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数学分析 第十章 多元函数微分学

数学分析  第十章 多元函数微分学


数学分析
判别下列函数的图象是什么图

第十章 多元函数微分学

z ? 1 ? x 2 ? y 2 是定义在闭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的一个二元函数。

1) z ? 1 ? x 2 ? y 2 (∵)闭圆 x 2 ? y 2 ? 1 上的上半球。 2) f ( x , y) ? 3x ? y ? 1,( z ? f ( x , y) ? 3x ? y ? 1) ,

?

1 x y z ? ? ? 1 ,∴是在三个轴上截距为 a ? , b ? ?1, c ? 1 的一个平面。 1 ?1 1 3 ? 3 例:求下列多元函数的定义域,并指出定义域所表示的图形,

1) z ? ln( x ? y ) 3) f ( x, y , z ) ?

2) f ( x , y ) ? x 2 ? y 2 ? 1 ? 4 ? x 2 ? y 2

1 1 ? x2 ? y 2 ? z 2

解:1)定义域 D ? ?( x, y) | x ? y ? 0? 是 R 2 上以 y ? ? x 2 为边界(不包含边界)的半平面
2 2 ? ?x ? y ? 1 ? 0 2)∵ ? 2 2 ? ?4 ? x ? y ? 0

∴1 ? x2 ? y 2 ? 4

∴ D ? ( x, y) | 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 是 R 2 上以 O(0 , 0) 为中心 1 与 2 为半径的闭圆环。 3)∵ 1 ? x 2 ? y 2 ? z>0 D = ?( x, y, z ) | x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1? 是 R 3 上以球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1为边界 的开球体。
? 2 xy ? 2 2 例:已知 f ( x, y ) ? ? x ? y ?0 ? 当x 2 ? y 2 ? 0(? x, y至少有一个不为0) 当x 2 ? y 2=0(? x=0且y ? 0)

?

?

求 f (3,1), f (0,2), f (0,0) 二元函数的极限 2)上面定义可写为: lim f ( x, y ) ? A ? ?? ? 0,?? ? 0,?P( x, y ) ? D : 0 ?| x ? a |? ? , 0 ?| y ? b |? ? 有 | f ( x, y ) ? A |? ?
x?a y ?b

例:用“ ? ? ? ”定义证明:1) lim (3 x ? 5 y ) ? 11 ;
x?2 y ??1

1) lim ( x 2 ? y 2 ) ? 5;
x ?1 y?2

证明:1) ?? ? 0 ∵ | f ( x, y) ? A |?| (3x ? 5 y) ?11|? 3( x ? 2) ? 5( y ? (?1)) ? 3 x ? 2 ? 5 y ?1
?? ? 0,取? ?

?
10

, 则?P(x, y) : 0 ?| x ? 2 |? ? , 0 ?| y ? 1|? ? ,| y ? (1) ?| y ? 1|? ? , ∴ 就 有

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| (3x ? 5 y ) ? 11|? 3 | x ? 2 | ?5 | y ? 1|? 5 ?

第十章 多元函数微分学
2? ? ?. # 。 10

2)证明:取 ?1 ? 1 , ?P( x, y) ? D 限制: 0 ? | x ?1|? ?1 ? 1,0 ?| y ? 2 |? ?1, 则:
| x ? 1|?| x ?1 ? 1|? | x ?1| ?2 ? 3 , | y ? 2 |?| y ? 2 | ?4 ? 5
?? ? 0 ,要使 | f ( x, y) ? 5 |?| ( x2 ? y 2 ) ? 5 |?| ( x ?1)( x ?1) ? ( y ? 2)( y ? 2) |

? x ?1 ? x ?1 ? y ? 2 ? y ? 2 ? 3 x ?1 ? 5 y ? 2 ? 5( x ?1 ? y ? 2 ) ? ? 成立,只要取

? ? min{1 ,

2? } 即可. 10

1 1 ? xy ? 0 ? x sin ? y sin y x 例:证明:函数 f ( x, y) ? ? ,在原点(0,0)的极限是 0. ?0 xy ? 0 , 且( x, y) ? (0,0) ?
讨论:函数 f ( x, y) 在原点(0,0)有没有定义。 (没有! ) 证明: ??> 0,(分两种情况讨论。—?∵当 P( x, y ) 进入以(0,0)为心的领域时,函数值 有两种情况) ; 1 ) 当 P( x, y) : xy ? 0且( x, y) ? (0,0) 时 , 显 然 ?? ?0 , ? P (x , y ) :x ? 0? ?

, y? 0 ? ?都

有 | f ( x, y) ? 0 |?| 0 ? 0 |? 0 ? ?
2)当 xy ? 0, ?? ?

?
2

? 0, ?P( x, y ) : x ? 0 ? ? , y ? 0 ? ?

| f ( x, y) ? 0 |?| x sin

1 1 ? y sin |?| x | ? | y |? 2? ? ? , 综上所述: y x

?? ? 0, ?? ? 0, ?P( x1 y) : 0 ? x ? 0 ? ? , 0 ? y ? 0 ? ? 有| f ( x, y) ? 0 |? ? #.
从本题看到 f ( x, y) 在(0,0)无定义,但存在极限,∴函数在点 P0 的极限与在点 P 是否有 定义无关。 讨论 2:当 P 沿一条固定的路径 l ,趋于 P o : p ? p0 , f ( x, y) ? A 时,能不能说 f ( x, y) 在 。 P o 存在极限?(不能) 例:证明 f ( x, y ) ?

x2 y 在原点(0,0)不存在极限 x4 ? y2

证明:当动点 P( x, y) 沿直线 y ? kx (k ? 0) 趋于点 P0 ? (0,0) 时有:

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第十章 多元函数微分学

x2 y x2 y lim 4 ? lim 4 (?在y ? kx时,x ? 0 ? y ? 0) ? 0 。 x ?0 x ? y 2 x ?0 x ? y 2 y ?0

当动点 P( x, y) 沿抛物线 y ? x 2 趋于(0,0)时。 lim
x ?0 y ?0

x2 y x4 1 ? lim ? 4 2 4 4 x ? 0 x ?y x ?x 2

∴ f ( x, y) 在点(0,0)不存在极限。 证明: f ( x, y) ?

x2 y2 在(0,0)不存极限。 x 2 y 2 ? ( x ? y) 2

取路径:1) y ? x ;2) x轴 : y ? 0 一元函数有: lim f ( x) ? b ? ?? ? 0, ?B ? 0 , ?x : x ? B ( 或x ? ? B)有 | f ( x) ? b |? ? ,类似的
x ???

