2



? λ? 若?Sn+λ· n+ n?为等差数列,则 3? ? ? 19 ? 4 2?S2+ 9 λ?=S1+3λ ? ?

82 3 +S3+27λ ,得 λ=2,

3(n+1) 3 3 3 又 λ = 2 时 , Sn + 2 · n + = ,显然 2 2·3n
命 题 立 意 追 溯
? ?3(n+1)? ? ? ?成等差数列, ? ? 2 ? ? ? 3 λ? 故存在实数 λ= ,使得数列?Sn+λ· n+ n?成等差数列. 2 3? ?
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

小结:本题的特点是先从特殊的情况得出λ值,在这个 λ值下,一般结论也成立,这是解决含有参数的等差数列 、等比数列证明的一个重要方法,其实质是一般与特殊的 数学思想方法的运用,也是合情推理与演绎推理的有机结 合.

命 题 立 意 追 溯
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

跟踪练

1 已知数列{an}满足 a1=-2,1+a1+a2+?+

an-λan+1=0(λ≠0 且 λ≠-1,n∈N*). (1)若 a22=a1·a3,求数列{an}的通项公式 an; (2)在(1)的条件下, 数列{an}中是否存在三项构成等差数 列?若存在,请求出此三项;若不存在,请说明理由.

命 题 立 意 追 溯
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教
1 1 1

解:(1)令 n=1,得到 a2= ,令 n=2,可得到 a3= + 2,由 2λ 2 λ 2λ a22=a1·a3,计算得 λ=-2. 由 1+a1+a2+?+an-λan+1=0,可得 1 + a1 + a2 + ? + an - 1 - λan = 0(n≥2) ,所以有 (1 + λ)an - λ an + 1 = 0(n≥2),又 λ=-2, 1+λ 1 得到 an+1= an= an(n≥2),故数列{an}从第二项起是等比数列. 2 λ 1 1 1 ?1?n-2 1 ? ? 又因为 a2= =-4,所以 n≥2 时,an=-4· 2 =- n,又 2 2λ ? ? 1 1 a1=- 满足 an=- n, 2 2 1 所以数列{an}的通项公式是 an=- n. 2
返回目录

命 题 立 意 追 溯

第10讲

等差数列、等比数列教

(2)假设数列{an}中存在三项 am,ak,ap 成等差数列, 不妨设 m>k>p≥1,因为数列{an}单调递增, 所以 2ak=am+ap, 即
? 1? 1 1 1 1 1 2×?- k?=- m- p,化简得 k-1= m+ p,两边同 2 2 2 2 ? 2? 2
-k +1

乘 2m 可得 2m
命 题 立 意 追 溯

=2m p+1,


若此式成立,必有 m-p=0 且 m-k+1=1, 故有 m=p=k,与假设 m>k>p 矛盾, 所以数列{an}中不存在三项构成等差数列.

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

—— 教师备用习题 —— [备选理由] 例1为简单的递推数列,可在数列的一般问 题考向中作为备用.例2是等差数列等比数列的综合,可 作为等差数列与等比数列综合考向的补充.例3是数列与 不等式的综合,可在本讲结束时使用.

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

例1

设数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=

2Sn+1(n≥1),则数列{an}的通项公式是________.
[答案] an=3n-1

[解析] (1)方法一:由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn-1+1(n≥2), 两式相减得 an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2). 又 a2=2S1+1=3,所以 a2=3a1,故{an}是首项为 1, 公比为 3 的等比数列,所以 an=3n 1.


返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

方法二:由于 an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1, 所以 Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,把这个关系化为
? 1 ? 1? 1? 1 3 ? ? ? ? Sn+1+2=3 Sn+2 ,即得数列 Sn+2 为首项是 S1+2=2, ? ? ? ? 1 3 1 n-1 公比是 3 的等比数列,故 Sn+ = ×3 = ·3n, 2 2 2 1 n 1 - 故 Sn=2·3 -2.所以,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n 1,

当 n=1 时 a1=1 也适合这个公式, 故所求的数列{an}的通项 公式是 an=3n-1.

返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

例 2 已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a1,a3,a4 S3-S2 成等比数列, Sn 为{an}的前 n 项和, 则 的值为________. S5-S3

[答案] 2
[解析] 设公差为 d,则(a1+2d)2=a1(a1+3d), 即 a12+4a1d+4d2=a12+3a1d, 解得 a1=-4d(舍去 d=0). S3-S2 -4d+2d a3 故 = = =2. S5-S3 a4+a5 -4d+3d-4d+4d
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

例3

等差数列{an}的各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn,

满足 2S2=a2(a2+1),且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+13 (2)设 bn= ,求数列{bn}的最小值项. n

解:(1)由 2S2=a22+a2, 可得 2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d). 又 a1=1,可得 d=1 或 d=-2(舍去).故数列{an}是首 项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 an=n.
返回目录

第10讲

等差数列、等比数列教

n(n+1) (2)根据(1)得 Sn= , 2 2Sn+13 n(n+1)+13 13 bn= = =n+ +1. n n n 13 由于函数 f(x)=x+ (x>0)在(0, 13)上单调递减, x 在[ 13,+∞)上单调递增,而 3< 13<4, 13 22 88 13 29 87 且 f(3)=3+ = = ,f(4)=4+ = = , 3 3 12 4 4 12 29 33 所以当 n=4 时, bn 取得最小值, 且最小值为 4 +1= 4 . 33 即数列{bn}的最小值项是 b4= 4 .
返回目录


推荐相关:
网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com