定义: il (, )f x y ? A ? 0 , ?? ? 0 , 1) :m
x ??? y ? yo

?0 B ? (,? : )? ? , 0 ? |P x y |

x ? B与 ? y ? yo ? ?

有 | f ( x, y) ? A |? ?
il (, )f xy A? 2) :m
x ?? y ???

? 0 , ?? ? 0 B , ? 1 0B ?

(, ?: ) ? , x ?B y B 2 Pxy

? 与 2 ? 1

有 | f ( x, y) ? A |? ?
il (, )f xy A ? ? ? 0 , ? ? ?0 B , ? ?1 0B ? 3) :m
x? ? ? y? ? ?

(, ? : ) Pxy, x? ?B 2

?B

与y

1

有 | f ( x, y) ? A |? ?
(2) 二次累次极限: 例如: f ( xy ) ? xy sin
1 1 ? y sin y x 1 1 1 1 ? y sin ) ? lim 0 ? 0, 而 lim lim( xy sin ? y sin ) x ? 0 y ? 0 x ? 0 y x y x

lim lim f ( x, y) ? lim lim( xy sin
x ?0 y ?0 x ?0 y ?0

不存在( xy sin

1 1 ? 0 ? 0 存在, x ? 0 时 y sin 不存在) ;而累次极限可以不存在.注 2. 二重 x y

极限存在,但累次极限可能不存在;或两个累次极限存在相等,但二重极限可能不存在: 例如: f ( x, y ) ?

x2 y ,在原点(0,0)两个累次极限存在且相等,但二重极限不存在; x4 ? y2

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例. 证明:函数 f ( xy ) ? xy sin

第十章 多元函数微分学

1 1 ? y sin 在(0,0)二重极限存在,但累次极限不存在. y x

证明:∵ | f ( x, y ) ? 0 |?| x lim
?? ?

1 1 ? y lim |?| x | ? | y | . ?? ? 0, y x

?
2

, 则?P( x, y ) : 0 ?| x ? 0 |? ? , 0 ?| y ? 0 |? ? 有 | f ( x, y) ? 0 |? ? #
x ? a y ?b

定理:若二元函数 f ( x, y)在点P(a, b) 的二重极限和累次极限( lim lim f ( x, y )
或 lim lim f ( x, y )) 都存在,则: lim f ( x, y ) ? lim lim f ( x, y )(或 ? lim lim f ( x, y ))
y ?b x ?a
x?a y ?b x ? a y ?b y ?b x ? a

推论: (充分条件) :若下面三个极限都存在: lim f ( x, y ) ? A , lim f ( x, y ) ? ? ( y ) , lim f ( x, y ) ? ? ( x) ,则两个累次极限存在且相等;等于
x?a y ?b

x ?a

y ?b

其二垂极限: lim f ( x, y ) ? lim lim f ( x, y ) (或 ? lim lim f ( x, y ))
x?a y ?b x ? a y ?b y ?b x ? a

例:已知: f ( x, y) ?

x2 y 存在点(0,0)存在二重极限,求 lim f ( x, y ) ; x?0 x2 ? y2 y ?0

二元函数的连续性 lim f ( x, y ) ? f ( a, b) , 设二元函数 z ? f ( x , y) 在区域 D 有定义, 点 P (a,b) ? D , 若: 则称 f ( x, y)
x?a y ?b

在 P ( a , b )连续. 设函数 z ? f ( p) 在区域 D 有定义,点 Po (a , b) ? D ,若 lim f ( p) ? f ( p0 ) ,则称二元函数
P ? Po

z ? f ( p)在点P 0 连续 。
即:设 P0 是区域 D 的点, f ( p ) 在 P0 连续 ? lim f ( P) ? f ( P0 ) ,
P ? P0

例:已知 f ( x, y) ? x 2 ? y 2在点P0 (1, 2)连续 , 求 lim f ( P) .
P?P 0

若二元函数 f ( x, y) 在区域 D 的每一点都连续,则称 f ( x, y) 在区域 D 连续。
f ( x, y) 在点 P(a , b) 连续应满足几个条件:

1) f ( x, y) 在 P(a , b) 有定义;2) f ( x, y)的P(a, b) 存在极限;3) f ( x, y) 在 P(a , b) 的极限 值等于其函数值。 上面三条任破坏一条,函数 f ( x, y) 在点 P(a, b) 都不连续。 定义:若 f ( x, y) 在 P0 (a, b) 不连续,则称 P(a, b) 是 f ( x, y) 的间断点(或不连续点) 。 二元函数的间断点集常常是 xoy 平面上的一条曲线。 (裂缝)
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第十章 多元函数微分学

例:求下列函数的间断点,并指出其图形 1) f ( x, y ) ?
xy x ? y2
2

2) f ( x, y) ?

xy ln(x ? y 2 )
2

解:1)由 x 2 ? y 2 ? 0 得 x ? 0, y ? 0 。∴间断点集{(0,0)},且 x 2 ? y 2 ? 1 。 例:求下列极限:1) lim
x ?0 y ?1

ln( x ? e y ) x2 ? y2

2) lim

x2 ? y 2 x ?0 | x | ? | y | y ?0

(令 x ? r cos? , y ? r cos? ,则

x ? 0, y ? 0

? r ? 0且 | sin ? | ? | cos ? |? 0 )

3) lim
x ?0 y ?0

2 ? xy ? 4 xy

4) lim

sin xy sin xy (? lim ? y ? 1? 0 ? 0) x?0 x?0 x xy y ?0 y ?0

1、下面做法是否正确,为什么? lim( x ? y ) ln( x 2 ? y 2 ) ? lim lim( x ? y ) ln( x 2 ? y 2 ) ? lim y ln y 2
x ?0 y ?0 y ?0 x ?0 y ?0

? lim 2 y ln y ? 2 lim y ln y ? 0 (是否正确关键是判别 lim y ln y 是否存在)上面做法不正确。∵
y ?0 y ?0 y ?0

由定理知:必须是二重极限和累次极限存在时,才能象上面这样做。 正确做法:令 x ? r cos? , y ? r sin ? ,则原式= lim(cos ? ? sin ? ) r ln r =2( cos ? ? sin ? )
r ?0

lim r ln r ? 2(cos ? ? sin ? ) lim
r ?0

ln r ? ( ) =2( cos ? ? sin ? ) lim( ? r ) ? 0 P ?? P ?0 1 ? r

2、 lim
x ?0 y ?0

(1 ? 4 x 2 )(1 ? 6 y 2 ) ? 1 (4 x 2 ?6 y 2 ) ? 24 x 2 y 2 ? lim 2 2 2 2 x ?0 2 x2 ? 3 y 2 y ?0 (2 x ? 3 y )( (1 ? 4 x )(1 ? 6 y ) ? 1)

(4 x 2 ?6 y 2 ) ? 24 x 2 y 2 1 ? ? lim 2 2 2 x ?0 (2 x ? 3 y ) (1 ? 4 x )(1 ? 6 y 2 ) ? 1 y ?0 ? 2 2 x 2 ?3 y 2 ?12 x 2 y 2 12 x 2 y 2 ? lim ? 1 ? lim ?1 2 2 ?0 x ?0 2 x 2 ? 3 y 2 2 x 2 x ? 3 y y ?0 y ?0 12 x 2 y 2 12 ? 4 sin 2 ? cos2 ? lim ? 0. x ? 0 2 x 2 ? 3 y 2 ? ?0 ? 2 (2cos 2 ? ? 3sin 2 ? ) y ?0

注:令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,则 lim

3、若将函数 f ( x, y) ?

x2 ? y2 限制在区域 D ={(x,y)||y|<x2},例函数 f ( x, y) 在原点(0,0) 2 2 2x ? 3 y

存在极限(关于 D ) 。
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第十章 多元函数微分学

分析:这里动点 P(x,y)的变化范围是 D ,∴P 只能取 D 内的点:|y|<x2,∴只须证明:
2 ) : 0 ?| x ? 0 |? ? 的 ?? ? 0, 存在? ? 0, ?( x, y) ? D (即:满足条件|y|<x 的点 P(x,y)

| f ( p) ? 1 |? ? , ? 的找法与前面的一样。

x2 ? y2 2y2 证明: ?? ? 0, ?P( x, y)? ? D(即: | y |? x ) ;要使 | f ( x, y) ? 1 |?| ? 1 |? 2 x2 ? y 2 x ? y2
2

?

2y2 y | x |2 ?| |? ?| x |? ? 只须取 ? ? ? (注:不等式中不含 | y | ,表示对任意 ? , 2 | xy | x | x|

| y |? ? , | x |? ? 时,都能保证 | f ( p) ? 1 |? ? )

证明: ?? ? 0 ,取 ? ? ? ? 0, ?p( x, y) ? D : 0 ?| x |? ? 都有 |
x ?0 y ?0

x2 ? y2 ? 1 |?| x |? ? .#.讨论:能 x2 ? y2

源能说 f ( x, y) 在(0,0)的二重极限是 1 : lim f ( x, y ) ? 1 ?(不能,∵二重极限的动点 P( x, y) 必须是邻域: 0 ?| x ? 0 |? ? , 0 ?| y ? 0 |? ? 的全体点,但上题中的 P 不能取 M 域的全体点,而 只能取 D (0, ? ) ) 。∴不是二重极限,而只是限制在 D 中的极限,实际上 f ( x, y) 在(0,0)不 存在二重极限。当动点 P( x, y) 沿轴 x=c 趋于(0,0)时, f ( x, y) ? ?1 ,当 P( x, y) 沿 x 轴 y=0 趋于(0,0)时, f ( x, y) ? 1。

关 于 x 的 偏 改 变 量 。 ? x Z ? f ( x0 ? ?x, y0 ) ? f ( x0 , y0 ) 叫 f ( x, y) 在 点 Po ( xo , yo )

? y z ? f ( x0 , y0 ? ?y) ? f ( x0 , y0 ) 叫 f ( x, y) 在 Po ( xo , yo ) 点关于 y 的偏导改变量。
偏导数
? xy ? 2 2 例:已知: f ( x, y ) ? ? x ? y ?0 ? x2 ? y 2 ? 0 x ?y ?0
2 2

, 求 f x?(0, 0) 与 f y?(0, 0)

解:∵ f x?(0, 0) ? lim

?x ?0

f (0 ? ?x, 0) ? f (0, 0) f (?x, 0) ? 0 0?0 lim ? lim ?0 ? x ? 0 ? x ? 0 ?x ?x ?x

当 P( x0 , y0 ) 为区域 D 的任意点 P( x, y) 时: 二元函数 f ( x, y) 在任意点 p( x , y) 的偏导数为:
f x? ( x, y ) ? lim
x ?0

f ( x ? ?x, y ) ? f ( x , y ) (叫 f ( x, y) 在 P 关于 x 的偏导数) ?x
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数学分析

第十章 多元函数微分学

f ( x, y ? ?y ) ? f ( xy) ? (叫 f ( x, y) 在 P 关于 y 的偏导数) f y ( x, y) ? lim x ?0 ?y
? ? 例:已知 f ( x, y) ? x 2 y ? 4x lim y ? y 2 ,求 f x (2,0) , f y (3, ? )

? xy ? 2 2 例:已知: f ( x, y ) ? ? x ? y ?0 ?
? f y ( x, y ) .

x2 ? y 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 0

? ,求 f ( x , y) 关于 x 与 y 的偏导函数 f x ( x, y ) ,

解 : 当 ( x, y) ? (0,0) , f ( x, y) ?

xy (是一个连续可导的函数,可以直接求偏导) x ? y2
2

? ? 2 f ( xy) x ( x 2 ? y 2 ) ? xy( x 2 ? y 2 ) x y( y 2 ? x 2 ) ? ? 2x (x2 ? y 2 )2 (x 2 ? y 2 )2

? 2 2 2 2 2 f ( xy) y ( x ? y ) ? xy( x ? y )? y x( x 2 ? y 2 ) ? ? 2 2y (x 2 ? y 2 )2 (x ? y 2 )2

当( x , y )=(0,0)时(是求节点的导数,只能根据定义求)

?f f (0 ? ?x , 0) ? f (0,0) 0 ? lim ? lim ? 0 ? x ? 0 ? x ? 0 ?x (0,0) ?x 0

?f f (0 , 0 ? ?y) ? f (0, 0) 0 ? lim ? lim ? 0 ? y ? 0 ? x ? 0 ?y (0,0) ?y 0
? y( y 2 ? x2 ) ? x( x 2 ? y 2 ) 2 2 x ? y ? 0 x2 ? y 2 ? 0 ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ∴ f x ( x, y ) ? ? ( x ? y ) , f y ( x, y ) ? ? ( x ? y ) ?0 ?0 x2 ? y 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 0 ? ?

例:设 u ? x y , 求
?u ? yx y ?1 ?x

?u ?u , . ?x ?y

解:

?u ? x y ln x ?y
1 ?u , r ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c) 2 ,求 , r ?x

例:设 u ?

?u , ?y

?u ?z

解:由复合函数的求导法则
1 1 x?a ?u ?u ?r 1 1 1 ? ? ? (? 2 ) ? ? [( x ? a)2 ]x? ? ? 2 ( x ? a ) ? ? ? 3 r r r ?x ?r ?x r 2 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? ( z ? c)2
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计算 z ? ln(x 2 ? y) 求导
?u ?u , ?x ?y

第十章 多元函数微分学

解:令 r ? x 2 ? y ,则 z ? ln r ,由复合函数的求导法则
?u ?u ?r 1 2 2x ? ? ? ( x ? y ) x? ? 2 ?x ?r ?x r x ?y

那么偏导数的几何意义是什么? f x? ( x 0 , y 0 ) 的几何意义: 曲面 y ? f ( x, y) 与过 y 轴点 y0 且垂于
? z ? f ( x, y ) y 轴的平面 y ? y0 交线 C1 的方程为: ? ? y ? y0

偏导数的几何意义:
? z ? f ( x, y ) 上点 Q ( x0 , y 0 , z0 ? f ( x0 , y0 )) 的切线斜率。 f y? ( x0 , y0 ) 表示过曲线 C2 ? ? x ? x0

在一元函数 z ? f ( x) 中, 若 f ( x) 在 x0 可导, 则 f ( x) 在 x0 连续, 即 f ( x) 在 x0 连续是 f ( x) 在

x0 可微的必要条件。
那么这一条性质在二元函数中是否成立呢?实际上:

注:在二元函数中,仅管 f ( x, y) 在点 Po ( x 0 , y0 ) 两个偏导数 f x?( x0 , y0 ) , f y?( x0 , y0 ) 都存在, 也推不出 f ( x, y) Po ( x 0 , y0 ) 连续,这是多元函数与一元函数的一个不同之点。
? x2 ? y 2 例: 证明 f ( x, y ) ? ? ?1
不连续.
f (0 ? ?x, 0) ? f (0, 0) (?x) 2 lim ?0 证明: f x? (0, 0) ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x
? 同理 f y (0,0) ? 0

xy ? 0 xy ? 0

) 存在两个偏导数,但 f ( x, y) 在原点 O(0 , 0) ,在 O(0,0

(要证 f ( x, y) 在 O(0 , 0) 不连续,只须证明: f ( x , y)在(0,0) 不存在极限) 当 P( x, y) 以 y ? 0 趋于 O(0 , 0) 时, lim f ( x, y ) ? lim f ( x,0) ? lim x 2 ? 0
x ?0 y ?0 x ?0 x ?0



P( x, y)



y?x

l ifm x ? (y , 0 , ) 趋 于 O( 0 , 时
x ?0 y ?0

x ?0

) f l? x i m x ?, ( ∴ ,
x ?0

)

l i

f ( x, y)在(0,0)不 存 在 二 ,所以 重 极f (限 x, y)在(0,0)不 连续.

f ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 可微 ? f ( x, y ) 在 P( x 0 , y0 ) 存在两个偏导数(即: f ( x, y)在点P0可导) ;但
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数学分析

第十章 多元函数微分学

f ( x, y)在点P0 存在两个偏导数(可导) ? f ( x, y) 在 P( x 0 , y0 ) 可微。
注:在二元函数中, “可导”仅仅是“可微”必要而不充分的条件.
? xy ? 2 2 例:设 z ? f ( x, y ) ? ? x ? y ?0 ? x2 ? y 2 ? 0 x ?y ?0
2 2

,证明 f ( x , y) 在 O(0 , 0) 可导,但不可微.

? ? 证明:由前面 17 页例题知: f x (0,0) ? f y (0,0) ? 0 ,∴ f ( x, y) 在点 O(0 , 0) 可导,又∵ ? ? ?z ? ( A?x ? B?y) ? ?z ? [ f x (0,0)?x ? f y (0,0)?y]

?z ? f (0 ? ?x,0 ? ?y) ? f (0,0) ?
?z ? ( A?x ? B?y)

?x?y ,取 ?y ? ?x ? 0 。 (?x) 2 ? (?y) 2

则 lim
? ?0

?

? lim

4 x ?0

1 ? ? , 不 是 ? 的 高 阶 无 穷 小 , (? ? 2 2 ? ?x

2 ?x ), ∴

f ( x, y)在点(0, 0)不可微。
于是,自然要问,在什么条件下, f ( x, y) 可微呢?即:充分条件.
f ( x, y) 的偏导数在点 P0 ( x0 , y0 ) ,连续仅是 f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 可微的充分而非必要的条

件.
1 ? 2 2 ?( x ? y ) ln x 2 ? y 2 例:设 f ( x, y) = ? ?0 ? x2 ? y 2 ? 0 x ?y ?0
2 2

,则函数的两个偏导数 f x?( x, y) , f y?( x, y)

在点 O(0 , 0) 不连续,但 f ( x, y) 在 O(0 , 0) 可微.
(?x) 2 sin ?x 1 (?x) 2

证:当 x 2 ? y 2 ? 0 时, f x?(0, 0) ? lim
? 当 x 2 ? y 2 ? 0 时,因为: f x ( x, y )

?x ? 0

f (?x, 0) ? f (0 , 0) ? lim ?x ? 0 ?x

?0

= ( x 2 ? y 2 )?x sin

1 1 1 2x 1 ? ( x 2 ? y 2 )[sin 2 ]? ? 2 x sin 2 ? 2 Cos 2 2 2 x 2 2 x ?y x ?y x ?y x ?y x ? y2
2

1 2x 1 ? ?2 x sin x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 cos x 2 ? y 2 ∴ f x?( x, y) ? ? ?0 ?

x2 ? y 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 0

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第十章 多元函数微分学
x2 ? y 2 ? 0 x2 ? y 2 ? 0

1 2y 1 ? ?2 y sin x 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 cos x 2 ? y 2 同理 f x?( x, y) ? ? ?0 ?

(下面证明导函数在 O(0 , 0) 不连续)∵取 x 轴 y ? 0 ,当动点 P ( x , y)

x 轴 y ? 0 超于 O(0 , 0) 时, lim(2 x sin
x ?0 y ?0

1 2x 1 ? 2 cos 2 ) 2 2 x ?y x ?y x ? y2
2

? lim(2 x sin
x ?0

1 2x 1 ? ? ? 2 cos 2 ) ? ?? ,∴ f x ( x, y ) 在(0,0)不存在二重极限,∴ f x ( x, y ) 在原点 2 x x x

不连续.
? (下面证明 f x ( x, y ) 在点(0,0)可微,只须证明: ?z ? [ f x?(0, 0)?x ? f y?(0, 0)?x] ? o( ? ) )

因为: ?z ? [ f x?(0, 0)?x ? f y?(0, 0)?x] ? ?z ? f (?x , ?y) ? f (0 , 0)

? (?x 2 ? ?y 2 )sin

?z ? [ f x?(0, 0)?x ? f y?(0, 0)?x] 1 1 2 ? ? sin ,所以: lim ? ?0 ?x 2 ? ?y 2 ?2 ?

? 2 sin
? lim
? ?0

1

?2

?

?0

(注: ? ? ?x 2 ? ?y 2 )∴ f ( x , y)在(0,0)可微 .
xy 在点 P(1, 2) , ?x ? 0.01, ?y ? 0.03 的全微分,并计算: x2 y2

例:计算出数 u ?
u(2.01,1.03) 的近似值.

解:∵

?u 5 ?u y( x 2 ? y 2 ) ,∴ |(2,1) ? ? ?? 2 2 2 ?x 9 ?y (x ? y )

?u x( x 2 ? y 2 ) ? ?y ( x 2 ? y 2 )2



?u 10 |(2,1) ? ? ∴函数在点(2,01,1,03)的全微分 ?x 9

5 10 dz (1.03 , 2.03) ? ? ? 0.01 ? ? 0.03 ? 0.0278 9 9

u(2 ? ?x ,1 ? ?y) ? u(2 ,1) ? ?u ? u (1 , 2) ? dz (1 2) ?

2 ? 0.0278 ? 0.6944 +0.0278=0.6944 3

例:计算 u ? f ( x, y, z ) = x y lim z在点Q( x, y, z) 的全微分。 切平角和法线:二元函数 z ? f ( x, y) 在点 P0(x0,y0)可微 ? 平面π : f x? ( x0 , y0 )( x ? x0 )
? f y? ( x0 y0 )( x0 ? y0 ) ? ( z ? z0 ) ? 0 是曲面 S: z ? f ( x, y) 在 M ( xo , yo , zo ) 的切平面.

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第十章 多元函数微分学

? 曲面 S: z ? f ( x, y) 在 M ( xo , yo , zo ) 的切平面,且切平面的法向量是:
F ( f x?(M ) , f y?( M ) , ? 1) .
而这个法向量正好是法线的方向矢量,所以法线方程:

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? f x?( M ) f y?( M ) ?1

注: (由必要性知: ) 函 数 z ? f ( x, y) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 可 微 的 几 何 意 义 是 : 由 面 S : z= f ( x, y)在点M ( x0 , y0 , z0 ) 存在切平面,且切平面的法向量是: F ( f x?(M ) , f y?( M ) , ? 1) . 这就为我们认识全微分提供了一个很好的几何模型. 例如锥面 z ? x 2 ? y 2 在顶点 O(0 , 0 , 0) 不存在切平面,∴函数 z ? f ( x, y) 点
O (0,0,0)不可微.

由解析几何知道:若 OM ? {X , Y , Z} ,则 cos ? ?

X Y Z , cos ? ? , cos ? ? , ? ? ?

其中?= X 2 ? Y 2 ? Z 2 .
例:求曲面 z ? x 2 ? y 2 ? 1 在点 M(2
? ? 解: f x ( x, y ) ? 2 x , f y ( x, y ) ? 2 y

1

4) ,的切平面、法线和法线的方向余弦。 ∴切平面

∴ f x? (2 , 1) ? 4 , f y? (2 , 1) ? 2

的法向量 T ? {4 . 2 , ?1} ,∴切平面: 4( x ? 2) ? 2( y ? 1) ? ( z ? 4) ? 0 法线:
x ? 2 y ?1 z ? 4 ? ? 4 2 ?1

又∵△ ? 1 ? 42 ? 22 ? 21 , ∴ cos? ?

4 2 21

, cos ? ?

2 21

cos r ? ?

?1 21

.

复合函数的微分法 例:设 z ? x 2 ? y 2 ,其中 x ? sin t , y ? cos t ,计算 解:
?z dz ?z dx ?z dy ?z ? ? ,而 ? 2 x , ? ?2 y ?x dt ?x dt ?y dt ?y

dz dt

dx dt ? cos t ? ? sin t dt dt dz ? ? 2 x cos t ? (?2 y )( ? sin t ) ? 2 x cos t ? 2 y sin dt ? 2 sin cos t ? 2 cos t sin t ? 2 sin 2t 讨论:本题可不可以用一元函数的复合函数求导:

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∵ z ? x 2 ? y 2 ? sin 2 t ? cos2 t ∴

第十章 多元函数微分学

dz ? 2sint cos t ? 2 cos t (? sin t ) ? 2sin 2t dt 当然对于一般情况而言,用一元函数的复合函数求导,在计算上是很麻烦的。 dz 计算下列导数 dt

1、 z ? x y , x ? sin t , y ? cos t ( z ?

?z dx ?z dy ? ? yx y ?1 cos t ? x y ln x ? ?x dt ?y dt

(? sin t ) ? yx y ?1 cost ? x y sin t ln x 。
2、 z ?
y dz , y ? 1 ? x 2 ,求 x dx

注意:在函数 z ?

x 中,本身含有自变量 x ,这时,我们可以即把复合函数中含的自变量 y

看成中间变量,这时该自变量相对于其它自变量而言是常数。 y 即:复合函数是由函数 z ? 是由及中间变量 x ? x , y ? ? 1 ? x 2 复合成复合函数: )解: x
1 ? dz ?z dx ?z dy y 1 y 1 1 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? y? ? ? ? ? (1 ? x ) (1 ? x 2 ) x? x 2 dx ?x dx ?y dx x x x x 2

??

y 1 y 1 ? 2x ? ?? 2 ? 2 2 x x 2x 1 ? x 1? x2
dz ?z ?z dy y 1 ? ? ? ? 2 ? y? x ? dx ?x ?y dx x x
2

以后可以直接写成:

例. 已知 z ? ln(x 2 ? y) ,而 x ? e t ? s , y ? t 2 ? s ,求 解:

?z , ?t

?z . ?s

2 ?z ?z ?x ?z ?y 1 1 2x t ?s2 2t ? ? ? ? 2 ? 2x ? et ?s ? 2 ? 1 ? 2t ? 2 e + 2 ?t ?x ?t ?y ?t x ty x ?y x ?y x ?y

作业:求下列偏导数: 1、 z ? ln(x 2 ? xy ? y 2 ) 其中 x ? t ? s , y ? ts ,计算
?z ?x

?z ?z , ?t ?s

2、求 z ? e xy sin(x ? y) ,求 解 : 令
t? ,x y?

?z ?y
x则 y z ? e xy s

s? ,

x i ? yn )

是 (



z?

t

se i

ns ,

?z ?z ?t ?z ?s ? ? ? ? e t sin? y ? e t cos s ?x ?t ?x ?s ?x

若 z ? f ( x, y, t ) 在点( x、 y ) ,而 x ? ? (s , t ) , y ? ? (s , t ) 在点 ( s , t ) 存在偏导数,

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则:

第十章 多元函数微分学

?z ?z ?z ?x ?z ?y ?z ?z ?x ?z ?y ? ? ? , ? ? ?t ?t ?x ?t ?y ?t ?s ?x ?s ?y ?s

例. 设 u ? ln( x ? x 2 ? y 2 ) 解:令 t ? x 2 ? y 2 ∴

求:

?u ?u , ?x ?y

则函数由 u ? ln( x ? t )与t ? x 2 ? y 2 复合而成.

?u ?u ?u ?t 1 1 1 1 1 2x ? ? ? ? ( x2 ? y2 )x= ? 2 ?x ?x ?t ?x x ? t x ? t x ? t x ? t 2 x ? y2

?

1 x? x ? y
2 2

(

x x ?y
2 2

? 1) ?

1 x ? y2
2

?u ?u ?t 1 ? ? ? ( x2 ? y 2 ) y ?y ?t ?y x ? t



1 1 2y y ? ? 2 2 2 2 x?t 2 x ? y x ? y ( x ? x2 ? y 2 )
?z ?z , ?x ?y

作业:计算下面偏导: (1) u ? e
sin x y

(2) z ? x2 ? y 2 sin( y 2 ) (∵ x , y 是自变量,∴令 t ? x 2 , s ? y 2 )

则 z ? t ? s sin s . ? z ?z ?t ?z ?s ?s ? ? ? 1? 2 x ? (sin s ? s cos s ) ? ? 2 x ? 2(sin s ? s cos s ) y ?x ?t ?x ?s ?x ?x
?z ?z ?t ?z ?s ?z ?s ? ? ? ? ? 1 ? 0 ? [0 ? (sin s ? s ? cos s)] ? 2 y ? sin y 2 ? y 2 cos y 2 ( ∵ 当 y 变 化 ?y ?t ?y ?s ?y ?s ?y

时,t 不变,∴相对于 y 而言 t 是常数) 2、 z ? x arctan
x? y ( 令 u ? x ? y , v ? 1 ? xy ) 1 ? xy
u v

则: z ? x arctan

?z ?z ?z ?u z ?v u ? ? ? ? ? ? arctan ? ?x ?x ?u ?x ?v ?x v

1 1 1 u v uy ? ?1 ? (? 2 ) ? (? y ) ? 2 2 ? 2 2 2 2 u v u v u ?v u ?v 1? 2 1? 2 v v

? x arctan

u 1? y ? 2 v x ? y 2 ? x2 y 2 ? 1
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?z ?z ?u z ?v ? ? ? ? ? ?y ?u ?y ?v ?y

第十章 多元函数微分学

1 1 1 u v ux ? ?1 ? (? 2 ) ? (? x) ? 2 2 ? 2 2 2 2 u v u v u ?v u ?v 1? 2 1? 2 v v
?u ?u , ?s ?t

例:设 u ? ln(x ? 2 y ? z 2 ) , , x ? 2s ? t , y ? s 2 ? t 2 , z ? st ,求 解:
?u ?u ?x ?u ?y ?u ?z ? ? ? ? ? ? ?s ?x ?s ?y ?s ?z ?s

?

1 1 ( x ? 2 y ? z 2 )?x ? (2s ? t )?s ? ( x ? 2 y ? z 2 )?y ? ( s 2 ? t 2 )?s 2 x ? 2y ? z x ? 2y ? z2 1 就把这字母看成变量, 其它字母看成常量) ( x ? 2 y ? z 2 ) ? ( st )?s(对那个字母求导, 2 x ? 2y ? z 2 4s 2 zt ? ? 2 2 x ? 2y ? z x ? 2y ? z x ? 2y ? z2

?

?

例:设 F ? f ( x, xy, xyz)求

?F , ?x

?F , ?y

2F 2z

解:令 u ? x , v ? xy , w ? xyz, 则F=f (u, v, w) (? F ? f ( x, xy, xyz ) 可看成是
u ? x, v ? xy , w ? xyz , 复合而成的复合函数)∴

?F ? ? y z ? f u? ? y ? f v? ? y z ? f w ? ? f u? ? 1 ? f v? ? y ? f w ?x

?F ?f ?u ?f ?v ?f ?w ? ? ? ? ? ? ?x ?u ?x ?v ?x ?w ?x

课作业:已知: u ? f (r 2 ? s 2 ? t 2 , r 2 ? s 2 ? t 2 , r 2 ? s 2 ? t 2 ) 求

?u , ?r

?u , ?s

?u ?t

解:令 x ? r 2 ? s2 ? t 2 , y ? r 2 ? s 2 ? t 2 , z ? r 2 ? s 2 ? t 2 , 则 u ? f ( x, y, z) , ∴
?u ?f ?x ?f ?y ?f ?z ? ? ? ? ? f x? ? 2r ? f y' ? 2r ? f z? ? 2r ? ?r ?x ?r ?y ?r ?z ?r
?u ?u , ?s ?t

作业:已知: u ? f (r 2 ? s 2 ? t 2 , r 2 ? s 2 ? t 2 , r 2 ? s 2 ? t 2 ) 求

解:令 x ? r 2 ? s2 ? t 2 , y ? r 2 ? s 2 ? t 2 , z ? r 2 ? s 2 ? t 2 则u ? f ( x, y, z ) , ∴
?u ?f ?x ?f ?y ?f ?z ? ? ? ? ? f x? ? 2r ? f y' ? 2r ? f z? ? 2r ? ?s ?x ?s ?y ?s ?z ?s

例:设 u ? ( x ? y) z 其中 z ? x3 ? y3 ,计算

?u ?u , . ?x ?y

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第十章 多元函数微分学

?u ?u ?u ?z z 2 ? ? ? = z( x ? y)z ?1 ( x ? y)? x ? ( x ? y) ln( x ? y) ? 3x ?x ?x ?z ?x

= z( xy) z ?1 ? 3x2 ( x ? y)?z ln(x ? y) . 二阶混合偏导数 f″ xy 与 f″ yx 是对自度量 x、y 的不同顺序的求偏导,它们是否根等呢?(看下 列例子)
? xy( x 2 ? y 2 ) ? 例:已知 f(x1y)= ? x 2 ? y 2 ?0 ? ( x, y ) ? (0,0) ( x, y ) ? (0,0)
2

?? (0 , 0) . ?? (0 , 0) ? f yx 证明 f xy

x ?x ? 0 ? ? ?0 f (0 ? ?x,0) ? f (0,0) ?x2 ? 0, 证明:∵ f x?(0 , 0) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ? x ?x ?x

当 ( x, y) ? (0,0) 时, f x?( x, y) ?
? y( x4 ? 4 x2 y 2 ) ? y 4 ? ( x 2 ? y 2 )2 ? f x?( x, y) = ? ?0 ?

y( x 4 ? 4 x 2 y 2 ? y 4 ) ( x 2 ? y 2 )2
( x, y ) ? (0, 0) ( x, y ) ? (0, 0)

?? (0,0) ? lim f xy

?y ?0

f x?(0,0 ? ?y) ? f x?(0,0) ?(?y)5 ? lim ? ?1 ?y ?0 (?y )5 ?y
( x, y ) ? (0, 0) ( x, y ) ? (0, 0)

? ? x( y 4 ? 4 x 2 y 2 ? x 4 ) ? 同理:′ f y?( x, y) = ? ( x 2 ? y 2 )2 ?0 ?

.

?? (0,0) ? 1 f yx

?? (0,0) ? f yx ?? (0,0) f xy
两个混合偏导数是关于 x , y 不同顺序的求偏导,它们不一定相等。 例: z ? sin( xy) 的二阶偏导数 解 :
f x?( ? x, y?) ?2 z ?x 2 ? c2 x o y , ? s y

?2 z ? cos xy ? y[? cos xy ? x] ? cos xy ? xy cos xy ?x?y
求二阶偏导数: (1) z ? x3 y3 ? 3x2 y ? xy 2 ? 3 1.已知: u ? x ln( xy) , 求

? 2u ? 2u . , ?x?y ?y?x

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2. 设 u ? f ( x ? y , xy) ,

第十章 多元函数微分学

? 2u . ?x?y
?u ?f ( s , t ) ?t ?f ( s , t ) ?s ? ? ?x ?t ?x ?s ?x

解:令 s ? x ? y , t ? xy ,则 u ? f (s , t ) ,

? ft?(s , t ) ?1 ? yf s?(s , t ) ,所以;
?[

? 2u ?[ ft?( s , t ) ? yf s?( s , t ) ?ft?( s , t ) ?yf s?( s , t ) ? ? ? ?x?y ?y ?y ?y

?ft?(t , s) ?t ?ft?(t , s) ?s ?yf ?( s , t ) ?yf s?( s , t ) ?t ?yf s?( s , t ) ?s ? ]?[ s ? ? ] ?t ?y ?s ?y ?y ?t ?y ?s ?y

?? ? x ? f s? ? yf st ?? ?1 ? yf ss ?? ? x ? ftt?? ? ( x ? y) fts ?? ? xyf ss ?? ? f s? ? ftt???1 ? fts


? 2u ?u ? 2u ? ? ?? ? x 2 f ss ?? ) ( ? f ? xf , ? ftt?? ? 2 xfts x s ?y 2 ?y ?y 2
2 2

?2 z ?2 z ?2 z 例. 设 z ? f ( xy , x ? y ) , , , ?x 2 ?y 2 ?x?y
令: u ? xy , v ? x2 ? y 2 ,则: z ? f (u , v) ,
?z ?f ?u ?f ?v ? ? ? yfu? ? 2 xf v? ?x ?u ?x ?v ?x

? 2 z ?( yfu? ? 2 xf v?) ?( yfu?) ?(2 xf v?) ?( yfu?) ?u ?( yf u?) ?v ? ? ? ?[ ? ] ?x 2 ?x ?x ?x ?u ?x ?v ?x
?[ ? (2 xf v?) ? (2 xf v?) ?u ? (2 xf v?) ?v ?? ? y ? yfuv ?? ? 2 x] ? [2 f v? ? 2 xf vu ?? ? y ? 2 xf vv ?? ? 2 x] ? ? ] ? [ yfuu ?x ?u ?x ?v ?x

?? ? 4xyfuv ?? ? ?4x2 fvv ?? ? 2 fv? ? y2 fuu
1 例一,证明:若 u ? , r ? ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? ( z ? c) 2 r

则:

? 2u ? 2u ? 2u ? ? ?0 ?x 2 ?y 2 ?z 2
分析:实际上是证明 u ? 证明:P168 例 2 已知:
1 是偏微方程的解。这只须把三个二阶导数求出即可。 r
?u x?a ?u z?c ?u y ? b =- 3 , = 3 , =- 3 ?x r r ?z r ?y

? 2u ?u? ?u? ?r 1 ?? 3 ∴ 2 ? x? x ?x ?x ?r ?x r

?(?

x?a ) 2 2 2 r 3 ? ?r ? ? 1 ? 3( x ? a) , ? u ? ? 1 ? 3( y ? b) r3 r5 ?y 2 r3 r5 ?r ?x

? 2u 1 3( z ? c) 2 ? 2u ? 2u ? 2u ? ? ? ,代入方程左边得: ? ? ?0 ?z 2 r3 r5 ?x 2 ?y 2 ?z 2
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第十章 多元函数微分学
2 ? 2u 2 ? u ? a ?t 2 ?2 x2

1、证明: u ? f ( x ? at) ? ? ( x ? at) 满足微分方程:
?2z ?2z , ?x 2 ?y 2

2、设 z ? f ( xy ,x 2 ? y 2 ) ,求:

? 2u ? 2u ? 2u 3、设 u ? ( x ? y) , z ? x ? y , ,求 、 2、 . ?x 2 ?x ?y ?y
z 3 3

4. 设 z ? f ( x , y) , x ? ? cos ? , 证明:

y ? ? sin ? ,

?2 f ?2 f ?2 f 1 ? 2 f 1 ?f ? ? ? ? ?x 2 ?y 2 ?? 2 ? 2 ?? 2 ? ??

例 1. 求函数 f ( x , y) ? xy(1 ? x ? y) 的极值. 解:因为 f x?( x , y) ? y(1 ? 2x ? y) ? 0 , f y?( x , y) ? x(1 ? x ? 2 y) ? 0 , 解得稳定点: P 1 (0 ,0)
1 1 ?? ( x , y) ? ?2 y , , P2 (0 , 1) , P3 (1 , 0) , P4 ( , ) , ( 为 了 计 算 ? , 先 求 二 阶 偏 导 数 ) f xx 3 3

?? ( x , y) ? 1 ? 2x ? 2 y , f xy

?? ( x , y) ? ?2x , ? ? B2 ? AC ? (1 ? 2x ? 2 y)2 ? 4xy f yy
P2 (0 ,1) P 3 (1, 0)
1 1 P4 ( , ) 3 3 ?

P 1 (0 ,0)
? ? B2 ? AC

?

?

?

A或C
f ( x , y)

?
不去极值 不去极值 不去极值 极大值

1 1 1 1 1 所以 P4 ( , ) 是极大值点,极大值为 f ( , ) ? . 3 3 3 3 27

例 2. 求函数 z ? 1 ? 1 ? x 2 ? y 2 的最值.

y ? ? ?0 ?zy ? 2 2 1 ? x ? y ? 解: (先求定义域)函数的定义域 G ? {( x , y) x2 ? y2 ? 1} ? ,得稳定点 x ? z? ? ?0 ? x 1 ? x2 ? y 2 ?
2 2 Po (0 , 0) , f ( P o ) ? 0 ,而边界 x ? y ? 1, z ? f ( x , y) ? 1 ? 1 ?1 ? 1(因为是常数,所以可以看

成是最大值,也可看成是最小值)所以: f ( P o ) ? 0 ? f ( x , y) ? 1,所以函数的最小值是 0,最 大值是 1
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第十章 多元函数微分学

例. 用钢板制造容积为 V 的无盖长方形水箱. 问水箱的长、宽、高各为多少时,水箱的容积 最大? 分析:设水箱的长、宽、高各为 x , y , z ; 钢板最省 ? 表面积 s 最小,所以:问题转化为:
x , y , z 各为多少时,表面积 s 最小. 这关键是找出: s 和 x , y , z 的函数关系.

解:设水箱的长、宽、高各为 x , y , z 表面积为 s ,则 s ? xy ? 2( yz ? xz ) (想办法化为二元函 数---?) V ? xyz , z ?
V 1 1 代之有: s ? xy ? 2V ( ? ) xy x y

2V ? ? sx ? y ? 2 ? 0 ? x ? D ? {( x , y) 0 ? x ? ?? , 0 ? y ? ??} ? 2V ? s? ?0 y ? x? y2 ? ?

得:函数在区域 D 有唯一稳定点

P( 3 2V , 3 2V ) ,又因为函数在区域 D 有最小值,所以唯一稳定点 P( 3 2V , 3 2V ) 就是其最小值
点,此时 x ? 3 2V ? y , z ?
3 V V 2V . 所以当:长 ? 宽 ? 3 2V ,高 ? ? 3 ? 2 xy ( 2V ) 2
3

2V 时钢板 2

最省. 例 3. 设有半径为 R 的圆的内接三角形 ABC ,问怎样的内接三角形 ABC 有最大面积? C 分析:设 ?ABC 面积为 s ,三个中心角为 x , y , z .因为
?ABC 的形状由三个中心角为 x , y , z 唯一确定,所以问 O·
A

题就转化为 x , y , z 为多少时,面积 s 最大. 解:设 ?ABC 三边 AB , BC , AC 所对的中心角为:
x , y , z , 面积为 s .

B

z ? 2? ? ( x ? y ) , s ?

1 2 1 1 R sin x ? R 2 sin y ? R 2 sin( x ? y ) ,定义域为: 2 2 2

D ? {( x , y) 0 ? x ? ? , 0 ? y ? ? } , s? x ?
s? y ?

R2 [cos x ? cos( x ? y )] ? 0 , 2

2? 2? R2 , ) ,又因为函数 [cos y ? cos( x ? y )] ? 0 ,因为函数 s 在区域 D 只有唯一稳定点 ( 3 3 2

s 在区域 D 有最大值,所以唯一稳定点 (
x? y?z?

2? , ?ABC 最大,这时三角形为等边三角形. 3

2? 2? , ) 就是 s 的最大值点,? 当 3 3

.
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